คำถามติดแท็ก measure-theory

เรามีการทดลองแบบสุ่มกับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันในการสร้างพื้นที่ตัวอย่าง ซึ่งเรามองด้วยความสนใจในรูปแบบบางอย่างที่เรียกว่าeventsSigma-algebras (หรือ sigma-fields)ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่สามารถวัดความน่าจะเป็นได้ คุณสมบัติบางอย่างเป็นจริงรวมทั้งการรวมของชุด nullและตัวอย่างพื้นที่ทั้งหมดและพีชคณิตที่อธิบายสหภาพแรงงานและสี่แยกที่มีแผนภาพเวนน์Ω ,Ω,\Omega,F หน้า ∅ F.F.\mathscr{F}. PP\mathbb{P}∅∅\varnothing น่าจะมีการกำหนดเป็นฟังก์ชั่นระหว่างที่พีชคณิตและช่วง[0,1]พรึบสามรูปแบบพื้นที่น่าจะเป็นσσ\sigma[0,1][0,1][0,1](Ω,F,P)(Ω,F,P)(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P}) มีคนอธิบายเป็นภาษาอังกฤษธรรมดาได้หรือไม่ว่าทำไมความน่าจะเป็นที่พังทลายลงมาถ้าเราไม่มี -algebra? พวกเขาเพิ่งจะยืนอยู่ตรงกลางด้วย "F" การประดิษฐ์ตัวอักษรที่เป็นไปไม่ได้ ฉันเชื่อว่าพวกเขามีความจำเป็น ฉันเห็นว่าเหตุการณ์แตกต่างจากผลลัพธ์ แต่สิ่งใดที่จะผิดไปได้หากไม่มี -algebrasσσ\sigmaσσ\sigma คำถามคือในประเภทใดของปัญหาความน่าจะเป็นความหมายของพื้นที่ความน่าจะเป็นรวมถึง - พีชคณิตกลายเป็นสิ่งจำเป็น?σσ\sigma เอกสารออนไลน์นี้บนเว็บไซต์ของมหาวิทยาลัย Dartmouthมีคำอธิบายที่ใช้ภาษาอังกฤษได้ง่าย แนวคิดนี้เป็นตัวชี้การหมุนทวนเข็มนาฬิกาในวงกลมของหน่วยปริมณฑล: เราเริ่มต้นด้วยการสร้างสปินเนอร์ซึ่งประกอบด้วยวงกลมของหน่วยรอบและตัวชี้ตามที่แสดงใน [รูป] รูป เราเลือกจุดบนวงกลมแล้วทำเครื่องหมายจากนั้นติดป้ายทุกจุดอื่นบนวงกลมด้วยระยะทางพูดจากถึงจุดนั้นวัดทวนเข็มนาฬิกา การทดสอบประกอบด้วยการหมุนตัวชี้และบันทึกฉลากของจุดที่ปลายตัวชี้ เราปล่อยให้ตัวแปรสุ่มแทนค่าของผลลัพธ์นี้ พื้นที่ตัวอย่างเป็นช่วงเวลาที่ชัดเจน000xxx000XXX[0,1)[0,1)[0,1). เราต้องการสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นที่แต่ละผลลัพธ์มีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นอย่างเท่าเทียมกัน หากเราดำเนินการตามที่เราทำ [... ] สำหรับการทดลองที่มีจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ จำกัด เราจะต้องกำหนดความน่าจะเป็นให้แต่ละผลลัพธ์เนื่องจากมิฉะนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นเหนือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะไม่ เท่ากับ 1 (อันที่จริงแล้วการรวมจำนวนจริงจำนวนที่นับไม่ได้เป็นธุรกิจที่ยุ่งยากโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อให้ผลรวมดังกล่าวมีความหมายใด ๆ โดยสรุปแล้วการสรุปจำนวนมากอาจแตกต่างจาก ) อย่างไรก็ตามถ้า …

122 probability  intuition  measure-theory  sigma-algebra 

นี่อาจเป็นคำถามที่โง่ แต่ทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการศึกษาฟังก์ชั่นที่รวม / รวมเข้ากับหนึ่งหรือไม่? แก้ไข ฉันลืมว่าไม่ได้ปฏิเสธ ทฤษฎีความน่าจะเป็นดังนั้นการศึกษาฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่ลบที่รวมเข้ากับผลรวมเป็นหนึ่ง

26 probability  mathematical-statistics  measure-theory 

ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจแนวคิดของตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชั่น ฉันเข้าใจกลไก (ฉันคิดว่า) แต่ฉันไม่เข้าใจแรงจูงใจ ... พูดเป็นความน่าจะเป็นสามโดยที่ ,คือ Borel- -algebra ในช่วงเวลานั้นและคือการวัด Lebesgue ปกติ ให้เป็นตัวแปรสุ่มจากถึงซึ่ง , , ... ,ดังนั้นมีการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องบนค่า 1 ถึง 6 Ω = [ 0 , 1 ] B σ P X B { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } X ( [ 0 , …

21 probability  random-variable  measure-theory 

ทฤษฎีบท Halmos-โหดกล่าวว่าสำหรับแบบจำลองทางสถิติเด่นสถิติก็เพียงพอแล้วถ้า (และถ้ามี) สำหรับทุกมีรุ่น -measurable ของเรดอน Nikodym อนุพันธ์ที่เป็น ตัวชี้วัดที่มีสิทธิพิเศษดังกล่าวที่สำหรับและP(Ω,A,P)(Ω,A,P)(\Omega, \mathscr A, \mathscr P)T:(Ω,A,P)→(Ω′,A′)T:(Ω,A,P)→(Ω′,A′)T: (\Omega, \mathscr A, \mathscr P)\to(\Omega', \mathscr A'){P∈P}{P∈P}\{P \in \mathscr{P} \} TTTdPdP∗dPdP∗\frac{dP}{dP*}dP∗dP∗dP*P∗=∑∞i=1PiciP∗=∑i=1∞PiciP*=\sum_{i=1}^\infty P_i c_i ci>0,∑∞i=1ci=1ci>0,∑i=1∞ci=1c_i >0, \sum _{i=1}^\infty c_i =1Pi∈PPi∈PP_i \in \mathscr P ฉันพยายามเข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าทำไมทฤษฎีบทถึงเป็นจริง แต่ฉันก็ไม่ประสบความสำเร็จดังนั้นคำถามของฉันคือว่ามีวิธีที่เข้าใจได้ง่ายหรือไม่

13 probability  mathematical-statistics  intuition  measure-theory 

สมมติว่าเรามี (ที่วัดได้และเหมาะสมมีความประพฤติดี) ชุดที่มีขนาดกะทัดรัด นอกจากนี้สมมติว่าเราสามารถวาดตัวอย่างจากการกระจายชุดมากกว่า wrt เกอวัดและที่เรารู้ว่าวัด(B) เช่นบางทีBเป็นกล่อง[ - C , C ] nมีSS⊆B⊂RnS⊆B⊂RnS\subseteq B\subset\mathbb R^nBBBBBBλ(⋅)λ(⋅)\lambda(\cdot)λ(B)λ(B)\lambda(B)BBB[−c,c]n[−c,c]n[-c,c]^nSSS สำหรับการแก้ไขα∈Rα∈R\alpha\in\mathbb Rจะมีวิธีการที่เป็นกลางที่เรียบง่ายในการประมาณการe−αλ(S)e−αλ(S)e^{-\alpha \lambda(S)}โดยสม่ำเสมอสุ่มตัวอย่างในจุดBBBและการตรวจสอบหากพวกเขาเป็นภายในหรือภายนอกของSSS ? เป็นตัวอย่างของบางสิ่งบางอย่างที่ไม่ได้ทำงานค่อนข้างสมมติว่าเราตัวอย่างkkkจุดp1,…,pk∼Uniform(B)p1,…,pk∼Uniform(B)p_1,\ldots,p_k\sim\textrm{Uniform}(B) ) แล้วเราสามารถใช้การประมาณการ Monte Carlo λ(S)≈λ^:=#{pi∈S}kλ(B).λ(S)≈λ^:=#{pi∈S}kλ(B).\lambda(S)\approx \hat\lambda:= \frac{\#\{p_i\in S\}}{k}\lambda(B). แต่ในขณะที่ λเป็นประมาณการที่เป็นกลางของλ(S)ผมไม่คิดว่ามันเป็นกรณีที่อี-อัลฟ่า λเป็นประมาณการที่เป็นกลางของอี-อัลฟ่าλ(S) มีวิธีแก้ไขอัลกอริทึมนี้ไหม?λ^λ^\hat\lambdaλ(S)λ(S)\lambda(S)e−αλ^e−αλ^e^{-\alpha\hat\lambda}e−αλ(S)e−αλ(S)e^{-\alpha\lambda(S)}

12 probability  monte-carlo  unbiased-estimator  measure-theory 

ฉันเคยเห็นบางจุดการใช้เรดอน - นิโคดีมาของการวัดความน่าจะเป็นหนึ่งโดยเทียบกับอีกประการหนึ่งที่โดดเด่นที่สุดใน Kullback-Leibler divergence ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของการวัดความน่าจะเป็นของแบบจำลองสำหรับพารามิเตอร์โดยพลการเกี่ยวกับพารามิเตอร์จริง :θ 0θθ\thetaθ0θ0\theta_0 dPθdPθ0dPθdPθ0\frac {dP_\theta}{dP_{\theta_0}} ที่ไหนเหล่านี้มีทั้งที่เป็นมาตรการในพื้นที่ของ datapoints เงื่อนไขเกี่ยวกับค่าพารามิเตอร์:theta)Pθ(D)=P(D|θ)Pθ(D)=P(D|θ)P_\theta(D)=P(D|\theta) การตีความของอนุพันธ์ Radon-Nikodym เช่นนี้ในการเบี่ยงเบน Kullback-Leibler คืออะไรหรือโดยทั่วไประหว่างความน่าจะเป็นสองมาตรการ?

11 mathematical-statistics  kullback-leibler  derivative  measure-theory 

ปิด คำถามนี้จะต้องมีมากขึ้นมุ่งเน้น ไม่ยอมรับคำตอบในขณะนี้ ต้องการปรับปรุงคำถามนี้หรือไม่ อัปเดตคำถามเพื่อให้มุ่งเน้นที่ปัญหาเดียวโดยแก้ไขโพสต์นี้ ปิดให้บริการใน3 ปีที่ผ่านมา ฉันต้องการเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นทฤษฎีการวัดและการเรียนรู้ของเครื่องจักรในที่สุด เป้าหมายสูงสุดของฉันคือการใช้การเรียนรู้ของเครื่องในซอฟต์แวร์ ฉันศึกษาแคลคูลัสและความน่าจะเป็นพื้นฐานในวิทยาลัย แต่มันก็สวยมาก คุณรู้หลักสูตรออนไลน์หรือหนังสือบางเล่มที่ฉันสามารถใช้เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับวิชาเหล่านี้ ฉันพบแหล่งข้อมูลมากมายบนเว็บ แต่พวกเขาดูเหมือนจะกำหนดเป้าหมายไปยังผู้ชมที่มีความเชี่ยวชาญ ฉันรู้ว่ามันต้องใช้เวลาพอสมควร แต่ฉันจะเริ่มได้ที่ไหนถ้าฉันต้องการเรียนรู้ตั้งแต่ต้น?

9 machine-learning  probability  references  measure-theory 

ฉันกำลังดูกระดาษแบบจำลองเอฟเฟกต์แบบสุ่มของ Dirichlet และสเปคของโมเดลมีดังนี้: YผมψผมG=Xผมβ+ψผม+εผม∼ กรัม~ D P( α ,G0)Yผม=Xผมβ+ψผม+εผมψผม~GG~DP(α,G0) \begin{align*}y_{i} &= X_{i}\beta + \psi_{i} + \epsilon_{i}\\ \psi_{i} &\sim G \\ G &\sim \mathcal{DP}\left(\alpha, G_{0}\right) \end{align*} ที่ไหน αα\alpha เป็นพารามิเตอร์ขนาดและ G0G0G_{0}เป็นตัวชี้วัดพื้นฐาน ต่อมาในบทความแนะนำว่าเรารวมฟังก์ชั่นเข้ากับการวัดพื้นฐานG0G0G_{0} เช่น ∫ฉ(YJ| θ,ψJ)dG0(ψJ) .∫ฉ(YJ|θ,ψJ)dG0(ψJ). \int f\left(y_{j}|\theta, \psi_{j}\right)\, dG_{0}\left(\psi_{j}\right).การวัดพื้นฐานใน Dirichlet ประมวลผลเป็น cdf หรือว่าเป็น pdf หรือไม่? จะเกิดอะไรขึ้นหากการวัดพื้นฐานคือ Gaussian

9 bayesian  dirichlet-distribution  dirichlet-process  nonparametric-bayes  measure-theory