ศูนย์ที่ศูนย์ความถี่สำหรับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง

ฉันกำลังทำงานกับแอปพลิเคชั่นการประมวลผลภาพซึ่งใช้การแปลงฟูริเยร์แบบแยกเพื่อใช้การเบลอ / การลับภาพ แอปพลิเคชันทำงานได้ไม่มากก็น้อย แต่สิ่งที่เกี่ยวกับกลไกยังทำให้ฉันสับสน

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นวิธีการที่กระบวนการของการศูนย์ความถี่ศูนย์จะถูกทำ

ตัวอย่างที่ฉันได้เห็นก่อนการประมวลผลภาพอินพุต (ของความเข้ม greyscale) โดยการคูณมันด้วยเมทริกซ์ขนาดเท่ากับภาพอินพุตที่มีค่าเป็นโดยที่คือแถว,คือ คอลัมน์ดังนั้นรูปแบบสลับและ x y 1 - $(-1)^{x+y}$$x$$y$$1$$-1$

ตามหมายเหตุนี้เทียบเท่ากับการสลับจตุภาคของเมทริกซ์โดยการพลิกข้ามแกนและ$x$$y$

ฉันเข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้นและฉันอยากจะเครียดฉันเข้าใจว่าฉันมีโค้ด / ฟูริเยร์ทำงานฉันก็ไม่เข้าใจว่าทำไมการคูณเมทริกซ์อินพุทด้วย 1 / -1 นั้นจบลงที่กึ่งกลางองค์ประกอบศูนย์ 0 รอบ

ขอบคุณ

Oh! ช่างเป็นกลอุบายที่ยอดเยี่ยม! มันใช้งานได้เนื่องจากทฤษฎีบทการสนทนา (เช่นการคูณในโดเมนอวกาศ / เวลาเทียบเท่ากับการสนทนาในโดเมนความถี่)

มันไม่ได้พลิกข้ามแกนและมันกำลังหมุนภาพของการแปลงฟูริเยร์ (คิดว่าหมุนครึ่งทางไปรอบ ๆ กระบอก) เคล็ดลับที่นี่คือการสลับ -1,1 ในโดเมนอวกาศเป็นสัญญาณที่มีความถี่สูงสุด ดังนั้นการแปลงฟูริเยร์ของภาพนั้นจึงเป็นจุดเดียวในโดเมนความถี่ การชักจูงด้วยจุดเดียวนั้นเทียบเท่ากับการเลื่อน (หมุน) ภาพโดยออฟเซ็ตของจุดจากความถี่ศูนย์$x$$y$

นี่คือภาพการทดสอบ: การแปลงฟูริเยร์ดูเหมือนว่า:

หากคุณใช้ฟูเรียร์ของภาพสลับ ( ) ก็จะส่งผลในจุดเดียวที่เหมาะสมในใจกลางของฟูเรียร์ไปนี้: (จำได้ว่าเรายังไม่ได้ทำการหมุนดังนั้นจุดศูนย์กลางของการแปลงฟูริเยร์คือความถี่สูงและความถี่ต่ำยังคงอยู่ที่มุม) แต่นี่คือ "เคอร์เนลการหมุน!" การใช้เคอร์เนลการหมุนนี้ทำให้ทุกอย่างเลื่อนลงและไปทางขวา (แต่สิ่งที่หลุดออกจากด้านล่างขวาหมุนไปทางซ้ายบน)

convolving ภาพต้นฉบับกับเคอร์เนลหมุน (ในโดเมนภาพ) ช่วยให้คุณ: ในขณะที่ convolving ฟูริเยร์การแปลงภาพที่มีเมล็ดในการหมุน (ในโดเมนความถี่) ช่วยให้คุณ:

และเราสามารถตรวจสอบว่าคูณ TestImage โดยหมากรุกในโดเมนภาพให้ซึ่งมีฟูเรียร์ของ:

คำตอบของ Wandering Logic นั้นถูกต้องและมีรายละเอียด แค่คิดว่าคุณต้องการเห็นคณิตศาสตร์มากกว่าภาพ:

ถ้าคุณดูที่กรณี 1D คุณมีการคูณการป้อนข้อมูลโดยที่ความถี่เกิดขึ้นเป็น2) นั่นคือการคูณจะเลื่อนสเปกตรัมของสัญญาณครึ่งหนึ่งของความถี่การสุ่มตัวอย่างโอห์ม2 π ( k / 2 $(-1)^k = e^{j\omega}$$\omega$$2\pi (k/2)$

ผลที่ได้คือความถี่ศูนย์ - ซึ่งอยู่ที่ดัชนี 0 ก่อนหน้า - ตอนนี้อยู่ที่ครึ่งหนึ่งของความกว้างของภาพ (หรือความสูงขึ้นอยู่กับว่าคุณคูณคอลัมน์หรือแถว)