หลักการพื้นฐานการออกแบบตัวกรองดิจิตอล (IIR / FIR)

แม้ว่าฉันจะมีประสบการณ์ที่แข็งแกร่งในการออกแบบเอนจิ้นเสียง แต่ฉันก็ค่อนข้างใหม่สำหรับขอบเขตของ Digital Filter Design โดยเฉพาะตัวกรอง IIR และ FIR กล่าวอีกนัยหนึ่งฉันพยายามเรียนรู้ให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้เกี่ยวกับวิธีการออกแบบตัวกรองและหาสมการความแตกต่าง ฉันเริ่มจากพื้นฐานดังนั้นโปรดอดทนกับฉันอย่างที่ฉันพูดฉันพยายามเรียนรู้

นี่คือคำถามของฉัน:

ว่าฉันต้องการออกแบบตัวกรอง low-pass ด้วย cutoff เฉพาะ - พูด 300 Hz อะไรจะเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการได้มาซึ่งฟังก์ชั่นการถ่ายโอนทางคณิตศาสตร์และจากนั้นจะได้รับสมการความแตกต่างโดยเฉพาะเพื่อใช้ตัวกรองในแบบฟอร์มโดยตรงและแบบฟอร์มตรง II (หรือ DF-1 เท่านั้นตอนนี้ ... )

ฉันมีความเข้าใจเกี่ยวกับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนและวิธีการที่พวกเขาเกี่ยวข้องกับสมการที่แตกต่างจากวัสดุที่ยอดเยี่ยมบางอย่างบนเว็บ แต่น่าเสียดายที่มันบางส่วนสันนิษฐานว่าเป็นความรู้ก่อนหน้าเล็กน้อยดังนั้นมันจึงสับสนกว่า ดังนั้นฉันเดาว่าฉันต้องการตัวอย่างทีละขั้นตอนมากขึ้นซึ่งจะช่วยให้ฉันเชื่อมต่อจุดต่างๆ

โดยพื้นฐานแล้วฉันกำลังมองหาความช่วยเหลือเกี่ยวกับการแยกย่อยของกระบวนการเริ่มต้นจากการเลือกความถี่ cutoff ขึ้นไปเพื่อหาสมการผลต่าง

ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชมมาก ฉันคุ้นเคยกับแนวคิดมากมาย - การตอบสนองแบบแรงกระตุ้น, DFT, คณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังฉันเดาว่าฉันต้องการความช่วยเหลืออะไรเพิ่มเติมคือแนวคิดของการแปลง z และการใช้ขั้ว / ศูนย์เพื่อออกแบบฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวกรองแล้ว ความถี่ของ cutoff เป็นอย่างไร เล่นทั้งหมดนี้เพื่อรับสมการความแตกต่างในที่สุด

เนื่องจากฉันมักจะเรียนรู้ที่ดีที่สุดจากตัวอย่างฉันคิดว่าฉันถามที่นี่ ขอบคุณมากสำหรับทุกคนที่พบเวลาที่จะช่วยฉันออก

filter-design infinite-impulse-response fir

— ค่าที่เหมาะสม
แหล่งที่มา

มีวิธีการออกแบบตัวกรองมากมาย ต่อไปนี้เป็นคำศัพท์สองสามคำเพื่อให้คุณเริ่มต้น: วิธีการออกแบบหน้าต่างการออกแบบตัวกรองสี่เหลี่ยมน้อยที่สุดและการออกแบบตัวกรอง Equiripple (โดยปกติจะใช้อัลกอริทึม Parks-McClellan) เหล่านี้ส่วนใหญ่ถูก จำกัด การออกแบบตัวกรอง FIR วิธีทั่วไปในการออกแบบตัวกรอง IIR คือการทำแผนที่ต้นแบบแอนะล็อก (เช่นตัวกรอง Butterworth) กับการประมาณตัวกรองดิจิทัลที่สอดคล้องกัน สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้วิธีการแปลง bilinear หรือวิธีการแปรปรวนแรงกระตุ้น

— Jason R

การออกแบบตัวกรองดิจิตอลเป็นหัวข้อที่ใหญ่และเป็นผู้ใหญ่มากและดังที่คุณได้กล่าวถึงในคำถามของคุณมีวัสดุจำนวนมาก สิ่งที่ฉันต้องการลองที่นี่คือให้คุณเริ่มต้นและทำให้เนื้อหาที่มีอยู่สามารถเข้าถึงได้มากขึ้น แทนที่จะเป็นตัวกรองดิจิตัลฉันควรพูดถึงตัวกรองแบบไม่ต่อเนื่องเพราะฉันจะไม่พิจารณาค่าสัมประสิทธิ์และการหาปริมาณของสัญญาณที่นี่ คุณรู้เรื่องตัวกรอง FIR และ IIR อยู่แล้วและคุณก็รู้โครงสร้างตัวกรองบางอย่างเช่น DF I และ II อย่างไรก็ตามให้ฉันเริ่มต้นด้วยพื้นฐานบางอย่าง:

สามารถอธิบายตัวกรองเชิงเส้นเวลาไม่แปรปรวนเชิงเส้น (LTI) แบบไม่ซ้ำโดยสมการผลต่างต่อไปนี้

\begin{matrix} (1) & y (n) = h_{0} x (n) + h_{1} x (n - 1) + \dots + h_{N - 1} x (n - N + 1) = \sum_{k = 0}^{N - 1} h_{k} x (n - k) \end{matrix}

$y(n)=h_0x(n)+h_1x(n-1)+\ldots +h_{N-1}x(n-N+1)=\sum_{k=0}^{N-1}h_kx(n-k)\tag{1}$

โดยที่คือลำดับเอาต์พุต, คือลำดับอินพุต, คือดัชนีเวลา, คือสัมประสิทธิ์ตัวกรอง, และคือความยาวตัวกรอง (จำนวนก๊อก) ตัวกรองก๊อกนอกจากนี้ยังกระตุ้นการตอบสนองของตัวกรองเพราะถ้าสัญญาณอินพุตเป็นแรงกระตุ้นคือแล้ว $y(n)$ $x(n)$ $n$ $h_k$ $N$ $h_k$ $x(n)=\delta(n)$ $y(n)=h_n$ (หากหน่วยความจำของตัวกรองได้รับการเริ่มต้นด้วยศูนย์) สมการ (1) อธิบายระบบการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นไฟไนต์เอลิเมนต์แบบไม่ จำกัด เวลาเชิงเส้น (FIR) ผลรวมทางด้านขวามือของ (1) คือผลรวมของรูปแบบการแปลงคือสัญญาณที่ได้จากการแปลงสัญญาณอินพุตด้วยการตอบสนองแบบอิมพัลส์ สิ่งนี้เป็นจริงเสมอ แต่สำหรับตัวกรอง IIR เราไม่สามารถคำนวณผลรวม convolutions ได้อย่างชัดเจนเนื่องจากการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นนั้นมีความยาวไม่สิ้นสุดนั่นคือมีค่าสัมประสิทธิ์มากมายอนันต์ $h_k$ . ข้อได้เปรียบที่สำคัญอย่างหนึ่งของตัวกรอง FIR ก็คือพวกมันจะมีความเสถียรเสมอเช่นสำหรับลำดับอินพุตที่มีขอบเขต ข้อดีอีกประการคือตัวกรอง FIR สามารถรับรู้ได้เสมอกับเฟสเชิงเส้นนั่นคือพวกมันจะไม่เพิ่มการบิดเบือนเฟสใด ๆ นอกเหนือจากการหน่วงเวลาที่บริสุทธิ์ นอกจากนี้ปัญหาการออกแบบมักจะง่ายกว่าที่เราจะเห็นในภายหลัง

ตัวกรอง LTI แบบเรียกซ้ำมีการอธิบายโดยสมการแตกต่างดังต่อไปนี้:

\begin{matrix} (2) & y (n) = b_{0} x (n) + b_{1} x (n - 1) + \dots + b_{M} x (n - M) - - a_{1} y (n - 1) - \dots - a_{N} y (n - N) \end{matrix}

$y(n)=b_0x(n)+b_1x(n-1)+\ldots+b_Mx(n-M)-\\ -a_1y(n-1)-\ldots-a_Ny(n-N)\tag{2}$

สมการ (2) แสดงว่าเอาต์พุตไม่เพียง แต่ประกอบด้วยน้ำหนักตัวอย่างและอินพุตล่าช้าเท่านั้น แต่ยังรวมถึงน้ำหนักผลลัพธ์ตัวอย่างที่ผ่านมาด้วย โดยทั่วไปการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของระบบดังกล่าวมีความยาวไม่ จำกัด เช่นระบบที่เกี่ยวข้องคือระบบ IIR อย่างไรก็ตามมีกรณีพิเศษของตัวกรองซ้ำที่มีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น จำกัด โปรดทราบว่าการกระตุ้นการตอบสนองไม่ได้รับอีกต่อไปโดยทั้งค่าสัมประสิทธิ์หรือเช่นในกรณีของฟิลเตอร์เฟอร์ ข้อดีอย่างหนึ่งของตัวกรอง IIR ก็คือตัวกรองแบบชันที่มีการลดทอนสัญญาณ Stopband สูงสามารถรับรู้ได้ว่ามีค่าสัมประสิทธิ์ (และความล่าช้า) น้อยกว่าในกรณี FIR นั่นคือมีประสิทธิภาพในการคำนวณมากกว่า แต่หนึ่งต้องระมัดระวังกับทางเลือกของค่าสัมประสิทธิ์ที่ $b_k$ $a_k$ $a_k$ เนื่องจากตัวกรอง IIR ไม่เสถียรนั่นคือลำดับของเอาต์พุตสามารถถูก จำกัด ได้แม้ว่าจะมีลำดับอินพุตที่ถูกล้อมรอบก็ตาม

ตัวกรองสามารถออกแบบตามข้อกำหนดในโดเมนเวลา (ตัวอย่าง) หรือในโดเมนความถี่หรือทั้งสองอย่าง เนื่องจากคุณได้กล่าวถึงความถี่ตัดคำในคำถามของคุณฉันถือว่าคุณสนใจข้อมูลจำเพาะในโดเมนความถี่มากกว่า ในกรณีนี้คุณต้องดูการตอบสนองความถี่ของระบบ FIR และ IIR การตอบสนองความถี่ของระบบคือการแปลงฟูริเยร์ของการตอบสนองของแรงกระตุ้นโดยสมมติว่ามีอยู่ (ซึ่งเป็นกรณีของระบบที่เสถียร) การตอบสนองความถี่ของตัวกรอง FIR คือ

\begin{matrix} (3) & H ({อี}^{J θ}) = Σ_{k = 0}^{ยังไม่มีข้อความ - 1} {ชั่วโมง}_{k} {อี}^{- J k θ} \end{matrix}

$H(e^{j\theta})=\sum_{k=0}^{N-1}h_ke^{-jk\theta}\tag{3}$

$\theta$

θ = \frac{2 π ฉ}{ฉ_{s}}

$\theta=\frac{2\pi f}{f_s}$

$f$ $f_s$

\begin{matrix} (4) & H ({อี}^{J θ}) = \frac{Σ_{k = 0}^{M} ข_{k} {อี}^{- J θ}}{1 + Σ_{k = 1}^{ยังไม่มีข้อความ} a_{k} {อี}^{- J θ}} \end{matrix}

$H(e^{j\theta})=\frac{\sum_{k=0}^Mb_ke^{-j\theta}}{1+\sum_{k=1}^Na_ke^{-j\theta}}\tag{4}$

$a_k=0$ $k=1,\dots,N$

ตอนนี้มาดูวิธีการออกแบบตัวกรองอย่างรวดเร็ว สำหรับตัวกรอง FIR คุณสามารถใช้การแปลงฟูริเยร์แบบผกผันของการตอบสนองความถี่ที่ต้องการเพื่อรับการตอบสนองแบบแรงกระตุ้นของตัวกรองซึ่งสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ตัวกรองโดยตรง เนื่องจากคุณประมาณการตอบสนองที่ต้องการโดยการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่มีความยาว จำกัด คุณควรใช้หน้าต่างที่เรียบเพื่อตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่ได้รับเพื่อลดการแกว่งในการตอบสนองความถี่จริงเนื่องจากปรากฏการณ์ของกิ๊บส์ วิธีนี้เรียกว่าวิธีการสุ่มตัวอย่างด้วยความถี่

สำหรับตัวกรองมาตรฐานอย่างง่ายเช่นตัวกรอง lowpass, highpass, bandpass หรือ bandstop (และตัวกรองอื่น ๆ ) และคุณยังสามารถวิเคราะห์การคำนวณการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นได้อย่างแม่นยำโดยทำการแปลงฟูเรียร์ผกผันของการตอบสนองที่ต้องการ:

{ชั่วโมง}_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} H ({อี}^{J θ}) {อี}^{J k θ} d θ

$h_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H(e^{j\theta})e^{jk\theta}d\theta$

อินทิกรัลนี้ง่ายต่อการประเมินสำหรับการตอบสนองที่ต้องการค่าคงที่ทีละชิ้นเช่นในกรณีของตัวกรองที่เลือกความถี่ สิ่งนี้จะช่วยให้คุณตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่ไม่มีสาเหตุที่ยาวนานอย่างไม่สิ้นสุดซึ่งจำเป็นต้องมีหน้าต่างและเลื่อนไปมาเพื่อให้แน่นอนและเป็นสาเหตุ วิธีการนี้เป็นวิธีการออกแบบหน้าต่าง

แน่นอนว่ามีวิธีการออกแบบตัวกรอง FIR อื่น ๆ อีกมากมาย วิธีการเชิงตัวเลขที่สำคัญอย่างหนึ่งคืออัลกอริธึมการแลกเปลี่ยน Parks-McClellan ที่มีชื่อเสียงซึ่งออกแบบตัวกรองที่ดีที่สุดด้วยค่าคงที่ passband และ stopband มันเป็นวิธีการประมาณเชิงตัวเลขและมีการใช้งานซอฟต์แวร์จำนวนมากเช่นใน Matlab และ Octave

$s$ $s$ $z$

แน่นอนว่ามีวิธีการที่น่าสนใจและมีประโยชน์มากมายขึ้นอยู่กับประเภทของคุณสมบัติที่คุณมี แต่ฉันหวังว่าสิ่งนี้จะช่วยให้คุณเริ่มต้นได้ หนังสือที่ดี (และฟรี) ที่ครอบคลุมวิธีการออกแบบตัวกรองขั้นพื้นฐาน (และอีกมากมาย) คือการประมวลผลสัญญาณไปยังการประมวลผลโดย Orfanidis คุณสามารถค้นหาตัวอย่างการออกแบบได้ที่นี่ หนังสือคลาสสิกที่ยอดเยี่ยมอีกเล่มหนึ่งคือการออกแบบตัวกรองดิจิตอลโดย Parks and Burrus

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

ว้าวแมตต์ขอบคุณมากสำหรับคำตอบที่ละเอียดและรอบคอบ ฉันจะเจาะลึกลงไปและขอบคุณเวลาของคุณอย่างแท้จริง ขอบคุณ!

— bitwise

มีตำราที่ดีสำหรับการออกแบบตัวกรองเวฟเล็ตหรือไม่? ผมอยากรู้เกี่ยวกับหัวข้อดังกล่าวdsp.stackexchange.com/questions/29090/... ขอบคุณ!

— LCFactorization

อินโทรที่ดีมากและกระตุ้นให้ทำบางอย่างในด้านการประมวลผลสัญญาณ

— jomegaA