โปรดอธิบายความขัดแย้งที่รอคอย

75

ไม่กี่ปีที่ผ่านมาฉันออกแบบเครื่องตรวจจับรังสีที่ทำงานโดยการวัดช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์แทนที่จะนับพวกเขา ข้อสันนิษฐานของฉันคือเมื่อทำการวัดตัวอย่างที่ไม่ต่อเนื่องกันโดยเฉลี่ยฉันจะวัดครึ่งหนึ่งของช่วงเวลาที่เกิดขึ้นจริง อย่างไรก็ตามเมื่อฉันทดสอบวงจรด้วยแหล่งที่ได้รับการสอบเทียบการอ่านเป็นปัจจัยที่มีค่าสูงเกินไปซึ่งหมายความว่าฉันทำการวัดช่วงเวลาเต็ม

ในหนังสือเก่าเกี่ยวกับความน่าจะเป็นและสถิติฉันพบส่วนเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่า "The Waiting Paradox" มันนำเสนอตัวอย่างที่มีรถบัสมาถึงที่ป้ายรถเมล์ทุก 15 นาทีและผู้โดยสารมาถึงโดยการสุ่มมันระบุว่าผู้โดยสารโดยเฉลี่ยจะรอเต็ม 15 นาที ฉันไม่เคยเข้าใจคณิตศาสตร์ที่นำเสนอด้วยตัวอย่างและยังคงมองหาคำอธิบายต่อไป หากใครบางคนสามารถอธิบายได้ว่าทำไมมันเป็นเช่นนั้นเพื่อให้ผู้โดยสารรอช่วงเวลาเต็มฉันจะนอนหลับดีขึ้น

poisson-process paradox

— Stephen Sackett
แหล่งที่มา

1

ชื่อหนังสือคืออะไรและใครเป็นผู้แต่งหนังสือ? คุณสามารถคัดลอกคำตัวอย่างสำหรับคำที่นี่ได้ไหม

— Joel Reyes Noche

นี้ไม่ได้เป็นพิเศษของฉัน แต่เป็นความขัดแย้งดังกล่าวโดยสหกรณ์เช่นเดียวกับความขัดแย้งการตรวจสอบ ?

— Joel Reyes Noche

1

โพสต์ที่เกี่ยวข้อง: math.stackexchange.com/questions/222674/…

— ddiez

1

ดูเหมือนว่าฉันเดาว่าข้างต้นมีการสนับสนุนบางอย่าง ความคิดเห็นต่อคำตอบนี้กล่าวถึงการตรวจสอบความขัดแย้ง

— Joel Reyes Noche

2

ฉันคิดว่าการใช้รถบัสเนื่องจากการเปรียบเทียบมีความสับสนเนื่องจากบัสมีแนวโน้มที่จะติดตาม ลองคิดดูว่าจะใช้เวลานานเท่าไรในการที่รถแท็กซี่ว่างเปล่ามาถึงโดยเฉลี่ยจะมาทุก ๆ 15 นาที

— Harvey Motulsky

48

ตามที่ Glen_b ชี้ให้เห็นหากรถบัสมาถึงทุก ๆนาทีโดยไม่มีความไม่แน่นอนใด ๆเรารู้ว่าเวลารอคอยที่เป็นไปได้สูงสุดคือนาที ถ้ามาจากส่วนของเราที่เรามาถึง "สุ่ม" เรารู้สึกว่า "ค่าเฉลี่ย" เราจะรอครึ่งหนึ่งของเวลาที่รอคอยเป็นไปได้สูงสุด และเวลารอสูงสุดที่เป็นไปได้คือที่นี่เท่ากับความยาวสูงสุดที่เป็นไปได้ระหว่างการมาถึงสองครั้งติดต่อกัน แสดงถึงเวลาที่เรารอและความยาวสูงสุดระหว่างรถบัสขาเข้าสองแถวติดต่อกันและเรายืนยันว่า $15$ $15$ $W$ $R$

\begin{matrix} (1) & E (W) = \frac{1}{2} R = \frac{15}{2} = 7.5 \end{matrix}

$E(W) = \frac 12 R = \frac {15}{2} = 7.5 \tag{1}$

และเราพูดถูก

แต่ความมั่นใจนั้นถูกพรากไปจากเราและเราได้รับแจ้งว่านาทีตอนนี้ความยาวเฉลี่ยระหว่างรถบัสสองคนมาถึง และเราตกหลุม "กับดักความคิดที่หยั่งรู้" และคิดว่า: "เราเพียงต้องการแทนที่ด้วยค่าที่คาดหวัง" และเราเถียง $15$ $R$

\begin{matrix} (2) & E (W) = \frac{1}{2} E (R) = \frac{15}{2} = 7.5 ไม่ถูกต้อง \end{matrix}

$E(W) = \frac 12 E(R) = \frac {15}{2} = 7.5\;\;\; \text{WRONG} \tag{2}$

บ่งชี้ที่แรกที่เราจะผิดก็คือว่าคือไม่ "ความยาวระหว่างสองติดต่อกันรถบัสเดินทางมาถึง" มันคือ " สูงสุดความยาว ฯลฯ" ดังนั้นในกรณีใด ๆ เรามี 15 $R$ $E(R) \neq 15$

เราไม่มาถึงวิธีการที่สมการ ? เราคิดว่า: "เวลารอคอยสามารถอยู่ระหว่างถึงสูงสุดฉันมาถึงด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากันดังนั้นฉัน" เลือก "สุ่มและมีความน่าจะเป็นเท่ากันทุกครั้งที่รอคอยที่เป็นไปได้ดังนั้นครึ่งหนึ่งของความยาวสูงสุด เวลารอคอยโดยเฉลี่ย " และเราพูดถูก $(1)$ $0$ $15$

แต่โดยการใส่ค่าในสมการโดยไม่ตั้งใจมันไม่ได้สะท้อนพฤติกรรมของเราอีกต่อไป ด้วยแทนสมการบอกว่า "ฉันเลือกแบบสุ่มและมีความเป็นไปได้ที่เท่ากันทุกช่วงเวลารอที่เป็นไปได้ที่เล็กกว่าหรือเท่ากับความยาวเฉลี่ยระหว่างรถบัสรับ - ส่งสองแถวติดต่อกัน " - นี่คือที่ ความผิดพลาดอยู่เนื่องจากพฤติกรรมของเราไม่เปลี่ยนแปลงดังนั้นโดยการสุ่มอย่างสม่ำเสมอเรายังคง "เลือกแบบสุ่มและมีโอกาสเท่ากัน" เวลารอคอยที่เป็นไปได้ทั้งหมด - แต่ "เวลารอคอยที่เป็นไปได้ทั้งหมด" ไม่ได้ถูกจับ $15$ $(2)$ $15$ $E(R)$ $(2)$ - เราลืมหางขวาของการกระจายความยาวระหว่างรถบัสขาเข้าสองคันติดต่อกัน $15$

ดังนั้นบางทีเราควรคำนวณค่าที่คาดหวังของความยาวสูงสุดระหว่างการมาถึงรถบัสสองคันติดต่อกันนี่เป็นวิธีการแก้ที่ถูกต้องหรือไม่?

ใช่มันอาจเป็นไปได้แต่ : "ความขัดแย้ง" ที่เฉพาะเจาะจงไปจับมือกับสมมติฐานสุ่มเฉพาะ: รถบัสขาเข้านั้นเป็นแบบจำลองโดยกระบวนการมาตรฐานปัวซองซึ่งหมายความว่าเราคิดว่าเวลาที่ยาวนานระหว่าง รถบัสที่เดินทางมาถึงสองครั้งติดต่อกันจะมีการแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียล แสดงว่าความยาวและเรามีว่า $\ell$

ฉ_{ℓ} (ℓ) = λ {อี}^{- λ ℓ}, λ = 1 / 15, E (ℓ) = 15

$f_{\ell}(\ell) = \lambda e^{-\lambda \ell},\;\; \lambda = 1/15,\;\; E(\ell) = 15$

นี่เป็นค่าประมาณแน่นอนเนื่องจากการแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียลได้รับการสนับสนุนอย่างไม่ จำกัด จากด้านขวาซึ่งหมายความว่าการพูด "เวลารอคอยที่เป็นไปได้ทั้งหมด" อย่างเคร่งครัดรวมถึงภายใต้สมมติฐานการสร้างแบบจำลองนี้ขนาดใหญ่และใหญ่ .

แต่เดี๋ยวก่อนเอ็กซ์โปเนนเชียลนั้นไม่มีความจำ : ไม่ว่าเราจะมาถึงณ จุดใดเราก็เผชิญกับตัวแปรสุ่มแบบเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้

ด้วยข้อสันนิษฐานสุ่ม / การกระจายจุดใด ๆ ในเวลาเป็นส่วนหนึ่งของ "ช่วงเวลาระหว่างสองบัสติดต่อกัน" ซึ่งมีความยาวอธิบายโดยการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเดียวกันกับค่าที่คาดหวัง (ไม่ใช่ค่าสูงสุด) : "ฉันอยู่นี่ ล้อมรอบด้วยช่วงเวลาระหว่างรถบัสขาเข้าสองแห่งความยาวของมันอยู่ในอดีตและบางส่วนในอนาคต แต่ฉันไม่มีทางรู้ได้ว่ามากแค่ไหนและเท่าไหร่ดังนั้นสิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันทำได้คือถามว่าความยาวที่คาดหวังคืออะไร - ซึ่งจะเป็นเวลารอเฉลี่ยของฉัน " - และคำตอบคือ " " เสมออนิจจา $15$ $15$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

+1 ดีมาก

ควรอ่าน

ไหม?

f_{ℓ} (ℓ)

$f_\ell(\ell)$

f_{λ} (ℓ)

$f_\lambda(\ell)$

— อะมีบา

ขอบคุณ สำหรับสัญกรณ์ทั้งสองจะใช้เพื่อระบุสิ่งที่แตกต่าง สิ่งที่ผมเขียนเป็นตามสายของการเน้นหนักที่มีความหนาแน่นของตัวแปรสุ่มเป็นเพราะในการเปลี่ยนแปลงต่าง ๆ ที่เราอาจจะจบลงกับสิ่งที่ต้องการ

)

สิ่งที่คุณแนะนำคือการเน้นความกว้างยาวของความหนาแน่น

f_{X} (y)

$f_X(y)$

— Alecos Papadopoulos

80

หากรถบัสมาถึง "ทุก ๆ 15 นาที" (เช่นตามกำหนดการ) การรอผู้โดยสารเฉลี่ย (มาถึงแบบสุ่ม) นั้นเพียง 7.5 นาทีเท่านั้นเพราะจะมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่องว่าง 15 นาทีนั้น

-

หากในอีกทางหนึ่งรถบัสมาถึงแบบสุ่มในอัตราเฉลี่ย 4 ต่อชั่วโมง (เช่นตามกระบวนการปัวซง) การรอเฉลี่ยนั้นนานกว่ามาก แน่นอนคุณสามารถทำงานได้ผ่านการขาดคุณสมบัติหน่วยความจำ ใช้เวลาที่ผู้โดยสารมาถึงเป็นจุดเริ่มต้นและเวลาในการแข่งขันครั้งต่อไปนั้นมีความหมายด้วยเวลาเฉลี่ย 15 นาที

ขอผมใช้เวลาเปรียบเทียบแบบไม่ต่อเนื่องกัน ลองนึกภาพฉันกำลังจะตายด้วยใบหน้า 15 หน้าซึ่งหนึ่งในนั้นมีป้ายกำกับว่า "B" (สำหรับรถบัส) และ 14 ป้ายกำกับ "X" สำหรับกรณีที่ไม่มีรถบัสในนาทีนั้น ( มีลูกเต๋า 30 ด้านที่มีอยู่พอสมควรใบหน้าของ "B" ตาย 30 ด้าน) ดังนั้นหนึ่งครั้งต่อนาทีฉันกลิ้งและดูว่ารถบัสมาหรือไม่ คนตายไม่มีความทรงจำ ไม่ทราบว่ามีม้วนกี่รายการตั้งแต่ "B" ตัวสุดท้าย ตอนนี้ลองนึกภาพเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันเกิดขึ้น - เห่าหมาผู้โดยสารมาถึงฉันได้ยินเสียงดังก้องของฟ้าร้อง จากนี้ไปฉันจะรอนานแค่ไหน (มีกี่ม้วน) จนถึง "B" ถัดไป

เนื่องจากการขาดหน่วยความจำโดยเฉลี่ยฉันรอเวลาเดียวกันสำหรับ "B" ถัดไปเป็นเวลาระหว่างสอง "B" ต่อเนื่องกัน

[ถัดไปลองนึกภาพว่าฉันมีตาย 60 ด้านฉันหมุนทุกสิบห้าวินาที (อีกครั้งด้วยใบหน้า "B" หนึ่งหน้า); ตอนนี้คิดว่าฉันมีผู้ตาย 1,000 ด้านฉันกลิ้งทุก 0.9 วินาที (ด้วยใบหน้า "B" หนึ่งหน้าหรือมากกว่านั้นตามความเป็นจริงสามลูกเต๋า 10 หน้าแต่ละภาพ ในเวลาเดียวกัน) ... และอื่น ๆ ในขีด จำกัด เราจะได้รับกระบวนการปัวซองเวลาต่อเนื่อง]

$t$ $t$

ในฐานะที่เป็นนักจับรถบัสที่มีประสบการณ์ในความเป็นจริงในทางปฏิบัติดูเหมือนว่าจะอยู่ที่ไหนสักแห่งระหว่าง และบางครั้ง (ในการรับส่งข้อมูลที่ไม่ดี) คุณรอหนึ่งชั่วโมงจากนั้น 3 มาถึงทั้งหมดในครั้งเดียว (Zach ระบุเหตุผลสำหรับสิ่งนั้นในความคิดเห็นด้านล่าง)

— Glen_b
แหล่งที่มา

6

ฉันคิดว่าด้วยรถบัสโดยเฉพาะมีกระบวนการเพิ่มเติมที่จะมีรถบัสล่าช้าในภายหลังเมื่อผู้โดยสารยัดเข้าไปและในที่สุดรถบัสที่ว่างข้างหลังก็จับขึ้นมา (แต่ยังคงว่างเปล่า) = D

— Zach

4

@Zach แน่นอนว่าเป็นเหตุผลที่พวกเขามีแนวโน้มที่จะรวมตัวกันในระยะยาวโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการจราจรหนาแน่น ที่ฉันอยู่เมื่อรถบัสวิ่งช้าไปถึงเวลาสำหรับรถคันต่อไปบางครั้งพวกเขาจะแทรกรถบัสเพิ่มเติมที่เกือบจะตรงเวลาตามเส้นทางเพิ่มเติม (เช่นจะขับโดยไม่มีผู้โดยสารไปยังที่ซึ่งรถเมล์ไม่ไกลมากนัก ตารางมักจะมีการเดินทางผ่านเส้นทางที่เร็วกว่า) และเริ่มรับผู้โดยสารซึ่งตอนนี้รถบัสมาสายเพียงเล็กน้อย ในขณะเดียวกันรถบัสที่ช้ามาก ๆ จะกลายเป็นรถบัสคันต่อไปตามตารางเวลาได้อย่างมีประสิทธิภาพเมื่อมาถึงจุดที่รถบัสคันอื่นเข้ามา

— Glen_b

@Glen_b นั่นเป็นความคิดที่ดีจริงๆฮ่า ๆ !

— Zach

มันเป็นกลยุทธ์การต่อต้านการจับกันที่มีประโยชน์ (อย่างน้อยก็ช่วยลดกรณีที่เลวร้ายที่สุด); ฉันจะไม่นำมันขึ้นมายกเว้นว่ามันเกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับของปัญหาการพึ่งพาอาศัยกันว่าแบบจำลองเวลารอรถบัสที่แม่นยำมากขึ้นอาจต้องจัดการกับ

— Glen_b

10

เพิ่มเติมเกี่ยวกับรถประจำทาง ... ขออภัยที่ต้องพูดคุยในช่วงท้ายของการสนทนา แต่ฉันได้ดูกระบวนการของปัวซองเมื่อเร็ว ๆ นี้ ... ดังนั้นก่อนที่มันจะหลุดจากความคิดของฉันนี่คือภาพแทนการตรวจสอบความขัดแย้ง :

$\lambda$ $\small \theta=1/\lambda=15$

ถ้าเราอยู่ที่ศูนย์ส่งออกและสามารถเห็นรถเมล์ทุกคันบนหน้าจอมันจะเป็นความจริงที่สุ่มขึ้นรถเมล์หลายคันและเฉลี่ยระยะทางไปยังรถบัสที่ตามหลังจะทำให้เวลาเฉลี่ยระหว่างการมาถึง:

แต่ถ้าสิ่งที่เราทำแทนที่จะแสดงขึ้นที่สถานีรถบัส (แทนที่จะเลือกรถบัส) เรากำลังทำการสุ่มข้ามเวลาโดยพูดตามตารางเวลารถบัสในเช้าวันธรรมดา เวลาที่เราตัดสินใจที่จะแสดงที่สถานีรถโดยสารอาจกระจายอย่างสม่ำเสมอใน "ลูกศร" ของเวลา อย่างไรก็ตามเนื่องจากมีช่องว่างนานขึ้นระหว่างรถเมล์กระจายห่างกันมากขึ้นเราจึงมีแนวโน้มที่จะจบลงด้วยการพลัดหลง "คนหลงทาง" เหล่านี้:

... และด้วยเหตุนี้สมุดบันทึกเวลารอคอยของเราจะไม่สะท้อนเวลาระหว่างการมาถึง นี่คือการตรวจสอบความขัดแย้ง

$15'$ $\theta=15$

$\small \mathbb E[\text{time waiting (future) + time to last bus departure (past)}]=30$

ยังไม่ชัดเจนใช่ไหม - ลองกับLegos

— Antoni Parellada
แหล่งที่มา

ไดอะแกรมที่ยอดเยี่ยม

— Glen_b

2

มีคำอธิบายง่ายๆที่แก้ไขคำตอบต่าง ๆ ที่ได้จากการคำนวณเวลารอที่คาดไว้สำหรับรถที่มาถึงกระบวนการปัวซงด้วยเวลาเฉลี่ยระหว่างเวลาที่กำหนด (ในกรณีนี้ 15 นาที) ซึ่งเวลา interarrival เป็น iid เลขชี้กำลังด้วยค่าเฉลี่ย 15 นาที .

วิธีที่ 1 ) เนื่องจากกระบวนการปัวซอง (เอ็กซ์โปเนนเชียล) ไม่มีหน่วยความจำเวลารอที่คาดไว้คือ 15 นาที

วิธีที่ 2 ) คุณมีแนวโน้มที่จะมาถึงอย่างเท่าเทียมกันในเวลาใดก็ได้ในช่วงเวลาระหว่างที่คุณเดินทางมาถึง ดังนั้นเวลารอที่คาดหวังคือ 1/2 ของความยาวที่คาดหวังของช่วงเวลาระหว่างการเดินทางครั้งนี้ สิ่งนี้ถูกต้องและไม่ขัดแย้งกับวิธีการ (1)

ทั้งสองวิธีสามารถ (1) และ (2) ถูกต้องได้อย่างไร คำตอบก็คือความยาวที่คาดหวังของช่วงเวลา interarrival สำหรับเวลาที่คุณมาถึงไม่ใช่ 15 นาที เป็นจริง 30 นาที และ 1/2 ของ 30 นาทีคือ 15 นาทีดังนั้น (1) และ (2) เห็นด้วย

ทำไมช่วงเวลาระหว่างการเดินทางถึงเวลาที่คุณมาถึงไม่เท่ากับ 15 นาที? มันเป็นเพราะในช่วงแรกที่ "มาถึง" เวลาที่จะมาถึงนั้นจะมีความเป็นไปได้มากกว่าโดยเฉลี่ยที่จะเป็นช่วงเวลาที่ยาวนาน ในกรณีของช่วงเวลาระหว่างการอธิบายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลการทำงานของคณิตศาสตร์จะช้าลงดังนั้นช่วงเวลาระหว่างการทดสอบที่มีเวลาที่คุณมาถึงจะเป็นเลขยกกำลังที่มีเวลาเฉลี่ยสองเท่าของกระบวนการปัวซอง

ไม่ชัดเจนว่าการแจกแจงที่แน่นอนสำหรับช่วงเวลาที่มีเวลาที่คุณมาถึงจะเป็นเลขชี้กำลังที่มีค่าเฉลี่ยสองเท่า แต่ชัดเจนหลังจากอธิบายแล้วทำไมมันจึงเพิ่มขึ้น เป็นตัวอย่างที่เข้าใจง่ายสมมติว่าเวลาระหว่างการเดินทางคือ 10 นาทีด้วยความน่าจะเป็น 1/2 หรือ 20 นาทีโดยมีความน่าจะเป็น 1/2 ในกรณีนี้ระยะเวลาระหว่างการเดินทางนาน 20 นาทีมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นเท่ากันเท่ากับช่วงเวลาการเดินทางข้ามอวกาศนาน 10 นาที แต่เมื่อเกิดขึ้นจะมีระยะเวลาสองเท่านาน ดังนั้น 2/3 ของคะแนนเวลาในระหว่างวันจะเป็นบางช่วงเวลาซึ่งช่วงเวลาระหว่างวันคือ 20 นาที อีกวิธีหนึ่งถ้าเราเลือกเวลาก่อนแล้วต้องการทราบว่าเวลา interarrival ที่มีเวลานั้นคืออะไร (ละเว้นผลชั่วคราวในตอนต้นของ "วัน" ) ความยาวที่คาดหวังของเวลาระหว่างการเดินทางนั้นคือ 16 1/3 แต่ถ้าเราเลือกเวลาระหว่างการเดินทางครั้งแรกและต้องการทราบว่าความยาวที่คาดไว้คือเท่าไหร่มันคือ 15 นาที

มีตัวแปรอื่น ๆ ของความขัดแย้งต่ออายุการสุ่มตัวอย่างแบบมีความยาวลำเอียง ฯลฯ ซึ่งมีจำนวนเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1) คุณมีหลอดไฟจำนวนมากพร้อมอายุการใช้งานแบบสุ่ม แต่เฉลี่ย 1,000 ชั่วโมง เมื่อหลอดไฟล้มเหลวหลอดไฟอื่นจะถูกแทนที่ทันที หากคุณเลือกเวลาที่จะไปในห้องที่มีหลอดไฟหลอดไฟจะทำงานซึ่งจะทำให้อายุการใช้งานยาวนานขึ้นกว่า 1,000 ชั่วโมง

ตัวอย่างที่ 2) ถ้าเราไปที่สถานที่ก่อสร้างตามเวลาที่กำหนดเวลาเฉลี่ยจนกว่าคนงานก่อสร้างที่ทำงานที่นั่นในเวลานั้นจะตกจากอาคาร (ตั้งแต่เมื่อพวกเขาเริ่มทำงานครั้งแรก) มากกว่าเวลาเฉลี่ยจนกระทั่งคนงาน ตกจาก (เมื่อพวกเขาเริ่มทำงานครั้งแรก) จากบรรดาคนงานทั้งหมดที่เริ่มทำงาน ทำไมเพราะคนงานที่มีเวลาสั้น ๆ จนกระทั่งหลุดออกมามีโอกาสมากกว่าที่จะตกต่ำกว่าคนทั่วไป (และไม่ได้ทำงานต่อไป) เพื่อให้คนงานที่ทำงานนั้นมีเวลานานกว่าค่าเฉลี่ยจนกระทั่งตกลงมา

ตัวอย่างที่ 3) เลือกผู้คนจำนวนเล็กน้อยโดยการสุ่มในเมืองและถ้าพวกเขาเข้าร่วมเกมในบ้าน จากนั้น (ภายใต้ข้อสันนิษฐานที่ค่อนข้างเงียบสงบ แต่ไม่สมเหตุสมผลเกินไป) การเข้าร่วมโดยเฉลี่ยสำหรับเกมเหล่านั้นจะสูงกว่าการเข้าร่วมโดยเฉลี่ยสำหรับเกมในบ้านทั้งหมดของทีม ทำไม? เนื่องจากมีผู้เข้าร่วมเกมที่มีผู้เข้าร่วมสูงกว่าเกมที่มีผู้เข้าร่วมต่ำดังนั้นคุณมีแนวโน้มที่จะเลือกผู้ที่เข้าร่วมเกมที่มีผู้เข้าร่วมสูงกว่าเกมที่มีผู้เข้าร่วมต่ำ

— หินมาร์คแอล
แหล่งที่มา

0

คำถามที่ถูกวางคือ "... รถบัสมาถึงที่ป้ายรถเมล์ทุก ๆ 15 นาทีและผู้โดยสารมาถึงโดยการสุ่ม" หากรถบัสมาถึงทุก ๆ 15 นาทีก็จะไม่สุ่ม มันมาถึงทุก ๆ 15 นาทีดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 7.5 นาที อาจมีการอ้างแหล่งที่มาอย่างไม่ถูกต้องหรือผู้เขียนของแหล่งข้อมูลนั้นไม่เป็นระเบียบ

ในทางกลับกันเครื่องตรวจจับรังสีดูเหมือนจะเป็นปัญหาที่แตกต่างกันเนื่องจากเหตุการณ์การแผ่รังสีมาถึงการสุ่มตามการกระจายบางอย่างสันนิษฐานว่าบางสิ่งบางอย่างเช่นปัวซองที่มีเวลารอเฉลี่ย

— เอมิลฟรีดแมน
แหล่งที่มา