การประมาณจำนวนลูกโดยการเลือกลูกและทำเครื่องหมายอย่างต่อเนื่อง

ให้บอกว่าฉันมีลูกเอ็นในถุง ในการวาดครั้งแรกของฉันฉันทำเครื่องหมายลูกและแทนที่ในถุง ในการจับครั้งที่สองของฉันหากฉันหยิบลูกบอลที่ทำเครื่องหมายไว้ฉันจะคืนมันลงในกระเป๋า อย่างไรก็ตามหากฉันรับลูกบอลที่ไม่มีการทำเครื่องหมายฉันจะทำเครื่องหมายและส่งกลับไปยังกระเป๋า ฉันทำสิ่งนี้ต่อไปเสมอ จำนวนที่คาดหวังของลูกในถุงที่ได้รับจำนวนการดึงและประวัติของการทำเครื่องหมาย / ไม่ถูกทำเครื่องหมายคืออะไร?

นี่คือความคิด Letเป็นเซต จำกัด ของจำนวนธรรมชาติซึ่งจะเป็นค่าที่เป็นไปได้สำหรับNสมมติว่าเรามีการกระจายก่อนมากกว่า{I} แก้ไขไม่ใช่สุ่มจำนวนเต็มบวกMให้เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงจำนวนครั้งที่เราทำเครื่องหมายลูกในดึงออกมาจากถุง เป้าหมายคือการหาk) นี่จะเป็นฟังก์ชั่นของและก่อนหน้า$\mathcal{I}$$N$$\mathcal{I}$$M$$k$$M$$E(N|k)$$M,k$

ตามกฎของเบย์เรามี

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

การคำนวณเป็นการคำนวณที่เป็นที่รู้จักซึ่งเป็นตัวแปรในปัญหาการสะสมคูปอง คือความน่าจะเป็นที่เราสังเกตคูปองแตกต่างในดึงเมื่อมีคูปองทั้งหมด ดูที่นี่สำหรับข้อโต้แย้ง$P(k|N=j)$$P(k|N=j)$$k$$M$$j$

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

ที่หมายถึงจำนวนสเตอร์ลิงของประเภทที่สอง จากนั้นเราสามารถคำนวณ$S$

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

ด้านล่างเป็นการคำนวณบางอย่างสำหรับและต่างๆ ในแต่ละกรณีเราใช้เครื่องแบบก่อน$k$$M$$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$