การคำนวณอนุพันธ์ที่ราบเรียบของสัญญาณโดยใช้ความแตกต่างกับ step = convolving ที่มากขึ้นด้วยหน้าต่างสี่เหลี่ยม

ฉันมีตัวอย่างสัญญาณที่ $\Delta t: fi(ti=i\Delta t)$โดยที่ i = 0..n-1 ฉันต้องการหาอนุพันธ์อันดับแรกของสัญญาณ: f '(t)

ความคิดแรกของฉันคือประเมินโดยความแตกต่างที่สำคัญ:

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+1})−f(t_{i−1})}{2\Delta t}$

อย่างไรก็ตามสัญญาณอาจมีเสียงรบกวนความถี่สูงมากซึ่งอาจทำให้เกิดความผันผวนอย่างรวดเร็วใน f ' ฉันเดาว่าสิ่งที่เหมาะสมอาจทำให้สัญญาณราบรื่นโดยการปรับฟังก์ชั่นหน้าต่างเช่นฮันแล้วหาอนุพันธ์จากความแตกต่าง

เพื่อนร่วมงานแนะนำวิธีที่เร็วกว่าในการหาค่าประมาณที่ราบรื่นของอนุพันธ์: ใช้ความแตกต่างที่เป็นศูนย์กลางของตัวอย่าง 2n โดยที่ n >> 1:

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+n})−f(t_{i−n})}{2n\Delta t}$

แน่นอนว่าการคำนวณนี้จะเร็วกว่าการสังเกตุด้วยฟังก์ชั่นหน้าต่างเป็นครั้งแรก แต่มันเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ดีหรือไม่?

หากเราสร้างผลรวม:

$S=2\Delta t[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

และขยายอนุพันธ์แต่ละอันด้วยความแตกต่างส่วนกลางด้วยขั้นตอน $\Delta t$:

$S=f(t_{i-n+2})-f(t_{i-n})+f(t_{i-n+3})-f(t_{i-n+2})+..+f(t_{i+n})-f(t_{i+n-2})$

เงื่อนไขทั้งหมดยกเว้นการยกเลิกสองรายการ:

$S=f(t_{i+n})-f(t_{i-n})=2n\Delta tf'(t_i)$

ดังนั้น:

$f'(t_i)=\frac{1}{n}[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

ดังนั้นการรับความแตกต่างที่เป็นศูนย์กลางของตัวอย่าง 2n นั้นเทียบเท่ากับการโน้มน้าวครั้งแรกโดยหน้าต่างสี่เหลี่ยมขนาด 2n - 2 แล้วนำความแตกต่างที่เป็นศูนย์กลางของตัวอย่าง +/- 1

"ไม่ดี" เป็นวิธีการที่ราบรื่นกับหน้าต่างสี่เหลี่ยม?

หากเราใช้ FFT สิ่งนี้จะทำให้เกิด "เสียงเรียกเข้า" แต่เราไม่จำเป็นต้องใช้ FFT

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับคำตอบ!

นี่เป็นคำถามที่ยากที่จะจัดการโดยทั่วไป การปรับให้เรียบด้วยหน้าต่างสี่เหลี่ยมถูกใช้ตลอดเวลา (มักเรียกว่า "ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่") ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเป็นปัญหา ฉันไม่แน่ใจว่าคุณกำลังส่งเสียงเรียกเข้าอะไรบางทีอาจเป็นเสียงไซเดลของการตอบสนองความถี่ของหน้าต่างสี่เหลี่ยม

การแยกความแตกต่างเป็นการดำเนินการผ่านทางอ้อมสูง ตัวแยกความแตกต่างเวลาต่อเนื่องในอุดมคติมีฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของ:

ดังนั้นการตอบสนองขนาดของมันคือ:

การได้รับของตัวสร้างความแตกต่างจึงเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากกับความถี่ หากสัญญาณของคุณมีเสียงรบกวนความถี่สูงก็สามารถขยายได้โดยใช้ตัวแยกความแตกต่าง เพื่อต่อสู้กับสิ่งนี้มีสองวิธีที่ชัดเจน:

• ออกแบบตัวกรองความแตกต่างที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งมีการตอบสนองเชิงเส้นที่ต้องการมากกว่าส่วนของย่านความถี่ที่ครอบคลุมสัญญาณที่คุณสนใจจากนั้นจึงลดทอนความถี่ที่สูงขึ้นอย่างรวดเร็ว คุณสามารถออกแบบตัวกรองดังกล่าวโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุดหรือวิธีการสุ่มตัวอย่างความถี่

• ใช้วิธีการเรียงซ้อนที่คุณระงับสัญญาณรบกวนความถี่สูงทั้งหมดที่คุณสามารถใช้ตัวกรอง lowpass แล้วตามด้วยตัวแยกอื่น ความครอบคลุมความถี่ของตัวแยกความแตกต่างไม่จำเป็นต้องแน่นเนื่องจากตัวกรอง lowpass จะขจัดเสียงรบกวนนอกวง

วิธีการควรจะเทียบเท่ากันอย่างคร่าว ๆ หากคุณใช้ตัวกรองเชิงเส้น คุณอาจนึกถึงวิธีการกรองเดี่ยวแบบแรกเป็นเพียงแค่การเรียงซ้อนของตัวกรองที่แตกต่างกันและตัวกรอง lowpass ดังที่คุณกล่าวไว้วิธีการแตกต่างศูนย์กลางสามารถสร้างแบบจำลองด้วยวิธีนี้ มันยากสำหรับทุกคนที่จะบอกว่ามัน "เลวร้าย" โดยไม่มีความรู้เกี่ยวกับใบสมัครของคุณ ความคิดหลักของฉันน่าจะเป็นว่า "ไม่ดี" หากการดำเนินการที่ราบเรียบนั้นสามารถลดทอนสัญญาณที่คุณสนใจได้อย่างเป็นรูปธรรมเช่นนั้นการประมาณการอนุพันธ์จะไม่มีประโยชน์อีกต่อไป อย่างไรก็ตามหากพารามิเตอร์ของสัญญาณเป็นเช่นนั้นคุณสามารถปรับเสียงรบกวนได้อย่างราบรื่นโดยไม่ทำให้สัญญาณผิดเพี้ยน (เช่นถ้าสัญญาณมีขนาดใหญ่เกินไป) นั่นอาจเป็นชัยชนะ