สูตรการโยนลูกเต๋า

ก่อนอื่นฉันไม่แน่ใจว่าควรโพสต์คำถามนี้ที่ไหน ฉันถามว่าปัญหาสถิติเป็นปัญหาที่สมบูรณ์หรือไม่ ฉันโพสต์ไว้ที่นี่เพราะปัญหาสถิติคือจุดศูนย์กลาง

ฉันพยายามหาสูตรที่ดีกว่าสำหรับการแก้ปัญหา ปัญหาคือ: ถ้าฉันมี 4d6 (4 ลูกเต๋า 6 ด้านธรรมดา 6) และหมุนทั้งหมดในครั้งเดียวให้ลบตายด้วยจำนวนต่ำสุด (เรียกว่า "วาง") จากนั้นรวม 3 ที่เหลือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละข้อ ? ฉันรู้คำตอบคือ:

Sum (Frequency): Probability
3   (1):         0.0007716049
4   (4):         0.0030864198
5   (10):        0.0077160494
6   (21):        0.0162037037
7   (38):        0.0293209877
8   (62):        0.0478395062
9   (91):        0.0702160494
10  (122):       0.0941358025
11  (148):       0.1141975309
12  (167):       0.1288580247
13  (172):       0.1327160494
14  (160):       0.1234567901
15  (131):       0.1010802469
16  (94):        0.0725308642
17  (54):        0.0416666667
18  (21):        0.0162037037

ค่าเฉลี่ยคือ 12.24 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 2.847

ฉันพบคำตอบข้างต้นด้วยกำลังดุร้ายและไม่รู้ว่ามีสูตรอย่างไร ฉันสงสัยว่าปัญหานี้คือ NP-Complete ดังนั้นจึงสามารถแก้ไขได้โดยการใช้กำลังดุร้ายเท่านั้น อาจเป็นไปได้ที่จะได้รับความน่าจะเป็นทั้งหมดของ 3d6 (3 ลูกเต๋า 6 ด้านปกติ) จากนั้นเอียงแต่ละอันขึ้นไป นี่จะเร็วกว่าแรงเดรัจฉานเพราะฉันมีสูตรที่รวดเร็วเมื่อลูกเต๋าทั้งหมดถูกเก็บไว้

ฉันตั้งโปรแกรมสูตรเพื่อรักษาลูกเต๋าทั้งหมดในวิทยาลัย ฉันถามอาจารย์สถิติของฉันเกี่ยวกับเรื่องนี้และเขาพบหน้านี้ซึ่งเขาอธิบายให้ฉัน มีความแตกต่างของประสิทธิภาพการทำงานอย่างมากระหว่างสูตรนี้และแรงเดรัจฉาน: 50d6 ใช้เวลา 20 วินาที แต่ 8d6 ลดการขัดข้องต่ำสุดหลังจาก 40 วินาที (โครมมีหน่วยความจำไม่เพียงพอ)

ปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-Complete หรือไม่ ถ้าใช่โปรดแสดงหลักฐานถ้าไม่โปรดระบุสูตรแรงที่ไม่ดุร้ายเพื่อแก้ปัญหา

โปรดทราบว่าฉันไม่ค่อยรู้เรื่อง NP-Complete มากนักดังนั้นฉันอาจคิดถึง NP, NP-Hard หรืออย่างอื่น การพิสูจน์ความสมบูรณ์แบบของ NP นั้นไม่มีประโยชน์อะไรสำหรับฉันเหตุผลเดียวที่ฉันขอมันคือการป้องกันไม่ให้คนเดา และโปรดเปลือยกับฉันเพราะมันใช้เวลานานมากตั้งแต่ฉันทำสิ่งนี้: ฉันจำสถิติไม่ได้และฉันอาจต้องแก้ปัญหานี้

เป็นการดีที่ฉันกำลังมองหาสูตรทั่วไปมากขึ้นสำหรับจำนวน X ของลูกเต๋าที่มีด้าน Y เมื่อ N ของพวกเขาลดลง แต่เริ่มต้นด้วยสิ่งที่ง่ายกว่า

แก้ไข:

ฉันยังต้องการสูตรเพื่อความถี่ออก แต่เป็นที่ยอมรับได้เฉพาะความน่าจะเป็นผลลัพธ์

สำหรับผู้ที่สนใจฉันได้ตั้งโปรแกรมคำตอบของ whuber ใน JavaScript บนGitHub ของฉัน (ในการทำเช่นนี้เป็นการทดสอบเท่านั้นที่ใช้ฟังก์ชันที่กำหนดไว้)

dice np

— SkySpiral7
แหล่งที่มา

นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจ ฉันคิดว่ามันควรจะอยู่ในหัวข้อที่นี่ ขอขอบคุณสำหรับการพิจารณาของคุณ.

— gung - Reinstate Monica

แม้ว่าการตั้งค่าจะน่าสนใจ แต่คุณยังไม่ได้ถามคำถามที่ตอบได้: ความคิดเรื่องความสมบูรณ์แบบของ NP ขึ้นอยู่กับการมีปัญหาหลายระดับในขณะที่คุณอธิบายเพียงหนึ่งคำถามเท่านั้น คุณต้องการให้มันพูดคุยกันโดยทั่วไปอย่างไร แม้ว่าคุณจะบอกใบ้ว่าจำนวนของลูกเต๋าอาจแตกต่างกันไป แต่ตัวเลือกเพิ่มเติมต่าง ๆ นั้นเป็นไปได้และพวกเขาอาจให้คำตอบที่แตกต่างกัน: คุณสามารถเปลี่ยนจำนวนของใบหน้า, ค่าบนใบหน้า, จำนวนของลูกเต๋าและจำนวนของลูกเต๋าที่ถูกทิ้งทั้งหมด ในรูปแบบต่างๆที่มีความสัมพันธ์ที่หลากหลายในหมู่พวกเขา

— whuber

@whuber เธอไม่ทราบทฤษฎีความซับซ้อนใด ๆ แต่ฉันคิดว่ามันชัดเจนว่าเธอกำลังถามครอบครัวของปัญหาที่เกิดขึ้นจากการเปลี่ยนจำนวนของลูกเต๋า ฉันคิดว่าฉันมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับมัน

— Andy Jones

@ ฉันเห็นว่าในตอนท้ายเธอจะขอ "สูตรสามัญจำนวนมากขึ้นสำหรับจำนวน X ของลูกเต๋าที่มีด้าน Y เมื่อ N ของพวกเขาถูกทิ้ง"

— whuber

@whuber ฮะ! เห็นได้ชัดว่าไม่ชัดเจนอย่างที่ฉันคิดตอนนั้น ขอโทษฉันไม่ดี

— Andy Jones

คำตอบ:

วิธีการแก้

ให้มีลูกเต๋าแต่ละให้โอกาสเท่าเทียมกันเพื่อผลที่ 6ให้เป็นค่าต่ำสุดเมื่อโยนลูกเต๋าทั้งหมดโดยอิสระ $n=4$ $1, 2, \ldots, d=6$ $K$ $n$

พิจารณาการกระจายของผลรวมของทั้งหมดค่าเงื่อนไขในKให้เป็นผลรวมนี้ ฟังก์ชั่นการสร้างสำหรับจำนวนวิธีในการสร้างค่าใด ๆ ของโดยที่ค่าต่ำสุดคือเป็นอย่างน้อย $n$ $K$ $X$ $X$ $k$

\begin{matrix} (1) & f_{(n, d, k)} (x) = x^{k} + x^{k + 1} + \dots + x^{d} = x^{k} \frac{1 - x^{d - k + 1}}{1 - x} . \end{matrix}

$f_{(n,d,k)}(x) = x^k+x^{k+1} + \cdots + x^d = x^k\frac{1-x^{d-k+1}}{1-x}.\tag{1}$

เนื่องจากลูกเต๋ามีความเป็นอิสระฟังก์ชันการสร้างสำหรับจำนวนวิธีในการสร้างค่าของโดยที่ลูกเต๋าทั้งหมดแสดงค่าของหรือมากกว่านั้นคือ $X$ $n$ $k$

\begin{matrix} (2) & f_{(n, d, k)} (x)^{n} = x^{k n} {(\frac{1 - x^{d - k + 1}}{1 - x})}^{n} . \end{matrix}

$f_{(n,d,k)}(x)^n = x^{kn}\left(\frac{1-x^{d-k+1}}{1-x}\right)^n.\tag{2}$

ฟังก์ชั่นการสร้างนี้รวมคำศัพท์สำหรับเหตุการณ์ที่เกินดังนั้นเราต้องลบออก ดังนั้นฟังก์ชั่นการสร้างสำหรับจำนวนวิธีในการสร้างค่าของกำหนดคือ $K$ $k$ $X$ $K=k$

\begin{matrix} (3) & f_{(n, d, k)} (x)^{n} - f_{(n, d, k + 1)} (x)^{n} . \end{matrix}

$f_{(n,d,k)}(x)^n - f_{(n,d,k+1)}(x)^n.\tag{3}$

สังเกตว่าผลรวมของค่าสูงสุดคือผลรวมของค่าทั้งหมดลบที่เล็กที่สุดเท่ากับXKฟังก์ชั่นการสร้างจึงต้องมีการแบ่งตามkมันจะกลายเป็นฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็นเมื่อคูณด้วยโอกาสร่วมกันของการรวมกันของลูกเต๋า : $n-1$ $X-K$ $k$ $(1/d)^n$

\begin{matrix} (4) & d^{- n} \sum_{k = 1}^{d} x^{- k} (f_{(n, d, k)} (x)^{n} - f_{(n, d, k + 1)} (x)^{n}) . \end{matrix}

$d^{-n}\sum_{k=1}^dx^{-k}\left(f_{(n,d,k)}(x)^n - f_{(n,d,k+1)}(x)^n\right).\tag{4}$

เนื่องจากผลิตภัณฑ์พหุนามและกำลังทั้งหมดสามารถคำนวณได้ในการดำเนินงาน (พวกเขาเป็น convolutions และดังนั้นจึงสามารถดำเนินการได้ด้วยการแปลงฟูริเยร์ที่ไม่ต่อเนื่อง) ความพยายามในการคำนวณทั้งหมดคือn) โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นอัลกอริทึมเวลาพหุนาม $O(n\log n)$ $O(k\,n\log n)$

ตัวอย่าง

งาน Let 's ผ่านตัวอย่างในคำถามกับและ 6 $n=4$ $d=6$

สูตรสำหรับ PGF ของเงื่อนไขบนให้ $(1)$ $X$ $K\ge k$

\begin{aligned} f_{(4, 6, 1)} (x) & = x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6} \\ f_{(4, 6, 2)} (x) & = x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6} \\ \dots \\ f_{(4, 6, 5)} (x) & = x^{5} + x^{6} \\ f_{(4, 6, 6)} (x) & = x^{6} \\ f_{(4, 6, 7)} (x) & = 0. \end{aligned}

$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x) &= x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ f_{(4,6,2)}(x) &= x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x) &= x^5+x^6 \\ f_{(4,6,6)}(x) &= x^6 \\ f_{(4,6,7)}(x) &= 0. }$

เพิ่มไปยังเป็นพลังงานในสูตรผลิต $n=4$ $(2)$

\begin{aligned} f_{(4, 6, 1)} (x)^{4} & = x^{4} + 4 x^{5} + 10 x^{6} + \dots + 4 x^{23} + x^{24} \\ f_{(4, 6, 2)} (x)^{4} & = x^{8} + 4 x^{9} + 10 x^{10} + \dots + 4 x^{23} + x^{24} \\ \dots \\ f_{(4, 6, 5)} (x)^{4} & = x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4 x^{23} + x^{24} \\ f_{(4, 6, 6)} (x)^{4} & = x^{24} \\ f_{(4, 6, 7)} (x)^{4} & = 0 \end{aligned}

$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x)^4 &= x^4 + 4x^5 + 10 x^6 + \cdots + 4x^{23} + x^{24} \\ f_{(4,6,2)}(x)^4 &= x^8 + 4x^9 + 10x^{10}+ \cdots + 4x^{23} + x^{24} \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x)^4 &=x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4x^{23} +x^{24}\\ f_{(4,6,6)}(x)^4 &= x^{24}\\ f_{(4,6,7)}(x)^4 &= 0 }$

ความแตกต่างอย่างต่อเนื่องของพวกเขาในสูตรคือ $(3)$

\begin{aligned} f_{(4, 6, 1)} (x)^{4} - f_{(4, 6, 2)} (x)^{4} & = x^{4} + 4 x^{5} + 10 x^{6} + \dots + 12 x^{18} + 4 x^{19} \\ f_{(4, 6, 2)} (x)^{4} - f_{(4, 6, 3)} (x)^{4} & = x^{8} + 4 x^{9} + 10 x^{10} + \dots + 4 x^{20} \\ \dots \\ f_{(4, 6, 5)} (x)^{4} - f_{(4, 6, 6)} (x)^{4} & = x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4 x^{23} \\ f_{(4, 6, 6)} (x)^{4} - f_{(4, 6, 7)} (x)^{4} & = x^{24} . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x)^4 - f_{(4,6,2)}(x)^4 &= x^4 + 4x^5 + 10 x^6 + \cdots + 12 x^{18} + 4x^{19} \\ f_{(4,6,2)}(x)^4 - f_{(4,6,3)}(x)^4 &= x^8 + 4x^9 + 10x^{10} + \cdots + 4 x^{20} \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x)^4 - f_{(4,6,6)}(x)^4 &=x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4x^{23} \\ f_{(4,6,6)}(x)^4 - f_{(4,6,7)}(x)^4 &= x^{24}. }$

ผลรวมในสูตรคือ $(4)$

6^{- 4} (x^{3} + 4 x^{4} + 10 x^{5} + 21 x^{6} + 38 x^{7} + 62 x^{8} + 91 x^{9} + 122 x^{10} + 148 x^{11} + 167 x^{12} + 172 x^{13} + 160 x^{14} + 131 x^{15} + 94 x^{16} + 54 x^{17} + 21 x^{18}) .

$6^{-4}\left(x^3 + 4x^4 + 10x^5 + 21x^6 + 38x^7 + 62x^8 + 91x^9 + 122x^{10} + 148x^{11} + \\167x^{12} + 172x^{13} + 160x^{14} + 131x^{15} + 94x^{16} + 54x^{17} + 21x^{18}\right).$

ตัวอย่างเช่นโอกาสที่ลูกเต๋าสามอันดับแรกรวมค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ $14$ $x^{14}$

6^{- 4} \times 160 = 10 / 81 = 0.123 456 790 123 456 \dots .

$6^{-4}\times 160 = 10/81 = 0.123\,456\,790\,123\,456\,\ldots.$

มันเป็นข้อตกลงที่สมบูรณ์แบบกับความน่าจะเป็นที่ยกมาในคำถาม

โดยวิธีการที่ค่าเฉลี่ย (คำนวณจากผลนี้) เป็นและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ2.8468444 $15869/1296 \approx 12.244598765\ldots$ $\sqrt{13\,612\,487/1\,679\,616}\approx 2.8468444$

การคำนวณที่คล้ายกัน (ไม่เพิ่มประสิทธิภาพ) สำหรับลูกเต๋าแทนที่จะเป็นใช้เวลาน้อยกว่าครึ่งวินาทีสนับสนุนการโต้แย้งว่านี่ไม่ใช่อัลกอริธึมที่ต้องการการคำนวณ นี่คือพล็อตของส่วนหลักของการกระจาย: $n=400$ $n=4$

เนื่องจากต่ำสุดมีแนวโน้มสูงที่จะเท่ากับและผลรวมจะใกล้เคียงอย่างยิ่งกับการกระจายแบบปกติ (ซึ่งหมายถึงและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานอยู่ที่ประมาณ ) ค่าเฉลี่ยต้องใกล้เคียงกับและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใกล้เคียงกับมาก นี่เป็นพล็อตเรื่องที่อธิบายอย่างชัดเจน ในความเป็นจริงการคำนวณที่แน่นอนให้ค่าเฉลี่ยประมาณมากกว่าและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณน้อยกว่า $K$ $1$ $X$ $(400\times 7/2, 400\times 35/12)$ $1400$ $34.1565$ $1400-1=1399$ $34.16$ $2.13\times 10^{-32}$ $1399$ $1.24\times 10^{-31}$ $\sqrt{400\times 35/12}$ 35/12}

— whuber
แหล่งที่มา

คำตอบของคุณรวดเร็วและถูกต้องดังนั้นฉันจึงทำเครื่องหมายว่าเป็นคำตอบ นอกจากนี้ในการแก้ไขฉันก็บอกว่ามันจะดีถ้ามีความถี่ถ้าเป็นไปได้ เพื่อที่คุณไม่จำเป็นต้องแก้ไขคำตอบของคุณเนื่องจากฉันเห็นว่า6^-4ตัวคูณใช้เพื่อแปลงจากความถี่เป็นความน่าจะเป็น

— SkySpiral7

แก้ไข: @SkySpiral มีปัญหาในการรับสูตรด้านล่างในการทำงาน ขณะนี้ฉันไม่มีเวลาที่จะทราบว่าปัญหาคืออะไรดังนั้นหากคุณกำลังอ่านสิ่งนี้สิ่งที่ดีที่สุดที่จะดำเนินการภายใต้ข้อสันนิษฐานนั้นไม่ถูกต้อง

ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับปัญหาทั่วไปที่มีจำนวนลูกเต๋าด้านข้างและดร็อปแตกต่างกัน แต่ฉันคิดว่าฉันสามารถเห็นอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับกรณีดร็อป 1 ผู้คัดเลือกคือฉันไม่แน่ใจว่าถูกต้อง แต่ตอนนี้ฉันไม่เห็นข้อบกพร่องใด ๆ

เริ่มกันเลยโดยไม่ทิ้งลูกเต๋าใด ๆ สมมติว่าหมายถึง TH ตายและคิดว่าแสดงให้เห็นถึงผลรวมของลูกเต๋า แล้วก็ $X_n$ $n$ $Y_n$ $n$

p (Y_{n} = a) = \sum_{k} p (Y_{n - 1} = a - k) p (X_{n} = k)

$p(Y_n = a) = \sum_k p(Y_{n-1} = a - k)p(X_n=k)$

ตอนนี้สมมติว่าคือผลรวมของลูกเต๋าเมื่อหนึ่งตายถูกทิ้ง แล้วก็ $Z_n$ $n$

p (Z_{n} = a) = p (n th die is the smallest) p (Y_{n - 1} = a) + p (n th die is not the smallest) \sum_{k} p (Z_{n - 1} = a - k) p (X_{n} = k)

$p(Z_n = a) = p(\text{$n$th die is the smallest})p(Y_{n-1} = a) + \\ p(\text{$n$th die is not the smallest})\sum_k p(Z_{n-1} = a - k)p(X_n=k)$

ถ้าเรานิยามว่าคือการกระจายตัวของจำนวนขั้นต่ำของตายแล้ว $M_n$ $n$

p (Z_{n} = a) = p (X_{n} \leq M_{n - 1}) p (Y_{n - 1} = a | X_{n} \leq M_{n - 1}) + p (X_{n} > M_{n - 1}) \sum_{k} p (Z_{n - 1} = a - k) p (X_{n} = k | X_{n} > M_{n - 1})

$p(Z_n = a) = p(X_n \leq M_{n-1})p(Y_{n-1} = a | X_n \leq M_{n-1}) + \\ p(X_n > M_{n-1})\sum_k p(Z_{n-1} = a - k)p(X_n=k | X_n > M_{n-1})$

และเราสามารถคำนวณโดยใช้ $M_n$

p (M_{n} = a) = p (X_{n} \leq M_{n - 1}) p (X_{n} = a | X_{n} \leq M_{n - 1}) + p (X_{n} > M_{n - 1}) p (M_{n - 1} = a | X_{n} > M_{n - 1})

$p(M_n = a) = p(X_n \leq M_{n-1})p(X_n = a |X_n \leq M_{n-1}) + p(X_n > M_{n-1})p(M_{n-1} = a|X_n > M_{n-1})$

อย่างไรก็ตามด้วยกันทั้งหมดนี้แสดงให้เห็นขั้นตอนวิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกตามและm_nควรจะเป็นกำลังสองในn $Y_n, Z_n$ $M_n$ $n$

แก้ไข: ความคิดเห็นที่ได้รับการยกเกี่ยวกับวิธีการคำนวณ{n-1}) เนื่องจากแต่ละคนสามารถรับหนึ่งในหกค่าเท่านั้นเราจึงสามารถสรุปได้ทั้งหมด: $p(X_n \leq M_{n-1})$ $X_n, M_{n-1}$

p (X_{n} \leq M_{n - 1}) = \sum_{a, b} p (X_{n} = a, M_{n - 1} = b, a \leq b)

$p(X_n \leq M_{n-1}) = \sum_{a,b} p(X_n = a, M_{n-1} = b, a \leq b)$

ในทำนองเดียวกันสามารถคำนวณได้โดยใช้ Bayes กฎข้อสรุปแล้วมากกว่าค่าความเป็นไปได้ของ{n-1} $p(X_n = k | X_n > M_{n-1})$ $X_n, M_{n-1}$

— แอนดี้โจนส์
แหล่งที่มา

+1 มันดูถูกต้องแล้วคุณบอกว่ามันเป็นกำลังสอง แต่ไม่กี่ปีที่ผ่านมาตั้งแต่ฉันรับสถิติ (โดยหลักแล้วฉันเป็นโปรแกรมเมอร์) ดังนั้นฉันต้องการที่จะเข้าใจอย่างเต็มที่ก่อนที่จะทำเครื่องหมายว่าเป็นคำตอบ ฉันยังเห็นว่าคุณมี p (nth คือ die ที่เล็กที่สุด) ซึ่งรวมถึงถ้า n ถูกผูกกับขนาดเล็กที่สุด? เช่นกลิ้งทั้งหมด 3 วินาที

— SkySpiral7

จับดี. หากการรีดครั้งที่มีค่าเท่ากับค่าต่ำสุดในปัจจุบันเราสามารถพิจารณาได้ว่าดายนั้นจะถูกทิ้ง ซึ่งในกรณีการจัดจำหน่ายเป็น{n-1} ฉันได้เปลี่ยน s สำหรับ s เพื่อสะท้อนถึงสิ่งนี้

n

$n$

Y_{n - 1}

$Y_{n-1}$

(<)

$(<)$

(\leq)

$(\leq)$

— Andy Jones

ขอขอบคุณ. ถ้าฉันเข้าใจอย่างถูกต้องฉันคิดว่าสูตรของคุณคือคำตอบ อย่างไรก็ตามฉันไม่รู้วิธีคำนวณ p (X (n)> M (n-1)) (หรือการปฏิเสธของมัน) หรือ p (X (n) = k | X (n)> M (n-1 )) ดังนั้นฉันยังไม่สามารถใช้คำตอบนี้ได้ ฉันจะทำเครื่องหมายสิ่งนี้เป็นคำตอบ แต่ฉันต้องการข้อมูลเพิ่มเติม คุณสามารถแก้ไขคำตอบเพื่ออธิบายสิ่งเหล่านี้หรือฉันควรโพสต์เป็นคำถามอื่นได้หรือไม่

— SkySpiral7

แก้ไขคำตอบของฉัน

— Andy Jones

ขออภัยฉันรู้ว่าเป็นเวลาหนึ่งปีครึ่ง แต่ในที่สุดฉันก็ได้รับการใช้งานสูตรนี้เป็นรหัส อย่างไรก็ตามสูตร p (Z (n) = a) ปรากฏไม่ถูกต้อง สมมติว่าลูกเต๋า 2 ลูกมี 2 ด้าน (วางต่ำสุด) โอกาสในการได้ผลคือ 1? โอกาสของ X (n) ที่เล็กที่สุดหรือถูกผูกไว้คือ 3/4 และ p (Y (n-1) = 1) คือ 1/2 ดังนั้น Z (n) จะกลับมาอย่างน้อย 3/8 แม้ว่าคำตอบที่ถูกต้องคือ 1/4 สูตร Z ดูถูกต้องสำหรับฉันและฉันไม่รู้วิธีแก้ไข ดังนั้นถ้าถามไม่มากเกินไป: คุณคิดอย่างไร?

— SkySpiral7

ฉันมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพพอสมควรสำหรับเรื่องนี้ในการทดสอบดูเหมือนว่าจะตรงกับผลลัพธ์ของแรงเดรัจฉานบริสุทธิ์ในขณะที่การพึ่งพาน้อยลงในการแจกแจงความเป็นไปได้ทั้งหมด โดยทั่วไปแล้วจะเป็นแบบทั่วไปมากกว่าปัญหาข้างต้นของ 4d6, ปล่อย 1

สัญกรณ์บางอย่างก่อน: ให้บ่งชี้ว่าคุณกำลังกลิ้งลูกเต๋ามีใบหน้า (ค่าจำนวนเต็มถึง ) และพิจารณาเฉพาะลูกเต๋าสูงสุดที่หมุน เอาท์พุทเป็นลำดับของค่าลูกเต๋าเช่นให้ผลผลิตถ้าคุณกลิ้งบนลูกเต๋าสี่ลูก (โปรดทราบว่าฉันกำลังเรียกมันว่า "ลำดับ" แต่ลำดับไม่สำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากสิ่งที่เราใส่ใจในตอนท้ายคือผลรวมของลำดับ) $X_NdY$ $X$ $Y$ $1$ $Y$ $N$ $4_3d6$ $3, 4, 5$ $1, 3, 4, 5$

ความน่าจะเป็น (หรือมากกว่านั้นโดยเฉพาะ ) เป็นเวอร์ชั่นดั้งเดิมของปัญหาดั้งเดิมโดยเราพิจารณาจากชุดลูกเต๋าที่เฉพาะเจาะจงเท่านั้นและไม่ใช่ชุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่รวมกันเป็น ได้รับผลรวม $P(X_NdY = S)$ $P(4_3d6 = S)$

สมมติว่ามีค่าที่แตกต่างกันเช่นว่าและแต่ละมีการนับจำนวนของC_iตัวอย่างเช่นถ้าดังนั้น ,และ . $S$ $k$ $s_0, s_1, ..., s_k$ $s_i > s_{i+1}$ $s_i$ $c_i$ $S = 3, 4, 4, 5$ $(s_0,c_0) = (5,1)$ $(s_1,c_1) = (4,2)$ $(s_2,c_2) = (3,1)$

คุณสามารถคำนวณด้วยวิธีต่อไปนี้: $P(X_NdY = S)$

P (X_{N} d Y = S) = \frac{(\prod_{i = 0}^{k - 1} (\binom{X - \sum_{h = 0}^{i - 1} c_{h}}{c_{i}})) (\sum_{j = 0}^{X - N} (\binom{c_{k} + X - N}{c_{k} + X - N - j}) (s_{k} - 1)^{j})}{Y^{X}}

$P(X_NdY = S) = \frac{ \left( \prod_{i=0}^{k-1} {X - \sum_{h=0}^{i-1} c_h \choose c_i} \right) \left( \sum_{j=0}^{X-N} { c_k+X-N \choose c_k+X-N-j} (s_k-1)^j \right)}{ Y^X }$

ฉันรู้ว่าเป็นเรื่องยุ่ง

นิพจน์ผลิตภัณฑ์วนซ้ำทั้งหมด แต่ค่าต่ำสุดในและคำนวณวิธีที่ค่าเหล่านั้นอาจถูกกระจายไปในลูกเต๋า สำหรับนั่นเป็นเพียงแค่แต่สำหรับเราต้องลบลูกเต๋าที่ได้ตั้งค่าไว้แล้วสำหรับและเช่นเดียวกันกับคุณต้องลบc_h $\prod_{i=0}^{k-1}$ $S$ $s_0$ $X \choose c_i$ $s_1$ $c_0$ $s_0$ $s_i$ $\sum_{h=0}^{i-1}c_h$

นิพจน์ผลรวมซ้ำผ่านความเป็นไปได้ทั้งหมดว่าลูกเต๋าที่ถูกโยนมีค่าเท่ากับเนื่องจากมีผลต่อการรวมกันที่เป็นไปได้ของลูกเต๋าที่ไม่หลุดที่มีเป็นค่าของมัน $\sum_{j=0}^{X-N}$ $s_k$ $s_k$

โดยตัวอย่างลองพิจารณา : $P[4_3d6=(5,4,4)]$

(s_{1}, c_{1}) = (5, 1)

$(s_1, c_1) = (5, 1)$

(s_{2}, c_{2}) = (4, 2)

$(s_2, c_2) = (4, 2)$

ดังนั้นการใช้สูตรด้านบน:

P [4_{3} d 6 = (5, 4, 4)] = \frac{(\binom{4}{1}) ((\binom{3}{3}) \cdot 3^{0} + (\binom{3}{2}) \cdot 3^{1})}{6^{4}} = \frac{5}{162} = 0.0 \bar{308641975}

$P[4_3d6=(5,4,4)] \\ = \frac{ {4 \choose 1} \left( {3 \choose 3} \cdot 3^0 + {3 \choose 2} \cdot 3^1 \right) }{ 6^4 } \\ = \frac{5}{162} = 0.0\overline{308641975}$

สูตรแบ่งลงเกี่ยวกับปัญหาโดเมนเมื่อและในผลรวมที่นำไปสู่ในระยะแรกของซึ่งเป็นไม่แน่นอนและความต้องการที่จะถือว่าเป็น1ในกรณีดังกล่าวเป็นผลบวกไม่จริงจำเป็นที่ทั้งหมดและสามารถละเว้นเนื่องจากทุกลูกเต๋าลดลงนอกจากนี้ยังจะมีค่าเป็น1 $s_k=1$ $j=0$ $0^0$ $1$ $s_k = 1$

ตอนนี้ที่นี่ฉันต้องพึ่งพากำลังดุร้าย ปัญหาดั้งเดิมคือการคำนวณความน่าจะเป็นของผลรวมที่เป็นค่าบางส่วนและแสดงถึงลูกเต๋าแต่ละตัวที่เหลือหลังจากการวาง ซึ่งหมายความว่าคุณต้องเพิ่มความน่าจะเป็นสำหรับลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ไม่สนใจลำดับ) ซึ่งผลรวมคือค่าที่กำหนด อาจมีสูตรในการคำนวณค่านี้ของค่าในคราวเดียว แต่ฉันยังไม่ได้ลองทาบทาม $X_NdY$ $S$ $S$

ฉันได้ใช้สิ่งนี้ใน Python ก่อนและด้านบนเป็นความพยายามในการแสดงทางคณิตศาสตร์ อัลกอริทึม Python ของฉันถูกต้องและมีประสิทธิภาพพอสมควร มีการเพิ่มประสิทธิภาพบางอย่างที่สามารถทำได้สำหรับกรณีของการคำนวณการกระจายทั้งหมดของและบางทีฉันอาจจะทำในภายหลัง $\sum X_NdY$

— Riley John Gibbs
แหล่งที่มา

ในฐานะโปรแกรมเมอร์ฉันอาจเข้าใจรหัส Python ของคุณได้ง่ายขึ้น (แม้ว่าฉันจะไม่เคยใช้ Python ดังนั้นมันก็อาจจะเหมือนกัน) โพสต์รหัสที่นี่อยู่นอกหัวข้อ แต่คุณสามารถโพสต์ลิงค์ไปยัง

— Github

คำตอบของคุณอาจจะถูกต้องและดูเหมือนว่าจะลดความซับซ้อนจากO(Y^X)ไปO((Y+X-1)!/(X!*(Y-1)!))แต่ก็ยังไม่เป็นที่มีประสิทธิภาพเป็นคำตอบ whuber O(c*X*log(X))ของ ขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณแม้ว่า +1

— SkySpiral7