คำอธิบาย PSD (ความหนาแน่นสเปกตรัมทางพลังงาน)

ฉันพยายามที่จะเข้าใจวิธีการคำนวณ PSD ฉันได้ดูหนังสือเรียนด้านวิศวกรรมการสื่อสารของฉันสองสามเล่ม แต่ก็ไม่เป็นประโยชน์ ฉันดูออนไลน์ด้วย Wikipediaดูเหมือนจะมีคำอธิบายที่ดีที่สุด อย่างไรก็ตามฉันหลงทางในส่วนที่พวกเขาตัดสินใจที่จะสร้าง CDF (ฟังก์ชั่นการสะสม Distrubution) และจากนั้นด้วยเหตุผลบางอย่างตัดสินใจที่เกี่ยวข้องกับที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่น

ฉันเดาว่าสิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือความสัมพันธ์อัตโนมัติมีส่วนเกี่ยวข้องกับการคำนวณ PSD อย่างไร ฉันคิดว่า PSD ง่าย ๆ คือการแปลงฟูริเยร์ของ (โดยที่คือพลังของสัญญาณเมื่อเทียบกับเวลา) $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— user968243
แหล่งที่มา

คุณกำหนดอย่างไร

P (t)

$P(t)$

— Phonon

ฉันไม่ได้นิยามว่ามันเป็นอะไร มันเป็นเพียงสัญญาณไฟ ฉันเดาว่าถ้าฉันต้องนิยามมันคงเป็น ... ฉันเดาว่าประเด็นคือ PSD ไม่ใช่และมันมีบางอย่างเกี่ยวกับความสัมพันธ์อัตโนมัติและฉันไม่ได้รับอะไร ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

คุณไม่สามารถกำหนดพลังแบบนี้สำหรับสัญญาณโดยพลการ ไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับแรงดันและกระแส พลังงานในกรณีนี้หมายถึงพลังของคลื่น (แม่เหล็กไฟฟ้าหากคุณต้องการ) ดังนั้นมันคือและเป็นตัวเลขเดียวไม่ใช่ปริมาณที่แปรผันตามเวลา

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Phonon

อ่านเกี่ยวกับWiener-Khinchin ทฤษฎีบท คุณปฏิเสธที่จะเข้าใจสิ่งที่ Phonon ชี้ให้เห็นว่าขีด จำกัด ที่คุณคำนวณนั้นเป็นค่าคงที่ดังนั้นการแปลงฟูริเยร์จึงเป็นเพียงแรงกระตุ้นที่ในโดเมนความถี่ ถ้านั่นลอยเรือของคุณไปหามัน แต่มันไม่ได้เป็นความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานที่ทุกคนเข้าใจมัน

f = 0

$f=0$

— Dilip Sarwate

ฉันได้อ่านเกี่ยวกับทฤษฎีบทนั้นแล้วและฉันเข้าใจว่ามันเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูริเยร์เป็นความสัมพันธ์อัตโนมัติ และฉันไม่ปฏิเสธที่จะเข้าใจสิ่งที่ Phonon พูด ... ฉันเข้าใจอย่างแน่นอนว่า @Phonon พูดอะไร สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือเหตุผลที่ใช้สูตร autocorrelation และฉันก็ไม่เข้าใจว่าทำไมใช้วิธีการแปลงฟูริเยร์ (เพื่อให้ได้ PSD คุณสามารถใช้การแปลงฟูริเยร์ได้ ... ฉันไม่รู้ว่าทำไมการทำเช่นนี้จึงให้ PSD และฉันไม่สามารถหาแหล่งที่มาที่เหมาะสมได้

— user968243

คำตอบ:

คุณพูดถูกแล้ว PSD เกี่ยวข้องกับการคำนวณการแปลงฟูริเยร์ของพลังของสัญญาณและคาดเดาว่าจะทำอะไร ..... แต่ก่อนอื่นเรามาดูความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่าง PSD และฟังก์ชั่นความสัมพันธ์อัตโนมัติ

ข้อความ:
- การแปลงฟูริเยร์: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (เวลา) ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
ลองมาพิสูจน์ได้ว่าฟูริเยร์แปลงของฟังก์ชั่น Auto-ความสัมพันธ์ไม่แน่นอนเท่ากับความหนาแน่นของพลังงานทางสเปกตรัมของสัญญาณสุ่มสัญญาณของเรา(t) $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

มันไม่สิ่งที่ทุกคนหมายถึงอะไร? หมายเหตุ: คำอธิบายนี้ค่อนข้าง "แฮ็ค" แต่ที่นี่มันไป

การแปลงฟูริเยร์จะบอกส่วนประกอบสเปกตรัมของสัญญาณให้เราทราบ ในกรณีของเราสัญญาณคือ Stochastic ดังนั้นพยายามที่จะคำนวณส่วนประกอบสเปกตรัมของสัญญาณจะไม่มีจุดหมายเพราะสำหรับการสำนึกของกระบวนการสุ่มทุกท่านจะมีการแสดงออกที่แตกต่างกันสำหรับ(t)] $\mathcal{F}[x(t)]$

ถ้าคุณใช้ค่าที่คาดหวังของการแปลงฟูริเยร์ล่ะ? สิ่งนี้จะไม่ทำงาน ลองหาสัญญาณเฉลี่ยเป็นศูนย์

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณใช้การแปลงฟูริเยร์ของจตุรัสของสัญญาณ

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Power of the Signal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

ฟังก์ชั่นออโต้คอร์เรชั่นคือที่คุณพูดถึง $P(t)$

อ้างอิง:

[1] การสื่อสาร 1, PL Dragotti, Imperial College London

[2] White Noise and Estimation, F. Tobar [รายงานที่ไม่เผยแพร่]

— ssk08
แหล่งที่มา

คำอธิบายที่ยอดเยี่ยม! คำถามแคลคูลัสขนาดเล็ก - คุณสามารถแลกเปลี่ยนและภายในอินทิกรัลสองครั้งได้เพียงเพราะข้อ จำกัด ของพวกเขาทั้งจาก -ถึง + ?

d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

— Spacey

ใช่ถูกต้อง.

— ssk08

โอเคฉันคิดว่าฉันเข้าใจแล้ว ฉันเห็นได้ว่าการแปลงฟูริเยร์เกี่ยวข้องกับออโตคอร์เรชั่นอย่างไร ผมไม่เข้าใจจริงๆ แต่สิ่งที่เป็นปัญหากับการแปลงฟูเรียร์ของหรือ(t) ฉันไม่เห็นว่าทำไมต้องมีการคาดหวังค่าที่คาดไว้ (ฉันรู้ว่ามันเฉลี่ย แต่ฉันไม่รู้ว่าทำไมมันถึงจำเป็น) และฉันไม่เข้าใจสิ่งที่คุณหมายถึงโดย 'สำหรับการสุ่มทุกครั้ง กระบวนการคุณจะมีนิพจน์ที่แตกต่างกันสำหรับ ' หากคุณสามารถอธิบายรายละเอียดเล็ก ๆ น้อย ๆ ได้มันก็เยี่ยมมาก! ขอขอบคุณสำหรับเวลาของคุณ!

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

— user968243

@ user968243 เท่าที่ส่วน "สำหรับทุกการรับรู้" ให้คิดอย่างนี้: สัญญาณดั้งเดิมของคุณ, บอกความยาว , ที่คุณต้องการหา PSD สำหรับ, เป็นเวกเตอร์แบบสุ่ม มันคือเวกเตอร์ที่มีองค์ประกอบทีนี้เนื่องจากนี่เป็นเวกเตอร์สุ่มทุกครั้งที่คุณทอยลูกเต๋าคุณจะได้รับค่าต่าง ๆ สำหรับส่วนประกอบ ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งอาจเป็น [3 4 1 9 ... ] ความเป็นไปได้อีกอย่างอาจเป็น [2.9 4.2 1.1 9.02 ... ] นี่คือสิ่งที่เขาหมายถึงเมื่อเขาพูดว่า "สำหรับทุกการรับรู้ของกระบวนการสุ่ม (เวกเตอร์ของคุณ) คุณจะได้รับการแสดงออกที่แตกต่างกันสำหรับ" (การแปลงฟูริเยร์ทำให้รู้สึก?

N

$N$

N

$N$

— Spacey

@ Mohammad สรุปได้อย่างสมบูรณ์

— ssk08

ดีมา แต่ฉันคิดว่าคุณสามารถทำได้ง่ายยิ่งขึ้น

Auto correlation , มันเป็นการโน้มน้าวใจของสัญญาณเมื่อถึงเวลาพลิกตัวเอง $r(t) = x(t)*x(-t)$

การแปลงในโดเมนเวลาเป็นการคูณในโดเมนความถี่

การพลิกเวลาในโดเมนเวลาคือ "การผันคำกริยาที่ซับซ้อน" ในโดเมนความถี่

ดังนั้นเราจึงได้

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
แหล่งที่มา

ความสัมพันธ์อัตโนมัติของการโน้มน้าวของสัญญาณกับการรวมตัวกันที่ซับซ้อนของตัวเองพลิกเวลาคืออะไร?

— Jim Clay

ฉันคิดว่าเขากำลังสมมติว่าสัญญาณเป็นจริง

— ssk08

@Jim & ssk08: คุณทั้งคู่ถูกต้องแน่นอน ขอบคุณที่ทำความสะอาดสมการ

— Hilmar

คำอธิบาย PSD (ความหนาแน่นสเปกตรัมทางพลังงาน)

ฟังก์ชั่นออโต้คอร์เรชั่นคือที่คุณพูดถึงP(t)P(t)P(t)

ฟังก์ชั่นออโต้คอร์เรชั่นคือที่คุณพูดถึง $P(t)$