การสร้าง rv แบบแยกซึ่งมีส่วนสนับสนุน rationals ทั้งหมดใน

นี่คือภาคต่อของคอนสตรัคติวิสต์ของคำถามนี้

หากเราไม่สามารถมีตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่สนับสนุนการปันส่วนทั้งหมดในช่วงดังนั้นสิ่งที่ดีที่สุดถัดไปคือ: $[0,1]$

สร้างตัวแปรสุ่มที่มีการสนับสนุนนี้และมันตามการแจกแจงบางอย่าง และช่างในตัวฉันต้องการให้ตัวแปรแบบสุ่มนี้สร้างขึ้นจากการแจกแจงที่มีอยู่แทนที่จะสร้างขึ้นโดยการกำหนดสิ่งที่เราต้องการได้อย่างเป็นนามธรรม $Q$ $Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

ดังนั้นฉันจึงคิดสิ่งต่อไปนี้:

ให้เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหลังจากการกระจายทางเรขาคณิต - ตัวแปร II ที่มีพารามิเตอร์คือ $X$ $0<p<1$

X \in {0, 1, 2, . . .}, P (X = k) = (1 - p)^{k} p, F_{X} (X) = 1 - (1 - p)^{k + 1}

$X \in \{0,1,2,...\},\;\;\;\; P(X=k) = (1-p)^kp,\;\;\; F_X(X) = 1-(1-p)^{k+1}$

ปล่อยให้เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหลังจากการแจกแจงเชิงเรขาคณิต - ตัวแปร I ที่มีพารามิเตอร์เหมือนกันคือ $Y$ $p$

Y \in {1, 2, . . .}, P (Y = k) = (1 - p)^{k - 1} p, F_{Y} (Y) = 1 - (1 - p)^{k}

$Y \in \{1,2,...\},\;\;\;\; P(Y=k) = (1-p)^{k-1}p,\;\;\; F_Y(Y) = 1-(1-p)^k$

$X$ และเป็นอิสระ กำหนดตัวแปรสุ่มในขณะนี้ $Y$

Q = \frac{X}{Y}

$Q = \frac {X}{Y}$

และพิจารณาการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข

P (Q \leq q ∣ {X \leq Y})

$P(Q\leq q \mid \{X\leq Y\})$

ในคำหลวม "เงื่อนไขคืออัตราส่วนของมากกว่าเงื่อนไขเมื่อมีขนาดเล็กกว่าหรือเท่ากับ " การสนับสนุนการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขนี้คือ[0,1] $Q$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$

"คำถาม" คือ: ใครบางคนสามารถให้ฟังก์ชั่นมวลน่าจะเป็นเงื่อนไขที่เกี่ยวข้อง?

ความคิดเห็นถามว่า "ควรเป็นแบบปิด" หรือไม่? เนื่องจากสิ่งที่ถือว่าเป็นรูปแบบปิดในปัจจุบันไม่ชัดเจนดังนั้นให้ฉันเอาแบบนี้: เรากำลังค้นหารูปแบบการทำงานที่เราสามารถป้อนจำนวนตรรกยะจากและรับความน่าจะเป็น (สำหรับบางคน ค่าที่ระบุของพารามิเตอร์แน่นอน) ซึ่งนำไปสู่กราฟบ่งชี้ของ pmf จากนั้นให้แตกต่างกันเพื่อดูว่ากราฟเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร $[0,1]$ $p$ $p$

ถ้าช่วยแล้วเราสามารถทำให้หนึ่งหรือทั้งสองเปิดขอบเขตของการสนับสนุนแม้ว่าสายพันธุ์เหล่านี้จะกีดกันเราจากความสามารถในการสร้างกราฟแน่นอนค่าบนและ / หรือล่างของPMF นอกจากนี้ถ้าเราทำให้เปิดผูกไว้บนแล้วเราควรพิจารณาเครื่องเหตุการณ์\} $\{X<Y\}$

อีกวิธีหนึ่งคือผมยินดีต้อนรับยัง RV ของอื่น ๆ ที่มีการสนับสนุนนี้ (s), ตราบเท่าที่พวกเขามาพร้อมกับ PMF

ฉันใช้การกระจายแบบเรขาคณิตเพราะมันมีสองตัวแปรพร้อมที่ไม่รวมศูนย์ในการสนับสนุน (เพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์) เห็นได้ชัดว่าเราสามารถใช้ rv แยกอื่น ๆ โดยใช้การตัดทอน

แน่นอนที่สุดฉันจะให้ความสำคัญกับคำถามนี้ แต่ระบบไม่อนุญาตทันที

distributions mathematical-statistics

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

คุณหมายถึง ? (การกำหนดตัวแปรแบบสุ่มตามเงื่อนไขกับบางสิ่งที่ไม่สมเหตุสมผลคุณสามารถกำหนดการกระจายด้วยวิธีนี้เท่านั้น)

Q = \frac{X}{Y} 1_{{X \leq Y}}

$Q = \frac {X}{Y} {\boldsymbol 1}_{\{X\leq Y\}}$

— Stéphane Laurent

Q ของคุณนับได้: คุณรู้ว่ามีการโต้ตอบ 1-1 ระหว่าง N = {1, 2, ... } และ Q. หากคุณสามารถหาจดหมายโต้ตอบดังกล่าวได้โซลูชันจะเลือกการกระจายใด ๆ เหนือ N และใช้งาน เพื่อเลือกองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของ Q.

— Adrian

อย่างไรก็ตามคุณต้องคำนวณสำหรับทุกส่วนที่ลดลงและนี่คือldots)

P r (X / Y = p / q)

$Pr(X/Y=p/q)$

p / q

$p/q$

Pr (X = p, X = 2 p, \dots) \times Pr (Y = q, Y = 2 q, \dots)

$\Pr(X=p, X=2p, \ldots)\times\Pr(Y=q, Y=2q, \ldots)$

— Stéphane Laurent

ข้อกำหนดในการจัดหา PMF นั้นหมายความว่าจำเป็นต้องมีแบบฟอร์มปิดหรือไม่? หรือว่าเป็นผลรวมอนันต์ของ @ StéphaneLaurentเพียงพอที่จะทำตามเงื่อนไขได้หรือไม่

— Juho Kokkala

ให้และ Y RV ในโพสต์ของคุณ

f : N \to Q \cap [0, 1]

$f: N \rightarrow \mathbb{Q}\cap[0,1]$

P r [Q = q] = P r [Y = f^{- 1} (q)]

$Pr[Q =q] = Pr[Y = f^{-1}(q)]$

— Adrian

คำตอบ:

พิจารณาการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องพร้อมการสนับสนุนในเซตพร้อมความน่าจะเป็นจำนวนมาก $F$ $\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

F (p, q) = \frac{3}{2^{1 + p + q}} .

$F(p,q) = \frac{3}{2^{1+p+q}}.$

นี่คือผลรวมอย่างง่าย (ชุดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต) เพื่อแสดงให้เห็นว่ามันคือการกระจาย (ความน่าจะเป็นรวมเป็นเอกภาพ)

สำหรับจำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ให้เป็นตัวแทนในข้อตกลงต่ำสุดนั่นคือและ 1 $x$ $a/b=x$ $b\gt 0$ $\gcd(a,b)=1$

$F$ ทำให้เกิดการแจกแจงแบบแยกส่วนในผ่านกฎ $G$ $[0,1]\cap \mathbb{Q}$

G (x) = G (\frac{a}{b}) = \sum_{n = 1}^{\infty} F (a n, b n) = \frac{3}{2^{1 + a + b} - 2} .

$G(x) = G\left(\frac{a}{b}\right) = \sum_{n=1}^\infty F\left(an, bn\right)=\frac{3}{2^{1+a+b}-2}.$

(และ ) ทุกจำนวนจริงในมีความน่าจะเป็นศูนย์ (ถ้าคุณต้องมี.หมู่ค่ากับความน่าจะเป็นในเชิงบวกเพียงแค่ใช้เวลาบางส่วนของความน่าจะอยู่ห่างจากหมายเลขอื่นที่ชอบ - --and กำหนดให้ .) $G(0)=0$ $(0,1]$ $0$ $1$ $0$

เพื่อให้เข้าใจถึงสิ่งก่อสร้างนี้ดูภาพนี้ของ : $F$

[รูปของ F]

$F$ ให้มวลความน่าจะเป็นที่จุดพร้อมพิกัดอินทิกรัลบวก Values ofแสดงด้วยพื้นที่สีของสัญลักษณ์วงกลม เส้นมีความลาดชันสำหรับการรวมกันของพิกัดและเป็นไปได้ทั้งหมดในพล็อต พวกเขามีสีในลักษณะเดียวกันสัญลักษณ์วงกลมคือ: ตามความลาดชันของพวกเขา ดังนั้นความชัน (ซึ่งมีช่วงตั้งแต่ถึงอย่างชัดเจน) และสีตรงกับอาร์กิวเมนต์ของและค่าจะได้มาจากการรวมพื้นที่ของวงกลมทั้งหมดที่อยู่ในแต่ละบรรทัด เช่น $p,q$ $F$ $p/q$ $p$ $q$ $0$ $1$ $G$ $G$ $G(1)$ ได้มาจากการรวมพื้นที่ของวงกลมทั้งหมด (สีแดง) ตามแนวทแยงมุมหลักของความชันซึ่งกำหนดโดย =1/2 $1$ $F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$ $3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$

รูป

ตัวเลขนี้แสดงให้เห็นว่าการประมาณเพื่อประสบความสำเร็จโดยการ จำกัด : มันแปลงค่าที่สรุปตัวเลขตั้งแต่ผ่าน1ความน่าจะเป็นที่มากที่สุดคือ\ $G$ $q\le 100$ $3044$ $1/100$ $1$ $\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$

นี่คือ CDF แบบเต็มของ (แม่นยำกับความละเอียดของภาพ) ตัวเลขหกตัวที่อยู่ในรายการนั้นมีขนาดของการกระโดดที่มองเห็นได้ แต่ทุกส่วนของ CDFประกอบด้วยการกระโดดโดยไม่มีข้อยกเว้น: $G$

รูปที่ 2

— whuber
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! ฉันอยู่ในกระบวนการทำความเข้าใจการก่อสร้าง เพียงสองคำถาม: a)เป็น bivariate แต่ในการเชื่อมโยงไปยังนั้นจะปรากฏเป็น univariate ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า? และ b) เนื่องจากคงที่ฉันเดาว่าจุดทั้งหมดในกราฟแรกที่ดูน่าประทับใจแสดงถึงค่าที่แตกต่างกันในแกนนอน

F

$F$

G

$G$

G

$G$

— Alecos Papadopoulos

ฉันเพิ่งกรอกตัวเลขที่อาจกล่าวถึงความคิดเห็นของคุณ Alecos และได้เพิ่มไว้ในคำตอบ โปรดทราบว่าฉันสามารถเริ่มต้นด้วยการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องและสร้างในวิธีเดียวกัน การกระจายแบบพิเศษนี้ถูกเลือกเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น

F

$F$

G

$G$

— whuber

ดีขึ้นและดีขึ้นสำหรับคำถามแรกของฉันในความคิดเห็นก่อนหน้านี้ควรเป็นแทนหรือไม่ นั่นคือและ ?

F (\frac{a}{b}, n)

$F\left(\frac ab,n\right)$

F (\frac{a}{b} n)

$F\left(\frac abn\right)$

p = a / b

$p=a/b$

q = n

$q=n$

— Alecos Papadopoulos

นี่เป็นคำตอบที่ดีกว่าของฉัน! ฉันสังเกตเห็นสองสิ่งเล็กน้อย: ฉันคิดว่าผลรวมของคุณ (p, q) ถึง 4 ตามที่เขียนไว้ นอกจากนี้ในสมการด้านล่าง "F ทำให้เกิดการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง G" คุณควรมี F (na, nb) ไม่?

— Adrian

@ เอเดรียน Alecos ขอบคุณสำหรับการจับความผิดพลาดเหล่านั้น:ควรเป็นและสัญกรณ์สำหรับเห็นได้ชัดว่าไม่ถูกต้อง ฉันจะแก้ไขพวกเขาทันที

1

$1$

- 1

$-1$

F

$F$

— whuber

ฉันจะใส่ความคิดเห็นของฉันเข้าด้วยกันและโพสต์ไว้เป็นคำตอบเพื่อความชัดเจน ฉันคาดหวังว่าคุณจะไม่พอใจอย่างมากอย่างไรก็ตามสิ่งที่ฉันทำคือลดปัญหาของคุณให้เป็นปัญหาอื่น

สัญกรณ์ของฉัน:

$Q$ เป็น RV ที่มีการสนับสนุนเป็น - ฉันคือไม่ได้เช่นเดียวกับโครงสร้าง OP จากเขา{Y} เราจะนิยามนี้โดยใช้และซึ่งฉันแนะนำด้านล่าง $\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ $Q$ $Q$ $\frac{X}{Y}$ $Q$ $Y$ $f$

$Y$ คือ RV ที่มีการสนับสนุน -ที่ OP ที่ให้ไว้จะทำงานได้ $\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$ $Y$

คือการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งและเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม เรารู้ว่าสิ่งเหล่านี้มีอยู่จริง $f$ $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ $f^{-1}$

ตอนนี้ฉันอ้างว่าฉันสามารถลดปัญหาของคุณเพียงแค่หาและ : $f$ $f^{-1}$

เพียงแค่ให้เสร็จแล้ว PMF ของคือ $Q=f\left(Y\right)$ $Q$ $\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$

แก้ไข:

$f$ แม้ว่าจะไม่ใช่การติดต่อแบบตัวต่อตัว (เพราะซ้ำซ้อน):

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}

— เอเดรีย
แหล่งที่มา

N \equiv {1, 2, \dots}

$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$

f

$f$

f^{- 1}

$f^{-1}$

— Alecos Papadopoulos

f^{- 1}

$f^{-1}$

ในลิงค์ที่คุณให้ไว้มันบอกว่าในบางจุด: "โปรดจำไว้ว่ามันไม่จำเป็นที่จะต้องหาสูตรสำหรับการโต้ตอบ แต่สิ่งที่จำเป็นคือความมั่นใจว่าการโต้ตอบนั้นมีอยู่จริงมีอินสแตนซ์อื่น ๆ อีกมากมายในคณิตศาสตร์เช่นนี้ - ทุกที่ที่แสดงให้เห็นว่ามีอะไรบางอย่างเกิดขึ้นหรือมีอะไรบางอย่างมากกว่าจะแสดงสูตรจริง " ประเด็นในคำถามของฉันคือการแสดงสูตรจริง : ฉันเรียกคำถามนี้ว่า "คอนตรัคติวิสต์" ด้วยเหตุผล

— Alecos Papadopoulos

ฉันคิดว่าฉันสามารถให้อัลกอริทึมที่ใช้งานได้ - ฉันจะลองคิดดูอีกสักหน่อย

— เอเดรียน

ฉันโพสต์บางอย่าง - ให้คุณจำลอง Q แต่ไม่สามารถแก้ปัญหา PMF ได้

— Adrian