ทำไมราคาหุ้นถึงเป็นปกติ แต่ผลตอบแทนของหุ้นเป็นปกติ

ยกเว้นความจริงที่ว่าผลตอบแทนอาจเป็นลบในขณะที่ราคาจะต้องเป็นค่าบวกมีเหตุผลอื่นใดที่อยู่เบื้องหลังการสร้างแบบจำลองราคาหุ้นเป็นการกระจายบันทึกปกติ แต่การสร้างแบบจำลองผลตอบแทนหุ้นเป็นการกระจายแบบปกติ

บางจุดเริ่มต้นด้วย:

i) อนุสัญญาการจัดจำหน่ายเหล่านี้ใกล้เคียงที่สุด มันอาจเป็นแบบจำลองที่สะดวก แต่เราไม่ควรสับสนกับการกระจายของราคาหุ้นหรือผลตอบแทนจริง

ii) ราคาหุ้นมักจะเพิ่มขึ้น (แต่ไม่ว่าในกรณีใดก็ตามมีการเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ย; ค่าเฉลี่ยไม่เสถียร) ดังนั้นเมื่อเราพูดถึงการกระจายของราคาหุ้นเรามักจะไม่อ้างอิงการกระจายตัวของพวกเขา แต่เป็นการกระจายตามเงื่อนไข ดังนั้นเราจึงมักจะมีแนวโน้มที่จะสิ่งที่มีค่าเฉลี่ยมากขึ้นเช่นจะอยู่ที่ประมาณ lognormal กับการเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยกับที (เฉพาะเงื่อนไข lognormal, เงื่อนไขในค่าก่อนหน้านี้บางอย่างและเวลาที่ผ่านไป) ความแปรปรวนก็สามารถเปลี่ยนแปลงได้ซึ่งในกรณีนี้ทั้งค่าเฉลี่ยและเงื่อนไขความแปรปรวนของค่าและเวลาก่อนหน้านี้บางส่วน ตัวอย่างเช่นโดย "ราคาหุ้นประมาณ lognormal" เราอาจหมายถึง y t / y t $y_t$$t$หรือเทียบเท่า y $y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

iii) หมายเหตุว่าสำหรับขนาดเล็ก , เข้าสู่ระบบ( 1 + x ) ≈ x$x$$\log(1+x)\approx x$

สำหรับผลตอบแทนระยะสั้นเช่นผลตอบแทนรายวันโดยทั่วไป$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

That is, the return is approximately the change in log stock price (try it with real stock prices and see they're almost identical).

So if

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

which implies

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

then

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$