ทดสอบเพื่อแยกความแตกต่างเป็นระยะจากข้อมูลเกือบเป็นระยะ

สมมติว่าฉันมีบางฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักโดเมนℝซึ่งผมทราบว่าจะปฏิบัติตามเงื่อนไขที่เหมาะสมบางอย่างเช่นความต่อเนื่อง ฉันรู้ค่าที่แน่นอนของf (เพราะข้อมูลมาจากการจำลอง) ที่จุดสุ่มตัวอย่างบางระยะเท่ากันt_i = t_0 + iΔtด้วยi∈ \ {1, …, n \}ซึ่งฉันคิดว่าเพียงพอที่จะจับภาพทั้งหมด ด้านที่เกี่ยวข้องของfเช่นฉันสามารถสรุปได้ว่ามี extremum ท้องถิ่นมากที่สุดหนึ่งแห่งfในระหว่างจุดสุ่มสองจุด ฉันกำลังมองหาการทดสอบที่บอกฉันว่าข้อมูลของฉันสอดคล้องกับfเป็นระยะอย่างแน่นอนหรือไม่นั่นคือ∃τ: f (t + τ) = f (t) \, ∀ \, t$f$$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$ด้วยความยาวของช่วงเวลาที่สามารถสะท้อนกลับได้เช่น$Δt < τ < n·Δt$ (แต่เป็นไปได้ว่าฉันสามารถสร้างข้อ จำกัด ที่แข็งแกร่งกว่านี้ได้ถ้าจำเป็น)

จากมุมมองอื่นผมมีข้อมูล${x_0, …, x_n}$และกำลังมองหาการทดสอบที่ตอบคำถามไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชั่นเป็นระยะ$f$ (เงื่อนไขดังกล่าวตอบสนอง) อยู่เช่นว่า$f(t_i)=x_i ∀ i$∀ฉัน

จุดสำคัญคืออย่างน้อย$f$ใกล้เคียงกับช่วงเวลาอย่างมาก (อาจเป็นเช่น$f(t) := \sin(g(t)·t)$หรือ$f(t) := g(t)·\sin(t)$ด้วย$g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$ ) เท่าที่การเปลี่ยนแปลงจุดข้อมูลหนึ่งด้วยจำนวนเล็กน้อยอาจพอเพียงเพื่อให้ข้อมูลสอดคล้องกับ$f$เป็นระยะอย่างแน่นอน ดังนั้นเครื่องมือมาตรฐานสำหรับการวิเคราะห์ความถี่เช่นการแปลงฟูริเยร์หรือการวิเคราะห์การข้ามศูนย์จะไม่ช่วยอะไรมาก

โปรดทราบว่าการทดสอบที่ฉันกำลังมองหาอาจไม่น่าจะเป็นไปได้

ฉันมีความคิดบางอย่างเกี่ยวกับวิธีการออกแบบการทดสอบด้วยตัวเอง แต่ต้องการหลีกเลี่ยงการสร้างใหม่ของวงล้อ ดังนั้นฉันกำลังมองหาการทดสอบที่มีอยู่

ที่ผมกล่าวว่าผมมีความคิดวิธีการทำเช่นนี้ซึ่งผมรู้ได้จากการกลั่นและเขียนกระดาษเกี่ยวกับซึ่งเป็นที่เผยแพร่ขณะนี้: Chaos 25, 113,106 (2015) - preprint บน arXiv

เกณฑ์ที่ตรวจสอบเกือบจะเหมือนกับร่างในคำถาม: จากข้อมูลเก็บตัวอย่าง ณ จุดเวลาการทดสอบจะตัดสินว่ามีฟังก์ชันและ aนั้น:$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ไม่มี extrema ในท้องที่มากไปกว่าซีเควนซ์โดยมีข้อยกเว้นที่เป็นไปได้ของ extremum สูงสุดหนึ่งอันใกล้กับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของแต่ละอัน$x$$f$

การทดสอบสามารถแก้ไขได้สำหรับข้อผิดพลาดเล็ก ๆ เช่นข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขของวิธีการจำลอง

^{ฉันหวังว่ากระดาษของฉันยังตอบว่าทำไมฉันจึงสนใจในการทดสอบดังกล่าว}

แปลงข้อมูลเป็นโดเมนความถี่โดยใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) หากข้อมูลเป็นระยะอย่างสมบูรณ์จะมีช่องความถี่หนึ่งช่องที่มีค่าสูงและถังขยะอื่นจะเป็นศูนย์ (หรือใกล้กับศูนย์ให้ดูที่การรั่วไหลของสเปกตรัม)

หมายเหตุว่ามติความถี่จะได้รับจาก{จำนวนตัวอย่าง}} ดังนั้นนี่จึงเป็นการจำกัดความแม่นยำในการตรวจจับ$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

หากคุณรู้สัญญาณตามระยะเวลาจริงให้คำนวณ

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

แล้วสรุปองค์ประกอบของ{} หากอยู่เหนือขีด จำกัด (พิจารณาข้อผิดพลาดจากการคำนวณเลขทศนิยม) ข้อมูลจะไม่เป็นงวด$\text{difference}$