CDF สองตัวอย่างของและจากการทดสอบ Kolmogorov-Smirnov ด้านเดียวคืออะไร

ฉันพยายามที่จะเข้าใจวิธีการรับค่าสำหรับการทดสอบ Kolmogorov-Smirnov ด้านเดียวและฉันพยายามหา CDF สำหรับและในกรณีตัวอย่างสองตัวอย่าง ด้านล่างนี้ถูกอ้างถึงในบางแห่งเนื่องจาก CDF สำหรับในกรณีตัวอย่างเดียว: $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{+}_{n}$

p_{n}^{+} (x) = P (D_{n}^{+} \geq x | H_{0}) = x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - j}

$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$

นอกจากนี้ whuber sez มีสูตรที่แตกต่างกันเล็กน้อยของ CDF ตัวอย่างหนึ่งนี้ (ฉันแทน $x$ สำหรับ $t$ ในเครื่องหมายคำพูดของเขาเพื่อความสอดคล้องกับสัญกรณ์ของฉันที่นี่):

การใช้การแปลงค่าความน่าจะเป็นแบบครบวงจร, Donald Knuth ได้มาจากการแจกแจง (ร่วมกัน) บน p 57 และออกกำลังกาย 17 ของTAoCPเล่ม 2 ฉันพูด:

(D_{n}^{+} \leq \frac{x}{\sqrt{n}}) = \frac{x}{n^{n}} \sum_{c \leq k \leq x} (\binom{n}{k}) {(k - x)}^{k} {(x + n - k)}^{n - k - 1}

$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$

สิ่งนี้จะนำไปใช้กับสมมติฐานด้านเดียวในกรณีตัวอย่างหนึ่งตัวอย่างเช่น: H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ โดยที่ $F(x)$ คือ CDF เชิงประจักษ์ ของ $x$ และ $F_{0}$ เป็น CDF บางส่วน

ฉันคิดว่า $x$ ในกรณีนี้คือค่าของ $D^{+}_{n}$ ในกลุ่มตัวอย่างหนึ่งของและที่ $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ เป็นเลขที่ใหญ่ที่สุดในN-NX $n-nx$ (นั่นถูกต้องใช่ไหม?)

แต่ CDF สำหรับ (หรือ ) เมื่อมีสองตัวอย่าง? ตัวอย่างเช่นเมื่อ Hสำหรับ CDFs เชิงประจักษ์ของและ ? วิธีการขอรับ ? $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$ $A$ $B$ $p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

self-study kolmogorov-smirnov cdf

— อเล็กซิส
แหล่งที่มา

เช่นเดียวกับตัวชี้สำหรับทุกคนที่มองหาการตอบคำถามนี้ - คำตอบของคำถามก่อนหน้าของ Alexis (ซึ่งเชื่อมโยงในคำถามข้างต้น) มีลิงก์ไปยังการอ้างอิงหลายรายการพร้อมการอภิปรายเกี่ยวกับประวัติศาสตร์แต่ละรายการมีการอ้างอิงที่เกี่ยวข้องจำนวนหนึ่ง คุณอาจต้องการตรวจสอบเอกสารเหล่านั้นและรายการอ้างอิงของพวกเขา

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b ขอบคุณ! ฉันขอขอบคุณคำตอบที่ยอดเยี่ยมของคุณสำหรับคำถามอื่น ๆ ของฉันและทำตามแหล่งข้อมูลที่อ้างถึง แต่ฉันไม่มีแรงฉุด CDF สำหรับนั่นและแทนที่จะกำจัดความคิดเห็นที่ฉันคิดว่าฉันจะเปิดแบบสอบถามใหม่ . ยินดีต้อนรับการอ้างอิงเพิ่มเติมหากคุณรู้ว่าสิ่งใดจะทำงานได้

D^{+}

$D^{+}$

— Alexis

Alexis: คำวิจารณ์ของฉันไม่ได้มีไว้สำหรับความคิดเห็นของฉัน คุณเลือกที่จะเปิดคำถามใหม่นั้นถูกต้อง (ในความคิดของฉัน) ฉันแค่อยากจะช่วยคนทำงานเล็ก ๆ น้อย ๆ ในการติดตามข้อมูลอ้างอิงที่เกี่ยวข้องบางอย่างฉันคิดว่ามันอาจไม่เกิดขึ้นกับทุกคนที่จะติดตามลิงก์ของคุณไปยังคำถามอื่นและอาจไม่เกิดขึ้นกับคนที่ทำลิงก์ใน คำตอบมีการอ้างอิงบางอย่างที่พวกเขาอาจต้องการทราบ

— Glen_b -Reinstate Monica

ตกลงฉันจะไปแทงที่นี่ ยินดีต้อนรับข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญ

บนหน้า 192 ชะนีและ Chakraborti (1992) อ้างฮอดจ์ 1958 เริ่มต้นที่มีขนาดเล็กตัวอย่าง (แน่นอน?) CDF สำหรับการทดสอบสองด้าน (ฉันกำลังแลกเปลี่ยนของพวกเขาและสัญกรณ์สำหรับและตามลำดับ): $m,n$ $d$ $n_{1},n_{2}$ $x$

P (D_{n_{1}, n_{2}} \geq x) = 1 - P (D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - \frac{A (n_{1}, n_{2})}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

ที่ถูกสร้างผ่านการแจกแจงเส้นทาง (เพิ่มความซ้ำซากในและ ) จากจุดเริ่มต้นไปยังจุดผ่านกราฟด้วย - การแทนที่สำหรับ - ค่าของx -axis และy -axis คือและขวา) เส้นทางต้องปฏิบัติตามข้อ จำกัด ของการอยู่ในขอบเขต (โดยที่คือค่าของสถิติทดสอบ Kolmogorov-Smirnov): $A\left(n_{1},n_{2}\right)$ $n_{1}$ $n_{2}$ $\left(n_{1},n_{2}\right)$ $S_{m}(x)$ $F_{n_{1}}(x)$ $n_{1}F_{1}\left(x\right)$ $n_{2}F_{2}\left(x\right)$ $x$

\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{(n_{1} + n_{2}) x}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

ด้านล่างเป็นรูปที่ 3.2แสดงตัวอย่างสำหรับโดยมี 12 เส้นทางดังกล่าว: $A(3,4)$

รูปที่ 3.2 จากหน้า 193 ของ Gibbons และ Chakraborti (1992) การอนุมานเชิงสถิติแบบไม่อิงพารามิเตอร์

ชะนีและ Chakaborti กล่าวต่อไปว่าค่าด้านเดียว นั้นใช้วิธีกราฟิกแบบเดียวกัน แต่มีขอบเขตล่างสำหรับและเฉพาะ ด้านบนสำหรับ{2}} $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ เหล่านี้นำมาซึ่งขั้นตอนวิธีการแจงนับเส้นทางและ / หรือความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำซึ่งไม่ต้องสงสัยทำให้การคำนวณซีมโทติคที่น่าสงสัย ชะนีและ Chakraborti ยังบันทึกการ จำกัด CDFs เป็นและวิธีอนันต์ของ : $n_{1}$ $n_{2}$ $D_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - 2 \sum_{i = 1}^{\infty} {(- 1)}^{i - 1} e^{- 2 i^{2} x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$

และให้ CDF ที่ จำกัด ของ (หรือ ) เป็น: $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}}^{+} \leq x) = 1 - e^{- 2 x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$

เนื่องจากและเป็นแบบไม่ลบอย่างเคร่งครัด CDF จึงสามารถรับค่าที่ไม่ใช่ศูนย์เหนือ : $D^{+}$ $D^{-}$ $[0,\infty)$

$CDF ของ $ D ^ {+} $ (หรือ $ D ^ {-} $)$

การอ้างอิง
Gibbons, JD และ Chakraborti, S. (1992) nonparametric สถิติอนุมาน Marcel Decker, Inc. , รุ่นที่ 3, ฉบับปรับปรุงและขยาย

Hodges, JL (1958) ความน่าจะเป็นที่มีนัยสำคัญของการทดสอบสองตัวอย่างของ Smirnov Arkiv för matematik 3 (5): 469--486

— อเล็กซิส
แหล่งที่มา

มี cdf จริงอยู่ทุกที่ แต่สำหรับ cdf จะเป็นศูนย์ แบบฟอร์มการทำงานที่คุณให้ใช้กับ (นี่คือการแก้ปัญหาแบบง่ายๆเหตุผลคืออะไร ?

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

x \geq 0

$x\geq 0$

P (D^{+} < 0)

$P(D^+<0)$

— Glen_b