หมายความว่าค่ามัธยฐานหมายถึงการกระจายตัวแบบ unimodal นั้นสมมาตรหรือไม่?

สำหรับการแจกแจงแบบ unimodal ถ้าค่าเฉลี่ย = ค่ามัธยฐานมันก็เพียงพอแล้วหรือไม่ที่จะบอกว่าการกระจายนั้นสมมาตร

Wikipedia กล่าวในความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐาน:

"ถ้าการกระจายแบบสมมาตรค่าเฉลี่ยเท่ากับค่ามัธยฐานและการแจกแจงจะไม่มีความเบ้ถ้านอกจากนี้การกระจายนั้นเป็นแบบ unimodal ดังนั้นโหมดเฉลี่ย = มัธยฐานนี่คือกรณีของการโยนเหรียญหรือ ซีรีส์ 1,2,3,4, ... โปรดทราบว่าการสนทนาไม่เป็นความจริงโดยทั่วไปนั่นคือความเบ้ศูนย์ไม่ได้หมายความว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับค่ามัธยฐาน "

อย่างไรก็ตามมันไม่ได้ตรงไปตรงมา (กับฉัน) เพื่อรวบรวมข้อมูลที่ฉันต้องการ ความช่วยเหลือใด ๆ โปรด

นี่คือตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ไม่สมมาตร: -3, -2, 0, 0, 1, 4 คือ unimodal ด้วย mode = median = mean = 0

แก้ไข: ตัวอย่างที่เล็กลงคือ -2, -1, 0, 0, 3

หากคุณต้องการจินตนาการตัวแปรสุ่มแทนที่จะเป็นตัวอย่างให้รับการสนับสนุนเป็น {-2, -1, 0, 3} โดยมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นมวล 0.2 สำหรับพวกเขาทั้งหมดยกเว้น 0 ที่เป็น 0.4

สิ่งนี้เริ่มเป็นความเห็น แต่ยาวเกินไป ฉันตัดสินใจที่จะทำให้มันเป็นคำตอบที่มากขึ้น

${A\implies B}$$B\implies A$

ฉันต้องการที่จะจัดการกับปัญหาเพิ่มเติมบางอย่างและชี้ให้เห็นคำตอบที่กว้างขวางแล้วที่นี่ซึ่งเกี่ยวข้องกับบางส่วน

1. ข้อความในหน้า Wikipedia ที่คุณอ้างถึงนั้นไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่นลองพิจารณาการกระจายของ Cauchy ซึ่งค่อนข้างสมมาตรเกี่ยวกับค่ามัธยฐานของมัน แต่ไม่มีค่าเฉลี่ย คำสั่งต้องมีคุณสมบัติเช่น 'ระบุค่าเฉลี่ยและความเบ้' แม้ว่าเราจะลดคำแถลงที่อ่อนแอลงในครึ่งแรกของประโยคแรก แต่ก็ยังต้องการ "โดยมีค่าเฉลี่ยอยู่"

2. คำถามของคุณบางส่วนทำให้สมมาตรเป็นศูนย์โดยไม่เบ้ (ฉันคิดว่าคุณตั้งใจจะให้ความเบ้เป็นวินาทีที่สาม แต่สามารถเขียนการสนทนาที่คล้ายกันสำหรับมาตรการความเบ้อื่น ๆ ) การมีความเบ้ 0 ไม่ได้แปลว่าสมมาตร ส่วนภายหลังของคำพูดของคุณและส่วนจาก Wikipedia ที่อ้างถึงโดย Alexis พูดถึงสิ่งนี้แม้ว่าคำอธิบายที่ให้ไว้ในคำพูดที่สองอาจใช้ tweaking บ้าง

คำตอบนี้แสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่างความเบ้ของโมเมนต์ที่สามและทิศทางของความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยและมัธยฐานนั้นอ่อน

รายการที่ 1. คำตอบนี้ให้ตัวอย่างที่ไม่ต่อเนื่องคล้ายกัน แต่แตกต่างจาก Silverfish

แก้ไข: ในที่สุดฉันก็ขุดตัวอย่าง unimodal ที่ฉันกำลังมองหาก่อนหน้านี้

ในคำตอบนี้ฉันพูดถึงครอบครัวต่อไปนี้:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

$\alpha=0$$\alpha=\frac{_1}{^2}$

(เส้นสีเทาแสดงความหนาแน่นของสีฟ้าพลิกเกี่ยวกับแกน x เพื่อทำให้ความไม่สมดุลของพื้นราบ)

Whuber ให้อีกตัวอย่างหนึ่งที่นี่โดยไม่มีการเบ้อย่างต่อเนื่องแบบ unimodal และ asymmetric ฉันทำซ้ำแผนภาพของเขา:

ซึ่งแสดงตัวอย่างและพลิกเหมือนกันเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย (เพื่อแสดงความไม่สมมาตรอย่างชัดเจน) แต่คุณควรไปอ่านต้นฉบับซึ่งมีข้อมูลที่เป็นประโยชน์มากมาย

[คำตอบของ Whuber ที่นี่ให้การแจกแจงแบบต่อเนื่องแบบไม่สมมาตรกับช่วงเวลาเดียวกันทั้งหมด ทำแบบเดียวกัน "เลือกสองพลิกหนึ่งและใช้ส่วนผสม 50-50" มีผลลัพธ์แบบไม่สมมาตรกับช่วงเวลาแปลก ๆ ที่เป็นศูนย์ แต่ฉันคิดว่ามันไม่ได้ให้ผลลัพธ์แบบเดียวที่นี่ (แม้ว่าอาจมีบางตัวอย่าง) ]

คำตอบที่นี่อธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยมัธยฐานและโหมด

คำตอบนี้กล่าวถึงการทดสอบสมมติฐานของสมมาตร

เลขที่

หากนอกจากนี้การกระจายคือ unimodal ดังนั้นโหมด mean = median =

ในทำนองเดียวกันว่า "ถ้าสัตว์ทารกเป็นไก่แล้วต้นกำเนิดของมันคือไข่" ไม่ได้หมายความว่า "ถ้าต้นกำเนิดเป็นไข่สัตว์ทารกนั้นก็เป็นไก่"

จากบทความ Wikipedia เดียวกัน:

ในกรณีที่หางหนึ่งยาว แต่หางอีกข้างมีไขมันความเบ้ไม่ได้ปฏิบัติตามกฎง่ายๆ ยกตัวอย่างเช่นศูนย์ตามตัวบ่งชี้ว่าหางทั้งสองข้างของค่าเฉลี่ยที่สมดุลซึ่งเป็นทั้งสองกรณีสำหรับการแจกแจงแบบสมมาตรและการกระจายแบบไม่สมมาตรที่ความไม่สมมาตรที่ออกมาเช่นหางหนึ่งยาว แต่ผอมและ อื่น ๆ สั้น แต่อ้วน

ตัวอย่างที่น่าสนใจและเข้าใจง่ายมาจากการแจกแจงทวินาม

$\times$$=$

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

รหัส Stata สำหรับการแสดงผลนี้mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'และสันนิษฐานว่ามันเป็นเรื่องง่ายหรือเรียบง่ายในซอฟต์แวร์ทางสถิติใด ๆ ที่มีมูลค่าการกล่าวขวัญ

ในฐานะที่เป็นเรื่องของจิตวิทยามากกว่าตรรกะตัวอย่างนี้ไม่สามารถถูกไล่ออกเพราะเป็นพยาธิวิทยา (ในปัญหาอื่น ๆ เราอาจลดการแจกแจงที่บางช่วงเวลาไม่ได้มีอยู่) หรือเป็นตัวอย่างที่แปลกประหลาดหรือไม่สำคัญที่ถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อจุดประสงค์ ตัวอย่างเช่นข้อมูลที่คิดค้นโดย @Silverfish หรือ 0, 0, 1, 1, 1, 3)