ทำไมการแปลงฟูริเยร์จึงสำคัญมาก?

129

ทุกคนพูดถึงการแปลงฟูริเยร์เมื่อพูดถึงการประมวลผลสัญญาณ ทำไมการประมวลผลสัญญาณจึงมีความสำคัญมากและมันบอกอะไรเราเกี่ยวกับสัญญาณ

มันใช้ได้กับการประมวลผลสัญญาณดิจิตอลหรือใช้กับสัญญาณอะนาล็อกด้วยหรือไม่

fourier-transform

— jcolebrand
แหล่งที่มา

10

เมื่อเร็ว ๆ นี้การสนทนาเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์ได้รับการฟื้นฟูทางคณิตศาสตร์และฉันคิดว่าผู้คนในไซต์นี้อาจพบว่ามันคุ้มค่าและอาจต้องการมีส่วนร่วม

— Dilip Sarwate

1

cf เลย คำตอบสำหรับพื้นหลังทางประวัติศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมนี้ วันที่ชุดฟูริเยอย่างน้อยไกลกลับเป็นดาราศาสตร์เกียร์มีส์ เพิ่มมากขึ้นและพิสดาร epicycles คล้ายกับการเพิ่มเงื่อนไขมากขึ้นในซีรีส์ฟูริเยร์หนึ่งสามารถอธิบายใด ๆการเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่องของวัตถุในท้องฟ้า

— Geremia

144

นี่เป็นคำถามที่ค่อนข้างกว้างและแน่นอนยากที่จะระบุว่าทำไมการแปลงฟูริเยร์จึงมีความสำคัญในการประมวลสัญญาณ คำตอบที่โบกมือง่ายที่สุดที่สามารถให้ได้คือมันเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังอย่างมากที่ช่วยให้คุณดูสัญญาณของคุณในโดเมนที่แตกต่างกันภายในซึ่งปัญหาที่ยากหลายอย่างกลายเป็นเรื่องง่ายในการวิเคราะห์

ความแพร่หลายของมันในเกือบทุกสาขาวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์กายภาพซึ่งมีเหตุผลแตกต่างกันทำให้ยากยิ่งขึ้นที่จะ จำกัด เหตุผลให้แคบลง ฉันหวังว่าการดูคุณสมบัติบางอย่างของมันซึ่งนำไปสู่การยอมรับอย่างกว้างขวางพร้อมกับตัวอย่างที่ใช้งานได้จริงและเส้นประของประวัติศาสตร์อาจช่วยให้เราเข้าใจความสำคัญของมัน

ประวัติความเป็นมา:

เพื่อให้เข้าใจถึงความสำคัญของการแปลงฟูริเยร์มันเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องถอยออกไปเล็กน้อยและซาบซึ้งถึงพลังของซีรี่ส์ฟูริเยร์ที่โจเซฟฟูริเยร์นำเสนอ ใน nut-shell ฟังก์ชันใด ๆ ที่เป็นคาบอยู่ในโดเมนสามารถเขียนเป็นผลรวมอนันต์ของ sines และ cosines เป็น $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

ที่ )ความคิดนี้ว่าฟังก์ชั่นสามารถแบ่งออกเป็นความถี่ที่เป็นองค์ประกอบของมัน (เช่นเป็นไซน์และโคไซน์ของความถี่ทั้งหมด) เป็นหนึ่งที่มีประสิทธิภาพและรูปแบบกระดูกสันหลังของการแปลงฟูริเยร์ $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

การแปลงฟูริเยร์:

การแปลงฟูริเยร์สามารถดูได้ว่าเป็นส่วนขยายของชุดฟูริเยร์ด้านบนไปยังฟังก์ชันที่ไม่ใช่ระยะ เพื่อความสมบูรณ์และเพื่อความชัดเจนฉันจะกำหนดการแปลงฟูริเยร์ที่นี่ ถ้าเป็นสัญญาณที่ต่อเนื่องและรวมกันแล้วการแปลงฟูริเยร์จะได้รับ $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

และการแปลงผกผันได้รับจาก

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

ความสำคัญในการประมวลผลสัญญาณ:

อย่างแรกและสำคัญที่สุดการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณจะบอกคุณว่ามีความถี่ใดบ้างในสัญญาณของคุณและในสัดส่วนใด

ตัวอย่าง:คุณเคยสังเกตไหมว่าปุ่มตัวเลขแต่ละปุ่มของโทรศัพท์ของคุณนั้นดูแตกต่างกันเมื่อคุณกดระหว่างการโทรและมันจะฟังเหมือนกันสำหรับโทรศัพท์ทุกรุ่นหรือไม่? นั่นเป็นเพราะพวกเขาแต่ละคนประกอบด้วยไซนัสด์ที่แตกต่างกันสองแบบซึ่งสามารถใช้เพื่อระบุปุ่มโดยเฉพาะ เมื่อคุณใช้โทรศัพท์ของคุณต่อยเป็นชุดเพื่อนำทางเมนูวิธีที่อีกฝ่ายรู้ว่าปุ่มใดที่คุณกดคือทำการแปลงฟูริเยร์ของอินพุตและดูความถี่ที่มีอยู่

นอกเหนือจากคุณสมบัติเบื้องต้นที่มีประโยชน์มากซึ่งทำให้คณิตศาสตร์มีส่วนเกี่ยวข้องอย่างง่ายแล้วบางส่วนของเหตุผลอื่น ๆ ที่ทำให้มันมีความสำคัญอย่างกว้างขวางในการประมวลผลสัญญาณคือ:

$\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
$\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
$x(t)$ $y(t)$

$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
สำหรับสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องกับการพัฒนาอัลกอริธึม FFT ที่มีประสิทธิภาพเกือบทุกครั้งมันจะเร็วกว่าที่จะใช้การดำเนินการสังวัตนาในโดเมนความถี่มากกว่าในโดเมนเวลา
$Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
ด้วยความสามารถในการแยกสัญญาณออกเป็นความถี่ที่เป็นองค์ประกอบของพวกเขาหนึ่งสามารถบล็อกความถี่บางอย่างที่เลือกโดยการลบล้างการมีส่วนร่วมของพวกเขา

ตัวอย่าง:ถ้าคุณเป็นแฟนฟุตบอล (ฟุตบอล) คุณอาจจะรู้สึกรำคาญใจกับเสียงพึมพำอย่างต่อเนื่องของ vuvuzelas ที่เกือบจะจมอยู่ใต้คำวิจารณ์ทั้งหมดในฟุตบอลโลก 2010 ในแอฟริกาใต้ อย่างไรก็ตาม vuvuzela มีระยะห่างคงที่ ~ 235Hz ซึ่งทำให้ผู้แพร่ภาพใช้ตัวกรองรอยเพื่อตัดเสียงรบกวนที่เกิดขึ้นได้ง่าย ^[1]
สัญญาณที่เลื่อน (ล่าช้า) ในโดเมนเวลาแสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงเฟสในโดเมนความถี่ ขณะที่สิ่งนี้ตกอยู่ภายใต้หมวดหมู่ของคุณสมบัติระดับประถมศึกษานี่เป็นคุณสมบัติที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการใช้งานด้านภาพและเอกซเรย์

ตัวอย่าง:เมื่อคลื่นเคลื่อนที่ผ่านตัวกลางที่ต่างกันมันจะช้าลงและเร็วขึ้นตามการเปลี่ยนแปลงความเร็วของการแพร่กระจายคลื่นในตัวกลาง ดังนั้นโดยการสังเกตการเปลี่ยนแปลงในระยะจากสิ่งที่คาดหวังและสิ่งที่วัดได้เราสามารถสรุปการหน่วงเวลาส่วนเกินซึ่งจะบอกคุณว่าความเร็วของคลื่นมีการเปลี่ยนแปลงในสื่อ แน่นอนว่านี่เป็นคำอธิบายของคนธรรมดาที่เรียบง่าย แต่เป็นพื้นฐานสำหรับการตรวจเอกซเรย์
สัญญาซื้อขายล่วงหน้าของสัญญาณ (n ^thอนุพันธ์เกินไป) สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย (ดู 106) โดยใช้การแปลงฟูริเยร์

การประมวลผลสัญญาณดิจิตอล (DSP) กับการประมวลผลสัญญาณอนาล็อก (ASP)

ทฤษฎีการแปลงฟูริเยร์สามารถนำมาใช้ได้ไม่ว่าสัญญาณจะต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องตราบใดที่มันเป็น "ดี" และสามารถบูรณาการได้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นใช่ ASP ใช้การแปลงฟูริเยร์ตราบเท่าที่สัญญาณตอบสนองเกณฑ์นี้ อย่างไรก็ตามอาจเป็นเรื่องธรรมดาที่จะพูดคุยเกี่ยวกับการแปลง Laplace ซึ่งเป็นการแปลงฟูเรียร์ทั่วไปใน ASP Laplace transform ถูกกำหนดเป็น

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

ข้อได้เปรียบคือไม่จำเป็นต้อง จำกัด "สัญญาณดี" เช่นเดียวกับในการแปลงฟูริเยร์ แต่การแปลงจะใช้ได้ภายในขอบเขตของการลู่เข้าเท่านั้น มันถูกใช้อย่างกว้างขวางในการศึกษา / วิเคราะห์ / ออกแบบวงจร LC / RC / LCR ซึ่งจะถูกใช้ในวิทยุ / กีต้าร์ไฟฟ้า, เหยียบวา - วาห์ ฯลฯ

นี้สวยมากทั้งหมดที่ฉันสามารถคิดตอนนี้ แต่ไม่ทราบว่าจำนวนเงินที่ไม่มีการเขียน / คำอธิบายอย่างเต็มที่สามารถจับความสำคัญที่แท้จริงของการแปลงฟูริเยร์ในการประมวลผลสัญญาณและวิทยาศาสตร์ / วิศวกรรม

— Lorem Ipsum
แหล่งที่มา

2

คำตอบที่ดีในการให้แอปพลิเคชันในโลกแห่งความจริงโดยใช้ FT และคุณสมบัติของมัน +1

— goldenmean

3

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

6

เมื่อฉันเริ่มอ่านคำตอบนี้ฉันรู้ว่า @yoda เขียนไว้ก่อนที่ฉันจะเลื่อนลงเพื่อดูว่าจริง ๆ แล้วมันคือใคร =)

— Phonon

2

หากต้องการอธิบายอย่างละเอียดเกี่ยวกับ # 3: Convolution คือสิ่งที่คุณทำเมื่อคุณใช้ตัวกรองกับรูปภาพเช่นตัวกรองเฉลี่ยหรือตัวกรอง Gaussian (แม้ว่าคุณจะไม่สามารถกรองตัวกรองแบบไม่ใช่เชิงเส้นฟูเรียร์ได้)

— Jonas

1

ประเด็นของ Peter K สำคัญมาก สัญญาณสามารถแสดงด้วยความเคารพต่อหลายฐานที่แตกต่างกัน Sines และ cosines มีความพิเศษเพราะเป็นคุณสมบัติเฉพาะของระบบ LTI

— nibot

53

คำตอบที่ยอดเยี่ยมของ Lorem Ipsumคิดถึงสิ่งหนึ่ง: การแปลงฟูริเยร์ทำให้สัญญาณแตกสลายเป็นเลขยกกำลังเชิงซ้อน

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

และ exponentials ซับซ้อนเป็นeigenfunctionsสำหรับเส้นเวลาระบบคงที่

$H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = A e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

ดังนั้นการแปลงฟูริเยร์จึงเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการวิเคราะห์ระบบเชิงเส้นและไม่แปรเปลี่ยนเวลา

— ปีเตอร์เค
แหล่งที่มา

@ Peter K. ฉันคิดว่าตามปรัชญาของการเลือกความถูกต้อง (ทางวิชาการ) เหนือ "ความนิยม" ของคำตอบคำตอบของคุณควรถูกรวมเข้ากับคำตอบข้างต้นโดย Lorem Ipsum ซึ่งแม้จะถูกเลือกเป็นคำตอบที่ 96 คะแนนจากผู้ใช้ขาดมุมมองที่สำคัญมากนี้

— Fat32

@Peter ขออภัยที่รบกวนคุณด้วยคำขอนี้ แต่คุณคือ 1) ผู้ดูแล 2) ชื่อของคุณปรากฏในรายชื่อผู้ใช้ที่ "ใช้งาน" ด้วยแท็ก beamforming ของคุณ คุณสามารถให้ความเห็นอย่างรวดเร็วว่าโพสต์นี้ใน Math.SE จะได้รับการตอบรับดีหรือไม่? ฉันไม่แน่ใจว่า DSP.SE, Math.SE หรือ EE.SE มีโอกาสที่ดีที่สุดในการช่วยเหลือผู้ถามหรือไม่ ฉันกำลังพิจารณาการย้ายถิ่น (ซึ่งฉันสามารถทำในฐานะผู้ดูแลระบบ Math.SE)

— Jyrki Lahtonen

@ Peter เคคุณช่วยกรุณาเปิดคำถามที่: dsp.stackexchange.com/questions/37468 ฉันซ่อมมัน. ขอขอบคุณ.

— Royi

@Royi มันเปิดอยู่แล้ว?

— Peter K.

ปีเตอร์ (ทำไมบางคนถึงสามารถใช้งานได้@และบางคนไม่สามารถทำได้? ตัวเลือกสำหรับสิ่งนั้นอยู่ที่ไหน) ดูเหมือนว่ามีใครบางคนเปิดมัน ขอขอบคุณ.

— Royi

16

เหตุผลอื่น ๆ:

มันเร็ว (เช่นมีประโยชน์สำหรับการบิด) เนื่องจากความซับซ้อนเชิงเส้นตรงเวลา (โดยเฉพาะของFFT )
ฉันจะโต้แย้งว่าหากไม่เป็นเช่นนั้นเราอาจจะทำอะไรได้มากกว่านี้ในโดเมนเวลาและในโดเมนฟูริเยร์ก็น้อยลง

แก้ไข: เนื่องจากมีคนขอให้ฉันเขียนว่าทำไม FFT จึงรวดเร็ว ...

เป็นเพราะมันหลีกเลี่ยงการทำงานพิเศษอย่างชาญฉลาด

$a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

$n^2$

แต่เราสามารถทำให้การสังเกตโลกีย์ดูเหมือน: เพื่อคูณสองมีหลายชื่อที่เราไม่จำเป็นต้องฟอยล์ค่าสัมประสิทธิ์ แต่เราก็สามารถประเมินพหุนามที่หมายเลข (เพียงพอ) ของจุดทำpointwiseคูณของค่าประเมินแล้วสอดแทรกที่จะได้รับผลที่ได้กลับมา

$n$ $2n$ $\approx n^2$

แต่ถ้าเราทำอย่างถูกต้อง! การประเมินพหุนามเดียวในหลายจุดในครั้งเดียวเป็นได้เร็วขึ้นกว่าที่ประเมินไว้ที่จุดเหล่านั้นทีละถ้าเราประเมินที่ "สิทธิ" จุด คะแนน "ถูกต้อง" คืออะไร

$z$ $z^n = 1$

เราสามารถทำกระบวนการที่คล้ายกันมากสำหรับการประมาณค่าผ่านจุดเพื่อให้ได้ค่าสัมประสิทธิ์พหุนามกลับมาเพียงแค่ใช้รากผกผันของเอกภาพ

$n \log n$ $n^2$

ดังนั้นความสามารถในการใช้ FFT เพื่อดำเนินการทั่วไป (เช่นการคูณพหุนาม) ได้เร็วขึ้นมากเป็นสิ่งที่ทำให้มีประโยชน์และนั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมผู้คนต่างตื่นเต้นกับการค้นพบอัลกอริธึมใหม่ของSparse FFT

— Mehrdad
แหล่งที่มา

ความซับซ้อนของเวลาเชิงเส้นตรงคืออะไร? ฉันจะไม่ downvote คำตอบนี้ แต่ผมไม่คิดว่ามันจะเพิ่มสิ่งที่มีมูลค่าเพื่อการสนทนานี้ในฟูริเยร์แปลง

— Dilip Sarwate

1

@DilipSarwate ฉันสงสัยว่าเขาใช้มันเป็นชวเลขสำหรับ O (n * log (n))

— Jim Clay

@DilipSarwate: จิมพูดถูก มันมีทุกอย่างเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์ (ไม่ต่อเนื่อง) หากไม่มี FFT การแปลงฟูริเยร์ของคุณจะใช้เวลาเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของขนาดอินพุตซึ่งจะทำให้มีประโยชน์น้อยกว่ามาก แต่ด้วย FFT พวกเขาใช้เวลาตามสัดส่วนขนาดของอินพุต (คูณด้วยลอการิทึม) ซึ่งทำให้มีประโยชน์มากขึ้นและเร็วขึ้นมากในการคำนวณ นอกจากนี้อาจเป็นการอ่านที่น่าสนใจ

— Mehrdad

คุณควรพูดถึงเหตุผลที่รวดเร็ว มันเร็วแค่ไหนและทำไมเราถึงสนใจความเร็ว

— CyberMen

1

ฉันคิดว่าคำตอบนี้ถูกต้องตามกฎหมาย มันควรจะถูกถอดความ - "นอกเหนือจากคุณสมบัติที่ดีทั้งหมดที่อธิบายในคำตอบของคนอื่น ๆ FFT ช่วยให้มันกลายเป็นวิธีที่เป็นไปได้ในการใช้งานแบบเรียลไทม์"

— Andrey Rubshtein

15

$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

แก้ไข: เป็นเรื่องของความเป็นจริงที่แตกต่างกัน (และหนึ่ง) ผู้ประกอบการเป็นผู้ประกอบการ LSIV ดูที่นี่

— chaohuang
แหล่งที่มา

8

คำตอบอื่น ๆ ในหัวข้อนี้มีการอภิปรายทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมของคำจำกัดความและคุณสมบัติของการแปลงฟูริเยร์ ในฐานะโปรแกรมเมอร์เสียงฉันแค่ต้องการให้สัญชาตญาณส่วนตัวของฉันเองว่าทำไมมันถึงสำคัญสำหรับฉัน

การแปลงฟูริเยร์ทำให้ฉันสามารถตอบคำถามเกี่ยวกับเสียงที่ยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะตอบด้วยวิธีอื่น ทำให้ปัญหายากง่าย

การบันทึกประกอบด้วยชุดโน้ตดนตรีสามชุด บันทึกคืออะไร? หากคุณปล่อยให้การบันทึกเป็นชุดของแอมพลิจูดเมื่อเวลาผ่านไปนี่ไม่ใช่ปัญหาง่าย หากคุณแปลงการบันทึกเป็นชุดความถี่เมื่อเวลาผ่านไปมันเป็นเรื่องง่ายมาก

ฉันต้องการเปลี่ยนระดับเสียงของการบันทึกโดยไม่เปลี่ยนระยะเวลา ฉันจะทำสิ่งนี้ได้อย่างไร เป็นไปได้ แต่ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะทำเพียงแค่ปรับความกว้างของสัญญาณอินพุต แต่มันง่ายถ้าคุณรู้ความถี่ที่ประกอบด้วยสัญญาณ

การบันทึกนี้มีคำพูดหรือมีเพลงหรือไม่? ยากมากที่จะทำโดยใช้วิธีการตามแอมพลิจูด แต่มีวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่คาดเดาคำตอบที่ถูกต้องเกือบตลอดเวลาตามการแปลงฟูริเยร์และครอบครัว

เกือบทุกคำถามที่คุณต้องการถามเกี่ยวกับการบันทึกเสียงแบบดิจิตอลทำได้ง่ายขึ้นโดยการแปลงการบันทึกโดยใช้การแปลงฟูริเยร์รุ่นต่อเนื่อง

ในทางปฏิบัติอุปกรณ์เสียงดิจิตอลทุกรุ่นต้องอาศัยฟังก์ชั่นที่คล้ายกับการแปลงฟูริเยร์มาก

อีกครั้งให้อภัยคำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ นี่เป็นเพียงสัญชาตญาณส่วนตัวของฉันว่าทำไมการแปลงฟูริเยร์จึงมีความสำคัญ

— johnwbyrd
แหล่งที่มา

เฮ้จอห์นฉันมีคำถามโง่ ๆ ฉันต้องการคำนวณ TWA ( osha.gov/pls/oshaweb/ … ) จากเสียงที่เราบันทึกไว้ในที่ทำงานฉันสงสัยว่าฉันสามารถวัดค่านี้ได้แม่นยำมากขึ้นถ้าฉันใช้การแปลงฟูริเยร์ในการวิเคราะห์ไฟล์เสียงของฉัน

— Hossein Sarshar

ไม่เว้นแต่ว่ามีการปรับเทียบไมโครโฟนและสภาพแวดล้อมการบันทึกหมายเลข

— johnwbyrd

6

คนอื่นให้คำตอบที่ดีและมีประโยชน์ แค่คิดเกี่ยวกับสัญญาณบางอย่าง: คุณเพียงแคร์ว่าความถี่อยู่ในนั้น (และเฟสของมัน) ไม่ใช่เกี่ยวกับโดเมนเวลา ฉันไม่ทราบว่านี่เป็นคำตอบสุดท้ายหรือสมบูรณ์ แต่เป็นอีกสาเหตุหนึ่งที่การแปลงฟูริเยร์มีประโยชน์

เมื่อคุณมีสัญญาณบางอย่างอาจประกอบด้วยจำนวนความถี่ (หรือใกล้เคียง) ขึ้นอยู่กับอัตราการสุ่มตัวอย่างของคุณ แต่นั่นไม่ใช่กรณี: เรารู้ว่าสัญญาณส่วนใหญ่มีความถี่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้หรือว่าเราสุ่มตัวอย่างในอัตราที่สูงพอ

ถ้าเรารู้สิ่งนั้นทำไมเราใช้มันไม่ได้? นั่นคือสิ่งที่การตรวจจับที่ถูกบีบอัดทำ พวกเขารู้ว่าสัญญาณที่เป็นไปได้มากที่สุดคือสัญญาณที่มีข้อผิดพลาดน้อยที่สุดและมีความถี่น้อยที่สุด ดังนั้นพวกเขาลดข้อผิดพลาดโดยรวมที่เกี่ยวข้องกับการวัดของเราเช่นเดียวกับขนาดของการแปลงฟูริเยร์

สัญญาณของความถี่ไม่กี่ครั้งมักจะมีการแปลงฟูริเยร์น้อยที่สุดหรือเป็นศูนย์ส่วนใหญ่ สัญญาณของความถี่หนึ่งมีฟังก์ชันเดลต้าเป็นการแปลงตัวอย่างเช่น

เราสามารถใช้นิยามทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการได้เช่นกัน

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$
$y$
$A$
$x$
$\lambda$
$F(x)$

คุณอาจจำได้ว่า Nyquist กล่าวว่าคุณต้องวัดความถี่สูงสุดเป็นสองเท่าเพื่อให้ได้ภาพที่ดี นั่นคือสมมติว่าคุณมีความถี่ไม่สิ้นสุดในสัญญาณของคุณ เราสามารถผ่านพ้นไปได้!

สาขาการตรวจจับที่ถูกบีบอัดสามารถสร้างสัญญาณใด ๆ ที่ส่วนใหญ่เป็นศูนย์ (หรือกระจัดกระจาย) ในบางโดเมน นั่นคือกรณีของการแปลงฟูริเยร์

— สกอตต์
แหล่งที่มา

5

ความสำคัญหลักของการแปลงฟูริเยร์อยู่ที่การวิเคราะห์ระบบ ส่วนประกอบหลักของจักรวาลของเราคือสูญญากาศและสุญญากาศเป็นพาหะเชิงเส้นพื้นฐานและไม่แปรเปลี่ยนของเวลา: เขตข้อมูลต่าง ๆ ซ้อนทับด้วยการเพิ่มเวกเตอร์ตามลำดับและไม่ว่าคุณจะใช้ซ้ำในบางฟิลด์ผลลัพธ์จะเหมือนกัน .

ดังนั้นระบบจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับสสารทางกายภาพก็จะมีการประมาณค่าที่ดีซึ่งเป็นระบบเชิงเส้นและไม่แปรผันตามเวลา

ระบบ LTI ดังกล่าวสามารถอธิบายได้โดย "การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น" และการตอบสนองต่อสัญญาณที่มีการกระจายเวลาใด ๆ นั้นสามารถอธิบายได้ด้วยการชักจูงสัญญาณด้วยการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น

Convolution เป็นการสลับสับเปลี่ยนและเชื่อมโยงการดำเนินการ แต่ก็ค่อนข้างมีการคำนวณและมีแนวคิดที่ค่อนข้างแพง อย่างไรก็ตามการแปลงฟังก์ชั่นนั้นถูกแมปโดยการแปลงฟูริเยร์เป็นการคูณทีละชิ้น

นั่นหมายความว่าคุณสมบัติของระบบไม่แปรผันตามเวลาเชิงเส้นและการรวมกันของมันจะอธิบายและจัดการได้ดีขึ้นมากหลังจากการแปลงฟูริเยร์

เป็นผลให้สิ่งต่าง ๆ เช่น "การตอบสนองความถี่" มีลักษณะค่อนข้างมากสำหรับการอธิบายพฤติกรรมของระบบจำนวนมากและมีประโยชน์ในการอธิบายลักษณะเหล่านั้น

การแปลงฟูริเยร์แบบเร็วนั้นอยู่ในระดับ "เกือบ แต่ไม่ค่อนข้างแตกต่างจากฟูเรียร์ที่แปลง" ทั้งหมดเนื่องจากผลลัพธ์ของพวกเขาไม่สามารถแปลความหมายได้อย่างสมเหตุสมผลเมื่อฟูริเยร์แปลงแม้ว่าจะส่งไปในทฤษฎีของพวกเขาอย่างแน่นหนา พวกมันสอดคล้องกับการแปลงฟูริเยร์อย่างสมบูรณ์เฉพาะเมื่อพูดถึงสัญญาณตัวอย่างที่มีช่วงเวลาของช่วงการแปลง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกณฑ์ "ระยะเวลา" นั้นแทบจะไม่เคยพบกัน

มีเทคนิคหลายประการสำหรับการแก้ไขเช่นการใช้ฟังก์ชันการซ้อนหน้าต่าง

อย่างไรก็ตาม FFT สามารถใช้ในการทำสังวัตนาแบบไม่ต่อเนื่องเมื่อทำสิ่งที่ถูกต้องและเป็นอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพซึ่งทำให้มีประโยชน์สำหรับสิ่งต่าง ๆ มากมาย

เราสามารถใช้อัลกอริธึมพื้นฐาน FFT สำหรับการแปลงเชิงทฤษฎีจำนวน (ซึ่งทำงานในเขตข้อมูลจำนวนไม่ต่อเนื่องมากกว่า "reals" ที่ซับซ้อน) เพื่อที่จะทำการแปลงอย่างรวดเร็วเช่นเมื่อคูณจำนวนที่มีค่าหรือชื่อพหุนาม ในกรณีนี้ "โดเมนความถี่" แยกไม่ออกจากสัญญาณรบกวนสีขาวสำหรับอินพุตใด ๆ และไม่มีการตีความที่เป็นประโยชน์ก่อนที่คุณจะแปลงอินเวอร์สอีกครั้ง

— เดวิด
แหล่งที่มา

2

ความเกี่ยวข้องทางฟิสิกส์ของการแปลงฟูริเยร์คือมันบอกแอมพลิจูดสัมพัทธ์ของความถี่ที่มีอยู่ในสัญญาณ สามารถกำหนดได้ทั้งสัญญาณไม่ต่อเนื่องและสัญญาณเวลาต่อเนื่อง สัญญาณใด ๆ ที่สามารถแสดงเป็นส่วนผสมของความถี่ฮาร์โมนิจำนวนมาก การแปลงฟูริเยร์ช่วยในการกรองแอพพลิเคชั่นที่เราต้องการเพียงช่วงความถี่ที่แน่นอนเท่านั้นก่อนอื่นเราต้องรู้ว่าแอมพลิจูดของความถี่มีอยู่ในสัญญาณอะไร

— Vatsyayan
แหล่งที่มา