การสุ่มตัวอย่างฟังก์ชัน Dirac

9

ฉันต้องการถามคำถามเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชัน Dirac การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชัน Dirac คือค่า 1 (DC) สำหรับทุกความถี่ ถ้าเราพิจารณาการสุ่มตัวอย่างทฤษฎีบทเราต้องไปหาความถี่สูงสุดของสัญญาณเพื่อให้เราได้ลิ้มลองกับ{} แต่อย่างที่เราเห็นได้จากการแปลงฟูริเยร์ฟังก์ชั่น Dirac นั้นบรรจุทุกความถี่ดังนั้นเราจึงไม่สามารถหาที่เหมาะสมได้ คำถามของฉันคือจากมุมมองทางทฤษฎีแล้วฟังก์ชัน Dirac สามารถถูกสุ่มตัวอย่างได้หรือไม่? $\ f_{max}$ $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ $f_s$

แก้ไข: ขอบคุณสำหรับคำตอบที่เป็นประโยชน์ของคุณ!

sampling

— George Tseres
แหล่งที่มา

1

ในดินแดนดิจิตอลลำดับ x [n] = (1, n = 0) (0 เป็นอย่างอื่น) ทำงานส่วนใหญ่ที่การกระจาย dirac ทำในโลกอะนาล็อก มันเป็นฟังก์ชั่นพื้นฐานสำหรับการโน้มน้าวใจมีการตอบสนองความถี่คงที่และเป็นการตอบสนองแบบแรงกระตุ้นของ "ลวด" ที่จริงแล้วสิ่งหนึ่งที่ง่ายกว่าในระบบดิจิตอล

— Hilmar

โดยส่วนตัวแล้วฉันคิดว่าคำตอบที่กระชับกว่านี้คือ"ไม่แรงกระตุ้นดิแรค $\delta(t)$ ไม่สามารถสุ่มตัวอย่างได้ที่ $t=0$ เนื่องจากไม่มีค่าที่ฟังก์ชัน (หรือการแจกแจง) ใช้ $t=0$ ." มีไม่มีฟังก์ชั่นแรคเดลต้าในโลกทางกายภาพเท่านั้น approximations ไปเพื่อให้มีอะไรกับตัวอย่าง..

— โรเบิร์ตบริสจอห์นสัน

7

สัญญาณใด ๆสามารถสุ่มตัวอย่างได้อย่างอิสระโดยไม่คำนึงถึงทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างว่ามีหรือไม่ ทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างจะบอกคุณว่าถ้าอัตราการสุ่มตัวอย่างเพียงพอแล้วตัวอย่างจะแสดงสัญญาณดั้งเดิมที่สมบูรณ์

สัญญาณที่มีความไม่ต่อเนื่องหรือการกระจายเช่น $\delta(t)$ ไม่ จำกัด วงดังนั้นการตั้งสมมติฐานของทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างจะไม่เกิดขึ้น

นอกจากนี้โปรดทราบว่าการสาธิตตามปกติของทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างเกี่ยวข้องกับการคูณสัญญาณด้วยพัลส์รถไฟ ผมเชื่อว่ากฎนี้ออกมาเป็นสัญญาณที่กระจายออกไปโดยสิ้นเชิงเพราะผลิตภัณฑ์ของดิไม่ได้กำหนดไว้อย่างดี

ในทางปฏิบัติลองจินตนาการการสุ่มตัวอย่าง $\delta(t)$ ที่ $t=0$ . ตัวอย่างนี้มีค่าที่ไม่ได้กำหนด

— Juancho
แหล่งที่มา

"สัญญาณใด ๆ สามารถสุ่มตัวอย่าง" - ดีอัลกอริทึมการสุ่มตัวอย่างสามารถนำไปใช้กับสัญญาณใด ๆใช่ แต่จริง ๆ แล้วเรียกกระบวนการ "สุ่มตัวอย่าง" นี้อาจขึ้นอยู่กับบริบทแล้วยืนยันว่าคุณคาดว่าจะสามารถสร้างสัญญาณจาก ผลคือว่าเงื่อนไขสำหรับทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างเป็นจริง

— leftaroundabout

8

ฉันเห็นด้วยกับคำตอบของ Juancho อย่างสมบูรณ์ ฉันต้องการเพิ่มบางสิ่ง ฉันคิดว่าปัญหาหลักคือความเข้าใจผิดที่เห็นได้ชัดในประโยคสุดท้ายของคำถาม: "... ฟังก์ชัน Dirac สามารถถูกสุ่มตัวอย่างได้หรือไม่" แรงกระตุ้น Dirac ไม่ใช่ฟังก์ชันปกติที่มีค่าที่แน่นอนสำหรับทุก ๆ $t$ แต่มันคือการแจกแจง (แม้ว่ามันมักจะถูกเรียกว่า 'ฟังก์ชั่น Dirac') ดังนั้นจึงไม่ควรพยายาม 'ประเมิน' (หรือตัวอย่าง!) สิ่งที่สำคัญเกี่ยวกับแรงกระตุ้นของ Dirac คือคุณสมบัติสำคัญของมัน:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (เสื้อ) d เสื้อ = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$ และ

\int_{- \infty}^{\infty} δ (เสื้อ - {เสื้อ}_{0}) ฉ (เสื้อ) d เสื้อ = ฉ ({เสื้อ}_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

ดังที่ฮวนก้องชี้ไปแล้วสี่เหลี่ยมของแรงกระตุ้น Dirac $\delta^2(t)$ ไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้นถ้าคุณลองชิมแรงกระตุ้น Dirac คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ไม่ได้กำหนด

\underset{n}{Σ} δ (เสื้อ - n T) δ (เสื้อ) = δ^{2} (เสื้อ)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

Dirac impulses เป็นเครื่องมือที่สะดวกสำหรับการวิเคราะห์ระบบ time-invariant เชิงเส้น แต่ควรได้รับการดูแลอย่างดีเนื่องจากการประมวลผลทั่วไปที่ดำเนินการกับสัญญาณสามัญ (เช่นการสุ่มตัวอย่าง) อาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ได้กำหนดและไม่มีความหมายเมื่อนำไปใช้กับ Dirac impulses

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

2

ข้อมูลที่ดำเนินการโดย Dirac เป็นที่ตั้งและความรุนแรง Vetterli และคณะ แสดงให้เห็นว่ามันเป็นไปได้ที่จะตัวอย่างสัญญาณที่ได้รับจากผลรวมของ N diracs:

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

การสุ่มตัวอย่าง $x(t)$ ในบริบทนี้หมายถึงการกู้คืน $r_i$ และ $t_i$ สำหรับ $i=0,\ldots,N-1$ . กล่าวโดยสรุปคือดำเนินการโดยการกรองผ่านต่ำ $x(t)$ และการใช้เทคนิคการประมาณสเปกตรัมมาตรฐาน สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดู:

บลูธีรี่รี่และคณะ "การสุ่มตัวอย่างแบบกระจัดกระจายของนวัตกรรมสัญญาณ" นิตยสารการประมวลสัญญาณ, IEEE 25.2 (2008): 31-40

— Arrigo
แหล่งที่มา