ทำไมตัวแปรสุ่มถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชั่น

ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจแนวคิดของตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชั่น ฉันเข้าใจกลไก (ฉันคิดว่า) แต่ฉันไม่เข้าใจแรงจูงใจ ...

พูดเป็นความน่าจะเป็นสามโดยที่ ,คือ Borel- -algebra ในช่วงเวลานั้นและคือการวัด Lebesgue ปกติ ให้เป็นตัวแปรสุ่มจากถึงซึ่ง , , ... ,ดังนั้นมีการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องบนค่า 1 ถึง 6 Ω = [ 0 , 1 ] B σ P X B { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } X ( [ 0 , 1 / 6 ) ) = 1 X ( [ 1 / 6 , 2 / 6 ) ) = 2 X ( $(\Omega, B, P)$$\Omega = [0,1]$$B$$\sigma$$P$$X$$B$$\{1,2,3,4,5,6\}$$X([0,1/6)) = 1$$X([1/6,2/6)) = 2$$X([5/6,1]) = 6$$X$

นั่นคือทั้งหมดที่ดี แต่ฉันไม่เข้าใจความจำเป็นของความน่าจะเป็นสามเท่าเดิม ... เราสามารถสร้างสิ่งที่เทียบเท่าโดยตรงกับโดยที่มีความเหมาะสม -algebra ของพื้นที่และเป็นหน่วยวัดที่กำหนดให้แต่ละส่วนย่อยเป็นการวัด (# ขององค์ประกอบ) / 6 นอกจากนี้ตัวเลือกของโดยพลการ - มันอาจเป็นหรือชุดอื่น ๆS σ P x Ω = [ 0 , 1 ] [ 0 , 2 $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$$S$$\sigma$$P_x$$\Omega=[0,1]$$[0,2]$

ดังนั้นคำถามของฉันคือทำไมต้องสร้างโดยพลการด้วย -algebra และการวัดและกำหนดตัวแปรสุ่มเป็นแผนที่จาก -algebra ถึงเส้นจริง? σ $\Omega$$\sigma$$\sigma$

หากคุณสงสัยว่าทำไมเครื่องจักรทั้งหมดนี้ถูกใช้เมื่อสิ่งที่เรียบง่ายกว่านั้นพอเพียงแล้ว - คุณพูดถูกสำหรับสถานการณ์ส่วนใหญ่ อย่างไรก็ตามรุ่นความน่าจะเป็นตามทฤษฎีของการวัดได้รับการพัฒนาโดย Kolmogorov เพื่อจุดประสงค์ในการสร้างทฤษฏีทั่วไปเช่นที่มันสามารถจัดการได้ในบางกรณีพื้นที่ที่น่าจะเป็นนามธรรมและซับซ้อนมาก ในความเป็นจริง Kolmogorov วัดรากฐานทางทฤษฎีสำหรับความน่าจะเป็นในที่สุดได้รับอนุญาตให้เครื่องมือน่าจะถูกนำไปใช้ไกลเกินกว่าขอบเขตดั้งเดิมของการประยุกต์ใช้ในพื้นที่เช่นการวิเคราะห์ฮาร์โมนิ

ในตอนแรกมันดูเหมือนตรงไปตรงมามากกว่าที่จะข้าม "ต้นแบบ" -algebraและเพื่อมอบหมายมวลความน่าจะเป็นให้กับกิจกรรมที่ประกอบไปด้วยพื้นที่ตัวอย่างโดยตรงตามที่คุณเสนอ อันที่จริงได้อย่างมีประสิทธิภาพ probabilists ทำสิ่งเดียวกันเมื่อใดก็ตามที่พวกเขาเลือกที่จะทำงานกับ "เหนี่ยวนำวัด" ในพื้นที่ตัวอย่างที่กำหนดโดย1} อย่างไรก็ตามสิ่งต่าง ๆ เริ่มมีความยุ่งยากเมื่อคุณเริ่มเข้าสู่มิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด สมมติว่าคุณต้องการพิสูจน์กฎหมายที่แข็งแกร่งของตัวเลขจำนวนมากสำหรับกรณีเฉพาะของการโยนเหรียญที่ยุติธรรม (นั่นคือสัดส่วนของหัวมีแนวโน้มที่จะสุ่มอย่างใกล้ชิดถึง 1/2 ตามจำนวนการโยนเหรียญที่ไม่มีที่สิ้นสุด) คุณสามารถพยายามสร้างΩ P ∘ X - 1 σ ( H , T , H , . . . ) Ω = [ 0 , 1 ) $\sigma$$\Omega$$P \circ X^{-1}$$\sigma$พีชคณิตในชุดของลำดับอนันต์ของฟอร์ม ) แต่ที่นี่จะพบว่ามันสะดวกกว่าที่จะใช้พื้นที่ต้นแบบเป็น ; จากนั้นใช้การแทนเลขฐานสองของจำนวนจริง (เช่น ) เพื่อแสดงลำดับของการโยนเหรียญ (1 เป็นหัว 0 ถูกหาง) ภาพประกอบของตัวอย่างนี้สามารถพบได้ในบทแรก ๆ ของความน่าจะเป็นของ Billingsley และ วัด$(H,T,H,...)$$\Omega = [0,1)$$0.10100...$

ปัญหาเกี่ยวกับการ -algebras รายละเอียดปลีกย่อยทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้จริงๆอธิบายว่าทำไมหรือถ้าเราจำเป็นต้องมีพื้นที่พื้นหลัง แน่นอนฉันจะบอกว่าไม่มีหลักฐานที่น่าสนใจว่าพื้นที่พื้นหลังเป็นสิ่งจำเป็น สำหรับการใด ๆ การตั้งค่าความน่าจะเป็น ( E , E , μ )ที่Eเป็นพื้นที่ตัวอย่างE σพีชคณิตและμวัดความน่าจะเป็นที่น่าสนใจอยู่ในμและไม่มีเหตุผลที่เป็นนามธรรมที่เราต้องการμที่จะเป็นตัวชี้วัดภาพ ของแผนที่ที่วัดได้X : ( Ω , $\sigma$$(E, \mathbb{E}, \mu)$$E$$\mathbb{E}$$\sigma$$\mu$$\mu$$\mu$ )$X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

อย่างไรก็ตามการใช้พื้นที่พื้นหลังแบบนามธรรมให้ความสะดวกสบายทางคณิตศาสตร์ที่ทำให้ผลลัพธ์จำนวนมากดูเป็นธรรมชาติและใช้งานง่ายยิ่งขึ้น วัตถุประสงค์คือเสมอที่จะพูดอะไรเกี่ยวกับการกระจายของXแต่มันอาจจะง่ายและแสดงความชัดเจนมากขึ้นในแง่ของX$\mu$$X$$X$

ตัวอย่างมีให้โดยทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง ถ้าเป็นค่าจริงที่มีค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวนσ 2 CLT บอกว่า P ( $X_1, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$ โดยที่Φเป็นฟังก์ชันการแจกแจงสำหรับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน หากการกระจายของXฉันคือμผลที่สอดคล้องกันในแง่ของการวัดอ่าน ρ

$$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$$ $\Phi$$X_i$$\mu$ บางคำอธิบายของคำศัพท์ที่มีความจำเป็นโดย.μ*nเราหมายถึงn-times บิดของμ(การกระจายของผลรวม) ฟังก์ชันρcคือฟังก์ชันเชิงเส้นρc(x)=cxและ $$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$$ $\mu^{*n}$$n$$\mu$$\rho_c$$\rho_c(x) = cx$คือการแปล τ ξ ( x ) = x - ξ อาจมีความคุ้นเคยกับสูตรที่สอง แต่มันก็เป็นงานที่ดีในการซ่อนสิ่งที่มันเกี่ยวกับ$\tau_{\xi}$$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

สิ่งที่น่าจะเป็นประเด็นคือการแปลงเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับ CLT นั้นค่อนข้างชัดเจนในแง่ของตัวแปรสุ่ม แต่ก็แปลได้ไม่ดีนักในแง่ของมาตรการ

ฉันเพิ่งสะดุดวิธีการใหม่นี้จะคิดเกี่ยวกับการสุ่มตัวแปรเช่นเดียวกับเกี่ยวกับภูมิหลังพื้นที่Ω ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นคำถามที่คุณกำลังมองหาหรือไม่เพราะมันไม่ใช่เหตุผลทางคณิตศาสตร์ แต่ฉันคิดว่ามันเป็นวิธีที่ดีในการคิดถึง RVs$X$$\Omega$

ลองนึกภาพสถานการณ์ที่เราโยนเหรียญ การตั้งค่าการทดลองนี้ประกอบด้วยชุดของเงื่อนไขเริ่มต้นที่เป็นไปได้ซึ่งรวมถึงรายละเอียดทางกายภาพของวิธีการโยนเหรียญ พื้นที่พื้นหลังประกอบด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพื่อความง่ายเราอาจสันนิษฐานได้ว่าเหรียญโยนแตกต่างกันเพียงความเร็วแล้วเราจะตั้งค่า$\Omega = [0,v_{max}]$

ตัวแปรสุ่มแล้วอาจจะคิดว่าเป็นหน้าที่ที่แมทุกรัฐเริ่มต้นโอห์ม∈ โอห์มกับผลที่สอดคล้องกันของการทดลองคือไม่ว่าจะเป็นหางหรือหัว$X$$\omega \in \Omega$

สำหรับ RV: การวัดQจะสอดคล้องกัน เพื่อวัดความน่าจะเป็นเหนือเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งรวมถึงการเปลี่ยนแปลงของการทดลองแสดงโดย$X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$$Q$$X$ กำหนดการกระจายความน่าจะเป็นเหนือผลลัพธ์

สำหรับการอ้างอิงความคิดนี้คุณสามารถดูบทของ Tim Maudlin หรือ Micheal Strevens ใน "Probabilties in Physics" (2011)