ตัวอย่างของตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดที่ไม่สอดคล้องกัน

ฉันกำลังอ่านความคิดเห็นต่อกระดาษและผู้เขียนกล่าวว่าบางครั้งถึงแม้ว่าตัวประมาณ (พบโดย ML หรือ quasilikelihood สูงสุด) อาจไม่สอดคล้องกันพลังของอัตราส่วนความน่าจะเป็นหรือการทดสอบอัตราส่วนกึ่งโอกาส 1 เมื่อจำนวนข้อมูลที่สังเกตมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด (ความสอดคล้องของการทดสอบ) สิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไรและเมื่อไหร่? คุณรู้จักบรรณานุกรมบ้างไหม?

[ฉันคิดว่านี่อาจเป็นตัวอย่างของสถานการณ์ภายใต้การสนทนาในคำถามของคุณ]

มีตัวอย่างมากมายของตัวประมาณค่า ML ที่ไม่สอดคล้องกัน ความไม่ลงรอยกันมักพบเห็นได้ทั่วไปในปัญหาการผสมผสานที่ซับซ้อนเล็กน้อยและปัญหาการเซ็นเซอร์

[ความสอดคล้องของการทดสอบนั้นโดยทั่วไปแล้วว่าพลังของการทดสอบสำหรับสมมติฐานที่ผิดพลาด (คงที่) จะเพิ่มขึ้นเป็นหนึ่งเมื่อ ]$n\to\infty$

ราดโอนีลให้ตัวอย่างในรายการบล็อกของเขา 2008/08/09 ที่ไม่สอดคล้องกันสูงสุดโอกาสการประเมิน: เป็น“ธรรมดา” ตัวอย่าง มันเกี่ยวข้องกับการประมาณค่าพารามิเตอร์ใน:$\theta$

(โอนีลใช้ที่ฉันมี ) โดยที่ ML การประเมินของจะมีแนวโน้มที่เป็น (และแน่นอนความเป็นไปได้สูงกว่าในจุดสูงสุดใกล้ 0 มากกว่าที่ค่าจริงสำหรับตัวอย่างที่ค่อนข้างเล็กน้อย ขนาด) อย่างไรก็ตามในกรณีที่มีจุดสูงสุดใกล้กับค่าจริงมันมีขนาดเล็กกว่าค่าใกล้ 0θ θ 0 n →การ∞ $t$$\theta$$\theta$$0$$n\to\infty$$\theta$

ลองนึกภาพตอนนี้สองกรณีที่เกี่ยวข้องกับสถานการณ์นี้:

a) ดำเนินการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นของกับทางเลือก ;H 1 : θ < θ $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta<\theta_0$

ข) การดำเนินการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นของกับทางเลือก\$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta\neq\theta_0$

ในกรณี (a) ลองจินตนาการว่าจริง (เพื่อให้ทางเลือกเป็นจริงและเป็นอีกด้านหนึ่งของความจริง ) จากนั้นทั้งๆที่ข้อเท็จจริงที่ว่าโอกาสที่ใกล้เคียงกับ 0 จะมากกว่านั้นที่ , โอกาสที่ยังคงเกินความน่าจะเป็นที่แม้ในกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กและอัตราส่วนจะยังคงขยายใหญ่เป็นในลักษณะเช่นที่จะทำให้ความน่าจะปฏิเสธในโอกาสไปทดสอบอัตราส่วน 1$\theta<\theta_0$$0$$\theta$$\theta$$\theta$$\theta_0$$n\to\infty$

แน่นอนแม้ว่าในกรณี (b) ตราบใดที่ได้รับการแก้ไขและ จำกัด ขอบเขตจากมันก็ควรจะเป็นเช่นนั้นว่าอัตราส่วนความน่าจะเป็นจะเติบโตในลักษณะที่จะทำให้ความน่าจะเป็นในการปฏิเสธในการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นยัง วิธีที่ 1$\theta_0$$0$

ดังนั้นนี่จะเป็นตัวอย่างของการประมาณค่า ML ที่ไม่สอดคล้องกันซึ่งอำนาจของ LRT ควรจะอยู่ที่ 1 (ยกเว้นเมื่อ )$\theta_0=0$

[โปรดทราบว่าไม่มีอะไรจริง ๆ ที่ไม่ได้อยู่ในคำตอบของ whuber ซึ่งฉันคิดว่าเป็นแบบอย่างที่ชัดเจนและง่ายกว่ามากสำหรับการทำความเข้าใจความแตกต่างระหว่างความสอดคล้องของการทดสอบและความสอดคล้องของตัวประมาณ ความจริงที่ว่าตัวประมาณที่ไม่สอดคล้องกันในตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงนั้นไม่ใช่ ML ไม่สำคัญเท่าที่จะเข้าใจความแตกต่างนั้นและการนำตัวประมาณที่ไม่สอดคล้องซึ่งเฉพาะ ML - อย่างที่ฉันพยายามทำที่นี่ - ไม่ได้เปลี่ยน คำอธิบายใด ๆ ที่สำคัญ จุดที่แท้จริงของตัวอย่างที่นี่คือฉันคิดว่ามันเกี่ยวข้องกับความกังวลของคุณเกี่ยวกับการใช้ตัวประมาณค่า ML]

อนุญาตให้ถูกดึง iid จากการแจกแจงแบบปกติพิจารณาตัวประมาณ$(X_n)$$(\mu, 1)$

การกระจายตัวของปกติ{n}) มันมาบรรจบกับโดยแสดงว่ามันไม่สอดคล้องกัน$T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$$\mu+1\ne \mu$

ในการเปรียบเทียบสมมติฐานที่จะเป็นทางเลือกที่ง่ายพูดอัตราส่วนบันทึกความเป็นไปได้จะเหมือนกับ LLR ขึ้นอยู่กับแทนT(ผลคือมีประโยชน์สำหรับการเปรียบเทียบสมมติฐานว่างกับสมมติฐานทางเลือก ) เนื่องจากการทดสอบโดยใช้ค่าเฉลี่ยมีอำนาจรวมเป็นสำหรับสิ่งใด ๆ ขนาดทดสอบและขนาดผลกระทบใด ๆ อำนาจของการทดสอบโดยใช้ตัวเองยังลู่ไป1 μ = μ A ˉ X T T μ + 1 = μ 0 + $\mu=\mu_0$$\mu=\mu_A$$\bar{X}$$T$$T$$\mu+1=\mu_0+1$1 α > 0 T $\mu+1=\mu_A+1$$1$$\alpha\gt 0$$T$$1$