อะไรคือคำอธิบายที่ชัดเจนและเข้าใจได้ง่ายที่สุดสำหรับ FTs ต่างๆ

30

แม้หลังจากศึกษามาหลายครั้งแล้วฉันก็มักจะลืม [ถ้าฉันไม่ทันได้สักพัก] ว่าพวกเขาเกี่ยวข้องกันอย่างไรและแต่ละคนย่อมาจากอะไรเพราะพวกเขามีชื่อคล้าย ๆ กัน] ฉันหวังว่าคุณจะได้คำอธิบายที่ใช้งานง่ายและสวยงามทางคณิตศาสตร์ที่พวกเขาจะถูกฝังอยู่ในความทรงจำของฉันตลอดกาลและกระทู้นี้จะทำหน้าที่เป็นทบทวนอย่างรวดเร็วสุดเมื่อใดก็ตามที่ฉัน [หรือคนอื่น ๆ ] ต้องการมัน

fourier-transform

— Vighnesh
แหล่งที่มา

2

อาจเริ่มต้นด้วยซีรี่ส์ฟูริเยร์

— endolith

คุณคุ้นเคยกับคู่ของ Pontryagin หรือไม่?

— Lorem Ipsum

@yoda - ไม่คุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมหรือชี้ให้ฉันอ้างอิงที่ดีได้ไหม? [แน่นอนฉันจะ google มันออกมา]

— Vighnesh

1

"Steve on Image Processing": ฟูริเยร์แปลงที่อยู่ตรงกับคำถามนี้

— โนเบิล

ฉันไม่ควรเขียนคำตอบที่นี่อีกครั้ง (เว้นแต่จะต้องมี) ยังมีคำตอบที่เป็นไปได้ในฉันสามารถศึกษาเวลาแปลงฟูริเยร์อย่างต่อเนื่องและจัดการส่วนที่เหลือเป็นกรณีพิเศษหลังจากติดตาม Pontryagin duality track ที่เสนอโดย @ LoremIpsum

— Laurent Duval

24

ผมเขียนเอกสารนี้เป็นส่วนประกอบกับOppenheim และ Willsky โปรดดูตารางที่ 4.1ในหน้า 14 ซึ่งทำซ้ำด้านล่าง (คลิกเพื่อดูภาพขยาย) ฉันเขียนตารางนั้นโดยเฉพาะเพื่อตอบคำถามเช่นของคุณ

สังเกตความเหมือนและความแตกต่างระหว่างการปฏิบัติการทั้งสี่:

"ซีรี่ย์": เป็นระยะในเวลา, ไม่ต่อเนื่องในความถี่
"Transform": aperiodic ในเวลา, ต่อเนื่องในความถี่
"เวลาต่อเนื่อง": ต่อเนื่องในเวลา aperiodic ในความถี่
"ไม่ต่อเนื่องเวลา": ไม่ต่อเนื่องในเวลา, เป็นระยะในความถี่

ฉันหวังว่าคุณจะพบว่าโน้ตเหล่านี้มีประโยชน์! โปรดแจกจ่ายตามที่คุณต้องการ

— สตีฟโจ้
แหล่งที่มา

1

สรุปที่ดี โปรดทราบว่าโดยทั่วไป "ชุดเวลาไม่ต่อเนื่องฟูริเยร์" อ้างอิงในตารางข้างต้นโดยทั่วไปจะเรียกว่าการแปลงฟูริเยร์โดยสิ้นเชิง (DFT)

— Jason R

คำตอบนี้เป็นบทสรุปที่ดีตามที่ Jason R กล่าวและสิ่งที่ควรค่าแก่การถาวรใน dsp.SE เพื่อให้ทุกคนสามารถเชื่อมโยงไปยังคำแนะนำนี้ในอนาคต แต่มันไม่ตอบสนองต่อคำถามที่ถาม สำหรับคำอธิบายที่เข้าใจง่ายเกี่ยวกับปัญหาเหล่านี้ (ความชัดเจนน่าจะเป็นโบนัสเพิ่มเติมและไม่ได้รับการร้องขออย่างสมบูรณ์เนื่องจากมีการกล่าวถึงในชื่อ แต่ไม่ได้อยู่ในเนื้อหาของคำถาม)

— Dilip Sarwate

2

การตอบสนองที่ยอดเยี่ยมสตีฟ - ฉันเชื่อว่านี่คือสิ่งที่ OP กำลังมองหา สั้นหวานและตรงประเด็น

— Spacey

มันเป็นความผิดที่ด้านล่างของหน้า 2 ของเอกสารแจกหรือไม่? มันระบุ:(t-t_0) ไม่ได้หมายความว่า ?

x (t) b (t - t_{0}) = x (t_{0}) b (t - t_{0})

$x(t)b(t-t_0)=x(t_0)b(t-t_0)$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) b (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)b(t-t_0)dt = x(t_0)$

— mbaitoff

1

ไม่ใช่ความผิด ข้อความทั้งสองของคุณเป็นจริง แต่ฉันตั้งใจจะเขียนข้อแรกเพราะส่วนของคู่มืออธิบายคำนิยามพื้นฐานที่เป็นจริงของแรงกระตุ้นของหน่วย ข้อความที่สองนั้นมาจากคำจำกัดความเหล่านั้น:(t_0)

\int_{\infty}^{\infty} x (t) δ (t - t_{0}) d t = \int_{\infty}^{\infty} x (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0}) \int_{\infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = \int_{\infty}^{\infty} x(t_0)\delta(t-t_0) dt = x(t_0) \int_{\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

— Steve Tjoa

9

สำหรับคำอธิบายที่ชัดเจนและถูกต้องของแนวคิดเหล่านี้คุณจะต้องผ่านตำรามาตรฐานบางเล่ม (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis หรือ "การทำความเข้าใจการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล" โดย Richard Lyons ซึ่งเป็นหนังสือที่ได้รับความนิยมค่อนข้างน้อย . แต่สมมติว่ามีการอภิปรายโต๊ะกาแฟฉันจะทำอะไรที่หลวมมากในสิ่งที่ตามมา :)

สำหรับสัญญาณเวลาต่อเนื่องทั่วไปคุณจะไม่คาดหวังว่าจะมีความถี่ใดขาดหายไปดังนั้นการแปลงฟูริเยร์ (หรือการแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง) จะเป็นเส้นโค้งต่อเนื่องโดยอาจรองรับ -inf ถึง + inf

สำหรับสัญญาณต่อเนื่องเป็นระยะ (จุด T) Fourier แสดงสัญญาณเป็นการรวมกันของ sines และ cosines ที่มีช่วงเวลาเดียวกัน (T, T / 2, T / 3, T / 4, ... ) อย่างมีประสิทธิภาพสเปกตรัมของสัญญาณนี้คือชุดของแหลมที่ตำแหน่ง 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... นี้เรียกว่าการเป็นตัวแทนของฟูริเยร์ซีรีส์ มีทฤษฎีบทที่บอกว่าการแสดงอนุกรมฟูริเยร์ของสัญญาณเวลาต่อเนื่องเป็นระยะใด ๆ มาบรรจบกันกับสัญญาณเมื่อคุณรวมไซน์และโคไซน์มากขึ้น (หรือเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่ซับซ้อน) ในความหมายกำลังสอง

คุณธรรมจนถึงตอนนี้: ระยะเวลาในช่วงเวลา => สเปกตรัมแหลมคม

เวลาที่ไม่ต่อเนื่องจะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณสุ่มตัวอย่างสัญญาณเวลาต่อเนื่อง ควรชัดเจนว่าสำหรับสัญญาณที่สูงพอคุณจะไม่สามารถสร้างสัญญาณขึ้นมาใหม่ได้ หากคุณไม่มีข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับความถี่ในสัญญาณจากนั้นให้สัญญาณตัวอย่างไม่มีวิธีที่คุณสามารถพูดได้ว่าสัญญาณที่แท้จริงคืออะไร กล่าวอีกนัยหนึ่งความถี่ที่แตกต่างกันแสดงอย่างเท่าเทียมกันในสัญญาณไม่ต่อเนื่อง - เวลา การผ่านคณิตศาสตร์บางอย่างจะบอกคุณว่าคุณสามารถรับคลื่นความถี่ของสัญญาณตัวอย่างจากสัญญาณต่อเนื่องดั้งเดิม อย่างไร? คุณเปลี่ยนสเปคตรัมของสัญญาณเวลาต่อเนื่องตามจำนวน + -1 / T, + -2 / T, ... และเพิ่มสำเนาที่เลื่อนทั้งหมด (ด้วยการปรับสเกลบางส่วน) สิ่งนี้จะช่วยให้คุณมีสเปกตรัมต่อเนื่องที่มีคาบ 1 / T (หมายเหตุ: สเปกตรัมเป็นระยะเนื่องจากการสุ่มตัวอย่างในเวลาสัญญาณเวลาไม่ ' ไม่จำเป็นต้องเป็นงวด) เนื่องจากสเปกตรัมเป็นแบบต่อเนื่องคุณจึงสามารถแสดงมันด้วยหนึ่งในช่วงเวลานั้น นี่คือ DTFT (การแปลงฟูริเยร์แบบ "ไม่ต่อเนื่อง") ในกรณีที่สัญญาณเวลาต่อเนื่องดั้งเดิมของคุณมีความถี่ไม่สูงกว่า + -1 / 2T สำเนาที่เลื่อนของสเปกตรัมจะไม่ทับซ้อนกันดังนั้นคุณสามารถกู้คืนสัญญาณต่อเนื่องดั้งเดิมโดยเลือกหนึ่งช่วงเวลาของสเปกตรัม ( ทฤษฎีการสุ่มตัวอย่าง Nyquist)

อีกวิธีในการจำ: สัญญาณเวลาแหลมคม => ความเป็นคาบในสเปกตรัม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณสุ่มสัญญาณเป็นระยะอย่างต่อเนื่องโดยมีช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง T / k สำหรับ k บางตัว สเปคตรัมของสัญญาณเวลาต่อเนื่องนั้นแหลมคมไปด้วยและการสุ่มตัวอย่างโดยตัวหารบางตัวของ T หมายความว่าเดือยในสำเนาที่ถูกเลื่อนลดลงตรงกับทวีคูณของ 1 / T ดังนั้นสเปกตรัมที่ได้จึงเป็นสเปกตรัมแหลมคม . สัญญาณระยะเวลาแหลมคม <=> สเปกตรัมระยะเวลาแหลมคม (สมมติว่าช่วงเวลาและความถี่การสุ่มตัวอย่างเป็น "ที่เกี่ยวข้องกันอย่างดี" ดังกล่าวข้างต้น) นี่คือสิ่งที่เรียกว่า DFT (การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง) FFT (Fast Fourier Transform) เป็นคลาสของอัลกอริทึมในการคำนวณ DFT อย่างมีประสิทธิภาพ

วิธีเรียกใช้ DFT มีดังนี้: สมมติว่าคุณต้องการวิเคราะห์ลำดับของตัวอย่าง N ในเวลา คุณสามารถใช้ DTFT และจัดการกับหนึ่งในช่วงเวลานั้น แต่ถ้าคุณคิดว่าสัญญาณของคุณเป็นระยะกับระยะเวลา N, จากนั้น DTFT จะลดลงเป็น DFT และคุณมีเพียง N ตัวอย่างของระยะเวลาหนึ่งของ DTFT ซึ่งมีลักษณะสัญญาณสมบูรณ์ คุณสามารถ zero-pad สัญญาณในเวลาที่จะได้รับการสุ่มตัวอย่างที่ละเอียดของสเปกตรัมและ (คุณสมบัติดังกล่าวอีกมากมาย)

ทั้งหมดข้างต้นมีประโยชน์เฉพาะในกรณีที่มาพร้อมกับการศึกษาของ DSP ข้างต้นเป็นเพียงแนวทางคร่าวๆ

— rk2
แหล่งที่มา

7

ให้แสดงฟังก์ชั่น จำกัด โดยมีระยะเวลา , ที่อยู่, สำหรับตัวเลขจริงทั้งหมด ,(t) เป็นตัวอย่างเฉพาะเป็นฟังก์ชั่นดังกล่าว เราต้องการค้นหาการประมาณ "ดีที่สุด"สำหรับฟังก์ชั่นนี้ที่เราต้องการเลือกสัมประสิทธิ์เพื่อให้ ข้อผิดพลาดยกกำลังสองคือมีขนาดเล็กที่สุด การขยายตัวของ integrand เรามี $x(t)$ $T$ $t$ $x(t+T) = x(t)$ $\cos(2\pi t/T)$ $a_n\cos(2\pi nt/T)$ $a_n$

\int_{0}^{T} (x (t) - a_{n} \cos (2 π n t / T))^{2} d t,

$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$

squared error = \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \int_{0}^{T} \cos^{2} (2 π n t / T) d t .

$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$ อินทิกรัลซ้ายสุดคือพลังงานส่งโดยหนึ่งช่วงเวลาของในขณะที่อินทิกรัลขวาสุดมีค่าดังนั้นเราจะเห็นว่า ตอนนี้ สำหรับฟังก์ชันสมการกำลังสองมีค่าต่ำสุดที่ (กึ่งกลางระหว่างราก ! !) และเนื่องจากเราแสดงข้อผิดพลาดกำลังสองเป็นฟังก์ชันกำลังสองของทางเลือกของที่ลดข้อผิดพลาดกำลังสองคือ

E

$E$

x (t)

$x(t)$

T / 2

$T/2$

squared error = E - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \frac{T}{2} .

$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$

a > 0

$a > 0$

a z^{2} + b z + c

$az^2 + bz + c$

z = - b / 2 a

$z = -b/2a$

(- b / 2 a) \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} / 2 a

$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$

a_{n}

$a_n$

a_{n}

$a_n$

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t .

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$ ในทำนองเดียวกันการเลือกเป็น ลดข้อผิดพลาดกำลังสองระหว่างและT) ดังนั้นเราจะเห็นว่าอนุกรมฟูริเยร์ไม่มีอะไรนอกจากกลอุบายราคาถูกในการค้นหาความคลาดเคลื่อนกำลังสองต่ำสุดที่ประมาณเป็นฟังก์ชันในรูปของสัญญาณไซน์และโคไซน์ของช่วงเวลาเดียวกันและฮาร์โมนิกส์

b_{n}

$b_n$

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \sin (2 π n t / T) d t

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$

x (t)

$x(t)$

b_{n} \sin (2 π n t / T)

$b_n\sin(2\pi nt/T)$

x (t)

$x(t)$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

4

Endolith นั้นถูกต้องถ้าคุณเริ่มต้นด้วยซีรีย์ฟูริเยร์และดูว่ามันขยายไปสู่การแปลงฟูริเยร์ได้อย่างไรสิ่งต่าง ๆ เริ่มเริ่มมีความหมายมากขึ้น ฉันให้คำอธิบายสั้น ๆ สำหรับสิ่งนี้ในครึ่งแรกของคำตอบนี้

วิธีที่ดี (อาจไม่ใช่เรื่องง่าย) ในการดูตระกูลฟูริเยร์ (ซึ่งฉันหมายถึง 4 ตัวที่คุณได้ระบุไว้ข้างต้น) คือผ่านแว่นตาคู่ Pontryagin มันเป็นวิธีที่ดีในการจดจำการแปลงที่ต่างกันโดยโดเมนดั้งเดิมและโดเมนที่ถูกแปลง

สำหรับฟังก์ชั่นมูลค่าที่ซับซ้อนบน (สมมติว่าเงื่อนไขที่จำเป็นอื่น ๆ สำหรับ FT จะมีชีวิตอยู่), ฟูริเยร์ของแปลงนี้ยังมีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมูลค่าใน{R} ช่องว่างเป็น Pontryagin self-dual และคุณสามารถพูดได้ว่าถ้าการเปลี่ยนแปลงในครอบครัวทั้งหมดมีทั้งโดเมนดั้งเดิมและโดเมนที่แปลงแล้วมันคือการแปลงฟูริเยร์ (หรือ CFT เช่น คุณเรียกมันว่า) $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

ลำดับที่มีค่าที่ซับซ้อนของตัวเลขสามารถดูได้เป็นฟังก์ชันที่มีค่าตามช่วงเวลาที่มีความซับซ้อนในซึ่งเป็นจำนวนเต็มวงจรโมดูโลกลุ่ม (ดูกลุ่ม Abelian แน่นอนสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม) การแปลงสำหรับลำดับนี้ยังมีโดเมน (self-dual) และนี่คือการแปลงฟูริเยร์โดยสิ้นเชิง $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

โดเมนของหน่วยวงกลม (จำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดที่มีค่าสัมบูรณ์ 1 ยังเห็นกลุ่มวงกลม ) และชุดจำนวนเต็มเป็น Pontryagin คู่กัน คล้ายกับสองตัวแรกการแปลงระหว่างถึงมีอยู่และเป็นสิ่งที่เราเรียกว่าการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องเวลาและรอบทางอื่นคืออนุกรมฟูริเยร์ซึ่งทุกอย่างเริ่มต้นขึ้น $\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{T}$

คำตอบนี้ยังไม่เสร็จสมบูรณ์และบางทีฉันอาจจะสร้างคำตอบนี้เพื่อให้ชัดเจนบางจุดเมื่อฉันมีเวลา แต่จนถึงตอนนี้อาจเป็นสิ่งที่ต้องเคี้ยวจนกว่าคุณจะได้คำอธิบายที่ง่ายกว่าจากคนอื่น ลองอ่านการวิเคราะห์ฟูริเยร์ในวิกิพีเดีย

— Lorem Ipsum
แหล่งที่มา

3

ฉันคิดว่าสิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเข้าใจว่าทำไมเราถึงต้องมีการแปลงฟูริเยร์ พวกเขาเป็นหนึ่งในการแปลงสัญญาณที่เป็นไปได้มากมาย แต่ก็เป็นหนึ่งในสัญญาณที่มีประโยชน์ที่สุด การแปลงโดยทั่วไปจะแปลงสัญญาณเป็นโดเมนอื่นซึ่งอาจทำให้เรามีความเข้าใจเกี่ยวกับสัญญาณในโดเมนนั้นหรืออาจเป็นได้ว่าโดเมนนั้นใช้งานได้ง่ายในทางคณิตศาสตร์ เมื่อเราทำงานในโดเมนนั้นเสร็จแล้วเราสามารถใช้การแปลงผกผันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการได้ง่ายขึ้น

Building Block พื้นฐานที่สุดในทฤษฎีฟูริเยร์คือโมโนโทน (ไซน์และโคไซน์) เราสามารถแยกสัญญาณออกเป็นองค์ประกอบความถี่ (โมโนโทน) โดยใช้ฟูเรียร์คณิตศาสตร์ ดังนั้นการแปลงฟูริเยร์โดยทั่วไปจะแปลงสัญญาณจากโดเมนเวลาเป็นโดเมนความถี่ สัมประสิทธิ์ของโมโนโทนแต่ละตัวในซีรีย์ฟูริเยร์บอกเราถึงความแข็งแกร่งของส่วนประกอบความถี่นั้นในสัญญาณ ฟูเรียร์แปลง (CFT, DFT) อย่างชัดเจนทำให้เรามีมุมมองโดเมนความถี่ของสัญญาณ ในธรรมชาติไซน์และโคไซน์เป็นรูปคลื่นที่โดดเด่น สัญญาณสังเคราะห์เช่นคลื่นสี่เหลี่ยมหรือสัญญาณที่มีความผันผวนอย่างรวดเร็วมีแนวโน้มน้อยที่จะเกิดขึ้นตามธรรมชาติและไม่น่าประหลาดใจที่ประกอบด้วยช่วงความถี่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดอย่างที่อธิบายไว้อย่างชัดเจนโดยการแปลงฟูริเยร์ ผู้คนมีข้อสงสัยว่าสัญญาณใดบ้างที่สามารถทำให้เย็นลงได้ว่าเป็นผลรวมของไซน์ / โคไซน์ ฟูริเยร์แสดงรูปคลื่นสี่เหลี่ยม (ซึ่งอยู่ห่างไกลจากไซน์ / โคไซน์) ได้แน่นอน เสียงสีขาวประกอบด้วยความถี่ทั้งหมดที่มีความแข็งแรงเท่ากัน

นอกจากนี้หากคุณกำลังทำงานกับอนุกรมฟูริเยร์ค่าสัมประสิทธิ์และระยะเฟสสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นสิ่งที่จำเป็นในการแทนที่รูปคลื่น sinosoidal ที่เหมาะสมเพื่อให้การซ้อนเป็นสัญญาณที่ต้องการซึ่งคุณกำลังทำการแปลง เมื่อทำงานกับการแปลงฟูริเยร์จำนวนเชิงซ้อนจะมีเงื่อนไขเฟสและขนาดที่ต้องการของโมโนโทนแต่ละอันโดยปริยาย (การรวมกันเป็นเหมือนการสรุปอย่างต่อเนื่อง => การรวม, ไม่ต่อเนื่อง => การรวม)

ฉันคิดว่าเมื่อคุณมีความเข้าใจในเรื่องของแนวคิดแล้วทุกอย่างเป็นเพียงรายละเอียดที่คุณจะต้องเข้าใจด้วยการอ่านหนังสือ การอ่านเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้การแปลงฟูริเยร์ในด้านต่างๆจะทำให้คุณเข้าใจได้ดีขึ้น

— Abhishek
แหล่งที่มา

2

DFT คือการแปลงเวกเตอร์ของตัวเลขคู่จากช่องว่างมุมฉากหนึ่งไปยังอีกช่องหนึ่ง กระทำโดยทั่วไปเป็นการคำนวณเชิงตัวเลข ด้วยเหตุผลบางอย่างเมื่อนำตัวเลขหนึ่งจากโลกแห่งความจริงมาเป็นกลุ่มตัวเลขที่สองมักจะใกล้เคียงกับสิ่งที่มีประโยชน์มาก

ฉันนึกถึงประสิทธิภาพที่ไม่สมเหตุสมผลของคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติโดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับการนำ DFT ไปใช้กับหลาย ๆ ระบบที่ดูเหมือนจะถูกประมาณด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ระดับ 2 ชนิดต่าง ๆ แม้แต่เสียงของช้อนกาแฟที่ฉันเพิ่งทิ้ง

XYZ-FTs อีก 3 ตัวตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของเอนทิตีที่ไม่มีที่สิ้นสุดบางตำนานเพื่อช่วยให้การแก้ปัญหาเชิงสัญลักษณ์นั้นพอดีกับไวท์บอร์ดก่อนที่กาแฟจะเย็นเกินไป พวกมันคือ "วัวทรงกลม" ของการประมวลผลสัญญาณ ชุด DTFT และฟูริเยร์แสร้งว่าเวกเตอร์หนึ่งสามารถขยายได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดด้วยค่าความหนาแน่นไม่สิ้นสุดของเอนทิตีอื่น ๆ ซีรี่ส์ฟูริเยร์แกล้งทำเป็นว่าเอนทิตีทั้งสองสามารถเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบไม่มีที่สิ้นสุด

มีหลักสูตรคณิตศาสตร์เพียงพอและหนึ่งอาจกำหนดคำจำกัดความและสมมติฐานทั้งหมดที่จำเป็นในการทำให้เอนทิตีสมมติเหล่านี้เป็นคู่ที่สมบูรณ์และสมบูรณ์ในบางแง่มุม

— hotpaw2
แหล่งที่มา

"พื้นที่มุมฉาก" มีความหมายอย่างไรในประโยคแรกของคุณ? พื้นที่มุมฉากคืออะไรไปหรือสิ่งที่คุณสมบัติพิเศษไม่พื้นที่ที่มีว่าคุณจะแยกความแตกต่างได้จากพื้นที่ทำงานของโรงสีอื่น ๆ โดยการให้รางวัลกับมันคำคุณศัพท์ "ฉาก"?

— Dilip Sarwate

บางที "orthonormal" เป็นคำที่ถูกต้องมากกว่าสำหรับปริภูมิเวกเตอร์?

— hotpaw2

x

$\mathbf x$

y

$\mathbf y$

⟨ x, y ⟩ = 0

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=0$

A

$A$

A A^{T}

$AA^T$

A A^{T}

$AA^T$ เวกเตอร์ในอวกาศเป็นมุมฉากต่อกันหรือเป็นมุมฉากและมีความยาวหน่วยด้วย ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณสามารถยกตัวอย่างพื้นที่ได้หรือไม่?

— Dilip Sarwate

ผลิตภัณฑ์ดอทระหว่างไซน์หรือไซน์ทั้งหมดที่มีคาบตามระยะเวลาในความยาวรูรับแสง DFT เท่ากับศูนย์ยกเว้นฟังก์ชั่นความถี่ที่เหมือนกัน แม้ว่า N จะมากกว่าจำนวนเมล็ดกาแฟในถุง ทำให้หน่วยความกว้างสำหรับ orthonormal

— hotpaw2

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

อะไรคือคำอธิบายที่ชัดเจนและเข้าใจได้ง่ายที่สุดสำหรับ FTs ต่างๆ - CFT, DFT, DTFT และ Fourier Series?