“ การสุ่มตัวอย่างที่ซับซ้อน” สามารถทำลาย Nyquist ได้หรือไม่

ฉันได้ยินมาพอสมควรว่าการสุ่มตัวอย่างสัญญาณที่ซับซ้อนไม่จำเป็นต้องเป็นไปตามอัตราการสุ่มตัวอย่าง Nyquist แต่จริง ๆ แล้วสามารถได้รับไปด้วยอัตราการสุ่มตัวอย่าง Nyquist ครึ่งหนึ่ง ฉันสงสัยว่ามีความจริงใด ๆ กับเรื่องนี้หรือไม่?

จาก Nyquist เรารู้ว่าการสุ่มตัวอย่างสัญญาณอย่างไม่ชัดเจนเราจำเป็นต้องสุ่มตัวอย่างอย่างน้อยสูงกว่าแบนด์วิดท์ของสัญญาณนั้นอย่างน้อยสองเท่า (ฉันกำลังกำหนดแบนด์วิดท์ที่นี่เช่นเดียวกับที่พวกเขาทำในลิงค์วิกิหรือที่รู้จักกันว่าการมีความถี่เป็นบวก) กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าสัญญาณของฉันมีอยู่จาก -B ถึง B ฉันต้องสุ่มตัวอย่างอย่างน้อย> 2 * B เพื่อสนอง nyquist ถ้าฉันผสมสัญญาณนี้กับ fc และต้องการทำการสุ่มตัวอย่างด้วย bandpass ฉันจะต้องสุ่มอย่างน้อย> 4 * B

ทั้งหมดนี้ยอดเยี่ยมสำหรับสัญญาณจริง

คำถามของฉันคือมีความจริงใด ๆ กับคำสั่งว่าสัญญาณเบสแบนด์ที่ซับซ้อน (aka สิ่งที่มีอยู่เพียงด้านเดียวของสเปกตรัมความถี่) ไม่จำเป็นต้องได้รับการสุ่มตัวอย่างในอัตราอย่างน้อย> 2 * B แต่ในความเป็นจริงแล้ว มีการสุ่มตัวอย่างอย่างเพียงพอในอัตราอย่างน้อย> B หรือไม่

(ฉันมักจะคิดว่าถ้าเป็นกรณีนี้เป็นเพียงความหมายเพราะคุณยังต้องใช้สองตัวอย่าง (หนึ่งจริงและหนึ่งจินตนาการ) ต่อเวลาตัวอย่างเพื่อให้เป็นตัวแทนของเฟสเซอร์หมุนได้อย่างสมบูรณ์ดังนั้นจึงยังคงติดตาม Nyquist อย่างเคร่งครัด .. .)

คุณคิดยังไง?

ความเข้าใจของคุณถูกต้อง หากคุณสุ่มตัวอย่างที่อัตราดังนั้นด้วยตัวอย่างจริงเท่านั้นคุณสามารถแสดงเนื้อหาความถี่อย่างไม่น่าสงสัยในภูมิภาค (แม้ว่าข้อแม้ที่อนุญาตให้ใช้การสุ่มตัวอย่างแบบแบนด์ยังคงใช้ได้) ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมสามารถเก็บไว้ในอีกครึ่งหนึ่งของสเปกตรัมเมื่อตัวอย่างเป็นจริงเพราะสัญญาณจริงแสดงสมมาตรสังยุคในโดเมนความถี่; หากสัญญาณของคุณเป็นจริงและคุณรู้สเปกตรัมตั้งแต่ถึงคุณสามารถสรุปได้ว่าอีกครึ่งหนึ่งของคลื่นความถี่นั้นคืออะไร$f_s$$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

ไม่มีข้อ จำกัด ดังกล่าวสำหรับสัญญาณที่ซับซ้อนดังนั้นสัญญาณที่ซับซ้อนที่สุ่มตัวอย่างที่อัตราสามารถบรรจุเนื้อหาจากถึง (สำหรับแบนด์วิดท์ทั้งหมดของ ) ดังที่คุณได้กล่าวไว้อย่างไรก็ตามไม่มีการปรับปรุงประสิทธิภาพโดยธรรมชาติที่จะทำที่นี่เนื่องจากตัวอย่างที่ซับซ้อนแต่ละชิ้นมีสององค์ประกอบ (ของจริงและจินตภาพ) ดังนั้นในขณะที่คุณต้องการตัวอย่างมากถึงครึ่งหนึ่งแต่ละตัวอย่างต้องการจำนวนที่เก็บข้อมูลสองเท่า ประโยชน์ทันทีใด ๆ สัญญาณที่ซับซ้อนมักใช้ในการประมวลผลสัญญาณอย่างไรก็ตามคุณมีปัญหาที่แมปกับโครงสร้างนั้นได้ดี (เช่นในระบบการสื่อสารพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส)$f_s$$-\frac{f_s}{2}$$\frac{f_s}{2}$$f_s$

นอกจากนี้ยังมีวิธีการง่ายๆในการอธิบายสิ่งนี้: ถ้าคุณสัญญาณเบสแบนด์จริงมีสเปกตรัมจาก -B ถึง + B คุณสุ่มตัวอย่างด้วย 2B ดังนั้นคุณต้องแน่ใจว่าการทำซ้ำสเปกตรัมของสเปกตรัมไม่ซ้อนทับกัน การทับซ้อนจะหมายความว่าคุณได้รับนามแฝงและไม่สามารถสร้างสเปกตรัมเดิมได้

ขณะนี้มีสัญญาณที่ซับซ้อนช่วงสเปกตรัมดังที่เจสันกล่าวถึงจาก 0 ถึง B (ในทางทฤษฎีมันสามารถมีสเปกตรัมที่ความถี่ลบได้ แต่สำหรับกรณีที่ใช้งานจริงส่วนใหญ่จะอยู่ในช่วง 0 ถึง B) หากคุณลอง อัตรา B เนื่องจากไม่มีส่วนใดที่ความถี่ลบในสเปกตรัมดั้งเดิมการทำซ้ำของคลื่นความถี่จะไม่ซ้ำซ้อน -> การสร้างใหม่ที่ชัดเจนเป็นไปได้!

ฉันว่ามันมีคุณสมบัติ 'ไม่' ในแง่ที่ว่าจำนวนตัวอย่างจริงของแต่ละบุคคลนั้นยังไม่ได้รับการชี้แจงอย่างชัดเจนพร้อมกับวัตถุประสงค์ในการเลือกอัตราการแปลงสัญญาณดิจิทัล

อย่างแรกสัญญาณโลกแห่งความจริงทั้งหมดเป็นของจริงแทนที่จะซับซ้อน นั่นคือเมื่อใดก็ตามที่เราต้องเผชิญกับการเป็นตัวแทนที่ซับซ้อนเรามีจุดข้อมูล (จริง) สองจุดซึ่งควรคำนึงถึงขีด จำกัด 'Nyquist'

ปัญหาที่สองคือ 'ความถี่เชิงลบ' ตามการรับรู้จากเบสแบนด์ การสอนแบบสุ่มตัวอย่างเกือบทั้งหมดมาจากมุมมองเบสแบนด์ดังนั้นความถี่มีแนวโน้มที่จะเป็น 0 B ซึ่งจะถูกสุ่มตัวอย่างที่ fs ความถี่เชิงลบนั้นเป็นสิ่งที่ถูกเพิกเฉย

เป็นไปได้ที่จะคิดถึงสัญญาณเบสแบนด์ราวกับว่ามันถูกมอดูเลตที่ความถี่ศูนย์อย่างไรก็ตามการเริ่มต้นการมอดูเลตของผู้ให้บริการที่จุด fs / 2 สามารถส่องสว่างได้เมื่อเราเห็นสองไซด์และคำที่ซับซ้อน (คณิตศาสตร์) จาก ผู้ให้บริการ. ความถี่เชิงลบก่อนหน้านี้เปลี่ยนไป และเราอาจไม่มีอัตลักษณ์คอนจูเกตที่ซับซ้อนอีกต่อไป

หากอัตลักษณ์ของคอนจูเกตที่ซับซ้อนถูกกำจัดออกไปเราจะไม่มีความถี่ในการพับอีกต่อไปและเรามีการล้อมรอบสมนามง่าย

ดังนั้นถ้าเรามีสัญญาณจริง HF ถูกสุ่มตัวอย่างเพื่อให้ demodulation ของการเป็นตัวแทนที่ซับซ้อนโดยไม่ต้องพับเราในบางแง่มุมจบลงด้วย fs / 4 แบนด์วิดธ์ (+/- B) สำหรับตัวอย่างข้อมูลทุก 4 (0, 90, 180, 270 องศา) เราส่งออกสองค่าซึ่งแสดงถึงองค์ประกอบในเฟส (0 - 180) และพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (90 - 270) ของตัวอย่างที่ซับซ้อนโดยรวม

ในโลกที่ซับซ้อนอย่างสมบูรณ์หากสัญญาณมีความซับซ้อนความถี่ในการสุ่มตัวอย่างมีความซับซ้อนทำให้เกิดเงื่อนไขเป็นสองเท่า ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่คุณต้องการจากสัญญาณตัวอย่าง