ตัวประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังขั้นต่ำ

ฉันติดอยู่กับวิธีการแก้ไขปัญหานี้

ดังนั้นเรามีสองลำดับของตัวแปรสุ่มและสำหรับ . ตอนนี้และมีการกระจายชี้แจงอิสระที่มีพารามิเตอร์และμแต่แทนที่จะสังเกตและ , เราสังเกตแทนและW $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

และถ้าและ 0 ถ้าฉันฉันต้องไปหารูปแบบปิดสำหรับประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของและบนพื้นฐานของและWนอกจากนี้เราต้องแสดงให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้เป็น maxima ระดับโลก $Z=\min(X_i,Y_i)$ $W=1$ $Z_i=X_i$ $Z_i=Y_i$ $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

ตอนนี้ฉันรู้ว่าอย่างน้อยสอง exponentials อิสระเป็นตัวเองชี้แจงกับอัตราเท่ากับผลรวมของอัตราเพื่อให้เรารู้ว่าคือการชี้แจงกับพารามิเตอร์ μ Z $Z$ $\lambda+\mu$ $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$

แต่ฉันติดอยู่กับที่ที่จะไปจากที่นี่ ฉันรู้ว่าคือการกระจาย Bernoulli ด้วยพารามิเตอร์แต่ฉันไม่รู้ว่าจะแปลงเรื่องนี้เป็นคำแถลงเกี่ยวกับหนึ่งในพารามิเตอร์ได้อย่างไร ตัวอย่างเช่นสิ่ง MLE จะจะประเมินในแง่ของและ / หรือ ? ฉันเข้าใจว่าถ้าดังนั้นแต่ฉันมีเวลายากที่จะหาวิธีที่จะเกิดขึ้นกับคำสั่งเกี่ยวกับพีชคณิตใด ๆ ที่นี่ $W$ $p=P(Z_i=X_i)$ $\bar{W}$ $\lambda$ $\mu$ $Z_i=X_i$ $\mu=0$

UPDATE 1: ดังนั้นฉันจึงได้รับการบอกกล่าวในความคิดเห็นเพื่อให้ได้รับโอกาสในการกระจายและร่วมกัน $Z$ $W$

ดังนั้นที่ )แก้ไข? ฉันไม่รู้ว่าจะได้รับการแจกแจงแบบร่วมในกรณีนี้อย่างไรเนื่องจากและไม่อิสระ $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

นี่ทำให้เรา, , โดยนิยามของด้านบน แต่ตอนนี้อะไร สิ่งนี้ไม่ได้รับฉันทุกที่ ถ้าฉันทำตามขั้นตอนในการคำนวณความน่าจะเป็นฉันจะได้รับ: (ใช้และเป็นขนาดตัวอย่างสำหรับแต่ละส่วนของส่วนผสม ... ) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

ถ้าผมใช้อนุพันธ์นี้บอกฉันว่าฉัน MLE ประมาณการสำหรับและเป็นเพียงค่าเฉลี่ยของ 's เงื่อนไขในWนั่นคือ, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

และ

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— Ryan Simmons
แหล่งที่มา

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

ฉันได้อ่านหัวข้ออื่น whuber แต่ฉันไม่เข้าใจวิธีการที่นำไปใช้กับตัวอย่างนี้ Z และ W ไม่เป็นอิสระดังนั้นฉันจะหาการกระจายตัวของข้อต่อได้อย่างไร

— Ryan Simmons

ฉันไม่มีคะแนนพอที่จะแสดงความคิดเห็นดังนั้นฉันจะเขียนที่นี่ ฉันคิดว่าปัญหาที่คุณโพสต์สามารถดูได้จากมุมมองการวิเคราะห์การอยู่รอดถ้าคุณพิจารณาต่อไปนี้:

$X_i$

$Y_i$

$X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

หากคุณคุ้นเคยกับการวิเคราะห์การอยู่รอดฉันเชื่อว่าคุณสามารถเริ่มต้นจากจุดนี้

หมายเหตุ: แหล่งข้อมูลที่ดี: การวิเคราะห์ข้อมูลการอยู่รอดโดย DRCox และ D.Oakes

$f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

$u$ $c$

$f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

$\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ $d$ $W_i=1$

— jujae
แหล่งที่มา