การแจกแจงเสถียรที่สามารถคูณได้หรือไม่

การแจกแจงที่เสถียรมีค่าคงที่ภายใต้การโน้มน้าวใจ ครอบครัวย่อยของการแจกแจงที่เสถียรจะถูกปิดภายใต้การคูณ ในแง่ที่ว่าถ้าและแล้วน่าจะเป็นสินค้าที่มีฟังก์ชั่นความหนาแน่น (ได้ถึงคงฟื้นฟู) ยังเป็น ?f ∈ F g ∈ F f ⋅ g $F$$f\in F$$g\in F$$f \cdot g$$F$

หมายเหตุ:ฉันเปลี่ยนเนื้อหาของคำถามนี้อย่างมาก แต่ความคิดนั้นก็เหมือนกันและตอนนี้มันง่ายกว่ามาก ฉันมีคำตอบเพียงบางส่วนเท่านั้นดังนั้นฉันคิดว่าไม่เป็นไร

"การกระจายที่เสถียร" เป็นตระกูลของการกระจายตำแหน่งที่เฉพาะเจาะจง ชั้นของการกระจายที่มีเสถียรภาพจะแปรสองตัวเลขจริงเสถียรภาพ และเบ้[-1,1]บีตา∈ [ - 1 , 1 $\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

ผลที่ยกมาในบทความวิกิพีเดียแก้ไขคำถามเกี่ยวกับการปิดภายใต้ผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชั่นความหนาแน่น เมื่อคือความหนาแน่นของการแจกแจงแบบคงที่ด้วยจากนั้นก็จะไม่แสดงอาการα < $f$$\alpha \lt 2$

สำหรับฟังก์ชั่นที่ได้รับอย่างชัดเจนซึ่งมีรายละเอียดไม่ได้เรื่อง (โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะไม่ใช่ศูนย์ทั้งบวกหรือลบทั้งหมดหรือทั้งสอง) ผลิตภัณฑ์ของความหนาแน่นสองใด ๆ ดังนั้นจึงจะเป็นสัดส่วน asymptotically กับในที่ อย่างน้อยหนึ่งหาง ตั้งแต่ผลิตภัณฑ์นี้ (หลังการปรับสภาพใหม่) ไม่สามารถสอดคล้องกับการแจกแจงใด ๆ ในตระกูลที่เสถียรเดียวกันg x x | x | - 2 ( 1 + α ) 2 ( 1 + α ) ≠ 1 + $g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

(แน่นอนเพราะสำหรับความเป็นไปได้ , ผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นสามอย่างใด ๆ นั้นไม่สามารถแม้แต่จะเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นได้ ของการแจกแจงแบบเสถียรใด ๆ ที่ทำลายความหวังใด ๆ ในการขยายแนวคิดของการปิดผลิตภัณฑ์จากการกระจายตัวแบบเสถียรเดี่ยวไปยังชุดการแจกแจงแบบคงที่)α ′ ∈ ( 0 , 2 $3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

ความเป็นไปได้เดียวที่เหลืออยู่คือ 2 เหล่านี้มีการกระจายปกติที่มีความหนาแน่นสัดส่วนกับสำหรับสถานที่ตั้งและขนาดพารามิเตอร์และ\มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าผลคูณของสองนิพจน์นั้นมีรูปแบบเดียวกัน (เนื่องจากผลรวมของรูปแบบสมการกำลังสองในเป็นรูปแบบสมการกำลังสองอีกรูปแบบใน )ประสบการณ์( - ( x - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ) μ σ x $\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

คำตอบที่ไม่เหมือนใครคือกลุ่มการกระจายแบบปกติคือการกระจายแบบคงที่ที่มีความหนาแน่นปิดเฉพาะผลิตภัณฑ์เท่านั้น

ฉันรู้ว่านี่เป็นคำตอบบางส่วนและฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ แต่สิ่งนี้อาจช่วยได้: หากหนึ่งในสองไฟล์ PDF แบบ unimodal เป็น log-concave การบิดของพวกเขาคือ unimodal เนื่องจากIbragimov (1956)ผ่านทางบันทึกเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่าถ้าทั้งคู่เป็นเว้า - คอนเวย์จากนั้นก็เป็นคอน - เว้า

เท่าที่ปิดผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์ "สะอาด" เดียวที่ฉันทราบสำหรับการแจกแจงผลิตภัณฑ์คือทฤษฎีบทขีด จำกัด ที่อธิบายไว้ในคำตอบ math.seนี้

วิธีการเกี่ยวกับรุ่นที่ถูกตัดทอนของเหล่านี้ ? การกระจายตัวแบบ จำกัด ขอบเขตเป็นกรณีที่ จำกัด ของพารามิเตอร์รูปร่างและเท่าที่ฉันรู้ว่าพวกมันเป็นแบบ unimodal และ log-concave ดังนั้นพวกมันจึงมีความโน้มน้าวแบบ unimodal และ log-concave ฉันไม่มีเงื่อนงำเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ของพวกเขา เมื่อฉันมีเวลามากขึ้นในภายหลังในสัปดาห์นี้ฉันสามารถลองใช้การจำลองบางอย่างเพื่อดูว่าฉันได้รับผลิตภัณฑ์บันทึกเว้าของการแจกแจงข้อผิดพลาดที่ถูกตัดทอนหรือไม่ บางทีGovindarajulu (1966)อาจช่วยได้

ฉันไม่แน่ใจว่านโยบายเกี่ยวกับการโพสต์ไขว้คืออะไร แต่ดูเหมือนว่าผู้คนในวิชาคณิตศาสตร์อาจสามารถช่วยเหลือคุณได้เช่นกัน จากความอยากรู้คุณพยายามสร้างโครงสร้างพีชคณิตจากการแจกแจงความน่าจะเป็นหรือไม่?