ตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องแบบสม่ำเสมอ (?) รับค่าเหตุผลทั้งหมดในช่วงปิด

ฉันเพิ่งมีการโจมตีเสียขวัญ (ทางปัญญา)

• ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่ตามหลังเครื่องแบบในช่วงปิด : แนวคิดทางสถิติที่คุ้นเคยอย่างสะดวกสบาย $U(a,b)$
• rv สม่ำเสมออย่างต่อเนื่องที่มีการสนับสนุนมากกว่า reals ขยาย (ครึ่งหนึ่งหรือทั้งหมด): ไม่ใช่ rv ที่เหมาะสม แต่แนวคิด Bayesian พื้นฐานสำหรับที่ไม่เหมาะสมก่อนมีประโยชน์และสามารถใช้งานได้
• เครื่องแบบที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งมีค่า จำกัด จำนวนหนึ่ง: มาโยนโดมเนื้อที่ที่ไม่มีเรื่องใหญ่

แต่สิ่งที่เกี่ยวกับฟังก์ชั่นที่มีเป็นโดเมนปันส่วนทั้งหมดที่รวมอยู่ในช่วงปิดที่มีขอบเขตจำนวนเต็ม (เริ่มต้นด้วยถ้าคุณต้องการ)? และเราต้องการใช้มันในกรอบความน่าจะเป็นที่ต้องการให้ค่าที่เป็นไปได้แต่ละอันมีความน่าจะเป็นเท่ากันกับค่าอื่น ๆ ทั้งหมดหรือไม่?$[0,1]$

จำนวนของค่าที่เป็นไปได้นั้นนับไม่ถ้วน (ซึ่งอธิบายลักษณะของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง) แต่จะแสดงถึงความน่าจะเป็นของค่าเดี่ยวที่เราต้องการความน่าจะเป็นที่เท่ากัน?

เราสามารถพูด - แสดง - พิสูจน์ได้หรือไม่ว่าเอนทิตีดังกล่าวเป็น (ไม่ใช่) ตัวแปรสุ่ม?

หากไม่เป็นเช่นนี้อีกชาติ (อาจรู้จักกันดี) ของ "ไม่เหมาะสมมาก่อน" หรือไม่?

เป็นไปได้หรือไม่ว่าเอนทิตีนี้มีความหมายชัดเจนบางอย่าง แต่พิเศษ "เทียบเท่า" กับ rv สม่ำเสมออย่างต่อเนื่อง หรือฉันเพิ่งทำบาปสำคัญ (ity)?

ปรากฏว่าความจริงที่ว่าโดเมนเป็นช่วงปิดไม่อนุญาตให้ฉันไป สิ่งที่ถูกผูกไว้มักจัดการได้

คำถามนั้นมีมากมายเพื่อบ่งบอกถึงความหายนะที่เกิดขึ้นภายใน - ฉันไม่ได้ขอคำตอบจากแต่ละคำถาม

เมื่อใดก็ตามที่ฉันอาจได้รับข้อมูลเชิงลึกใด ๆ ฉันจะอัปเดต

ปรับปรุง:คำถามปัจจุบันเพิ่งได้รับภาคต่อของคอนสตรัคติวิสต์ที่นี่

"ตัวแปรสุ่ม" นี้คล้ายกับแนวคิดที่ว่าจะมีการแบนก่อนบรรทัดจริงทั้งหมด (ตัวอย่างที่สองของคุณ)

เพื่อแสดงว่าไม่มีตัวแปรสุ่มที่สำหรับและค่าคงที่ทั้งหมดเราใช้ -additive ตัวแปรสุ่ม: สหภาพที่นับได้ของเหตุการณ์ไม่ต่อเนื่องนั้นมีความน่าจะเป็นเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ดังนั้นถ้าความน่าจะเป็นเนื่องจากเป็นผลรวมของเลขศูนย์จำนวนมาก หากแล้วPอย่างไรก็ตามตัวแปรสุ่มที่เหมาะสมที่รับค่าในจะต้องเป็นเช่นนั้น$X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$ดังนั้นจึงไม่มีตัวแปรสุ่มดังกล่าว

กุญแจที่นี่ตามที่คุณอาจทราบอยู่แล้วคือถ้าพื้นที่ประกอบด้วยหลายจุดที่ จำกัด เราสามารถใช้และไม่มีปัญหากับผลรวมและถ้าพื้นที่มีหลายจุดคุณสามารถมีและ -additivity ไม่ได้ถูกละเมิดเมื่อรวมเข้ากับพื้นที่เพราะเป็นคำสั่งเกี่ยวกับสิ่งที่นับได้ อย่างไรก็ตามคุณจะพบปัญหาเมื่อคุณต้องการการกระจายแบบสม่ำเสมอในเซตอนันต์นับไม่ถ้วน$c>0$$c=0$$\sigma$

ในบริบทของ Bayesian มาก่อนแน่นอนว่าคุณสามารถพูดได้ว่าสำหรับทุกถ้าคุณยินดีที่จะใช้ ที่ไม่เหมาะสมมาก่อน$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

ข้อเท็จจริงที่เป็นบวกมากขึ้นคือ
หากคุณลดความต้องการที่การวัดความน่าจะเป็นเป็นสารเติมแต่งจำนวนมากและต้องการเพียงแค่แทนว่ามันจะเพิ่มอย่างประณีต (เพียงเพื่อประโยชน์ของคำถามนี้) จากนั้นสำหรับตัวเลขเหตุผลคำตอบคือ "ใช่"
สรุปตัวเลขเป็นกลุ่มสารเติมแต่งตั้งแต่หนึ่งสามารถเพิ่มตัวเลขสองเหตุผลมีองค์ประกอบเป็นกลางศูนย์และใด ๆมีสารเติมแต่งผกผัน{Q} ตอนนี้หนึ่งสามารถจัดให้มีการสรุปตัวเลขที่มีโครงสร้างที่ไม่ต่อเนื่องเพื่อให้พวกเขาเป็นกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง (นี่เป็นสิ่งสำคัญเพราะในบริบทอื่น ๆ สะดวกกว่าที่จะไม่ทำและวางโทโพโลยีอื่นไว้ในนั้น) - Z ∈ Q Z + Y = Y + Z μ μ ( Z + ) = μ ( ) ⊂ Q Z ∈ Q μ μ ( { Z } ) = 0 Z ∈ Q ( Q , μ ) μ μ μ $z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$

มองว่าเป็นกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องพวกเขายังเป็นกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องนับได้เพราะมีจำนวนตรรกยะจำนวนมากเท่านั้น
นอกจากนี้พวกเขาเป็นกลุ่ม abelian เพราะสำหรับคู่ของตัวเลขที่มีเหตุผล ตอนนี้ตัวเลขที่มีเหตุผลซึ่งมองว่าเป็นกลุ่มที่แยกได้นับเป็นกลุ่มที่รับผิดชอบ ดูที่นี่สำหรับคำจำกัดความของกลุ่มแยกไม่รับผิดชอบ ที่นี่จะแสดงให้เห็นว่าทุกกลุ่มแยกศาสนาคริสต์นับไม่ถ้วนเป็นคล้อยตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้ใช้กับกลุ่มของจำนวนตรรกยะ ดังนั้นตามคำจำกัดความของกลุ่มที่แยกกันรับผิดชอบมีการวัดความน่าจะเป็นที่เพิ่มขึ้นอย่างมากในจำนวนตรรกยะที่เป็นค่าคงที่การแปลซึ่งหมายความว่า$z +y =y+z$

$\mu$$\mu(z + A) = \mu(A)$สำหรับการใด ๆ เซตและใด ๆ จำนวนจริง{Q} คุณสมบัตินี้ครอบคลุมวิธีการกำหนด "ความเท่าเทียม" ที่ใช้งานง่าย จำเป็นต้องหายไปในเซตย่อยทั้งหมด:สำหรับทั้งหมด ถ้าคุณแสวงหาตัวแปรสุ่มแทนการวัดความน่าจะเป็นแล้วก็พิจารณาการทำงานของตัวตนในพื้นที่น่าจะเป็นMU) สิ่งนี้ให้ตัวแปรสุ่มที่จำเป็นเช่นนั้น ดังนั้นหากคุณผ่อนคลายนิยามความน่าจะเป็นที่วัดได้คุณจะได้คำตอบที่เป็นบวกสำหรับตัวเลขที่มีเหตุผล บางทีการมีอยู่ของ$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$ดูเหมือนจะเป็นเคาน์เตอร์ที่ใช้งานง่าย ใครจะได้ความคิดที่ดีกว่าโดยคำนึงว่าผลลัพธ์โดยตรงจากการแปลความไม่แปรปรวนคือการวัดจำนวนผู้มีเหตุผลทุกคนที่อยู่ในชั้นเดียวกันคือครึ่งเดียว เช่นกันตัวชี้วัดของคนที่มีพื้นแปลกคือครึ่งหนึ่งและอื่น ๆ การวัดที่เราเพิ่งแสดงให้เห็นนั้นยังจำเป็นต้องหายไปในเซตย่อยที่ถูกล้อมรอบทั้งหมด ดังนั้นไม่ได้ให้คำตอบสำหรับจำนวนตรรกยะในช่วงหน่วยทันที ใครจะคิดว่าคำตอบนั้นง่ายกว่าที่จะให้สำหรับจำนวนตรรกยะในช่วงหน่วยแทนที่จะเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ดูเหมือนจะเป็นวิธีอื่น$\mu$
$\mu$
$\mu$
(อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าเราสามารถปรุงความน่าจะเป็นในการวัดจำนวนตรรกยะในช่วงหน่วยด้วยคุณสมบัติที่คล้ายกัน แต่คำตอบนั้นต้องการคำจำกัดความที่ชัดเจนยิ่งขึ้นของ "ความสม่ำเสมอ" - อาจเป็นบางสิ่งในแนวของ "การแปล - เมื่อใดก็ตามที่การแปลไม่ได้นำไปสู่นอกช่วงหน่วย ".) การ
อัพเดท: คุณจะได้รับการวัดในการปันส่วนช่วงเวลาของหน่วยที่เหมือนกันในแง่นั้นทันทีโดยพิจารณาการวัดแบบผลักไปข้างหน้าของสิ่งที่เราสร้างขึ้น ตามแผนที่จาก rationals ไปยัง rationals ช่วงหน่วยที่แม็พแต่ละ rational กับส่วนที่เป็นเศษส่วน
ดังนั้นหลังจากผ่อนคลายข้อกำหนดที่จะเพิ่มขีด จำกัด แล้วคุณจะได้รับมาตรการดังกล่าวในทั้งสองกรณีที่คุณกล่าวถึง