เราจะหาค่าเฉลี่ยของผลรวมของตัวแปรตามได้อย่างไร?

ฉันรู้ว่าค่าเฉลี่ยของผลรวมของตัวแปรอิสระคือผลรวมของค่าเฉลี่ยของตัวแปรอิสระแต่ละตัว สิ่งนี้นำไปใช้กับตัวแปรตามเช่นกันหรือไม่?

ความคาดหวัง (การเฉลี่ย) เป็นผู้ประกอบการเชิงเส้น

นี่หมายความว่าเหนือสิ่งอื่นใดสำหรับตัวแปรสุ่มสองตัวและ (ซึ่งมีความคาดหวังอยู่ ) ไม่ว่าพวกเขาจะมีอิสระหรือไม่ก็ตาม$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$$X$$Y$

เราสามารถพูดคุย (เช่นโดยอุปนัย ) ดังนั้นดังนั้น ตราบใดที่ความคาดหวังแต่ละมีอยู่$\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$$\mathbb{E}(X_i)$

ใช่แล้วค่าเฉลี่ยของผลรวมนั้นเท่ากับผลรวมของค่าเฉลี่ยแม้ว่าตัวแปรจะขึ้นอยู่กับ แต่โปรดทราบว่านี่ไม่สามารถใช้กับความแปรปรวนได้! ดังนั้นในขณะที่สำหรับตัวแปรอิสระหรือแม้กระทั่งตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับ แต่ไม่เกี่ยวข้องสูตรทั่วไปคือโดยที่คือความแปรปรวนร่วมของตัวแปร$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) C o วี$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$$\mathrm{Cov}$

TL; DR:
สมมติว่ามีอยู่ค่าเฉลี่ยคือค่าที่คาดหวังและค่าที่คาดหวังนั้นเป็นส่วนสำคัญและอินทิกรัลมีสมบัติเชิงเส้นตรงด้วยความเคารพ

TS; DR:
เนื่องจากเรากำลังเผชิญกับผลรวมของตัวแปรสุ่ม , คือหน้าที่ของหลาย ๆ คนค่าเฉลี่ยของผลรวมนั้นเกี่ยวกับการแจกแจงร่วมของพวกเขา(เราสมมติว่าทุกวิถีทางมีอยู่จริงและมี จำกัด ) Denotingเวกเตอร์หลายตัวแปรของ rv ความหนาแน่นข้อต่อของพวกเขาสามารถเขียนเป็นและการสนับสนุนร่วมกันของพวกเขา การใช้กฏของ Unconcscious นักสถิติ เรามีอินทิกรัลหลายตัว$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$ x

ภายใต้เงื่อนไขปกติเราสามารถแยกอินทิกรัลหลายค่าเป็นอินทิกรัล -iterative:$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

และการใช้ลิเนียริตี้ของอินทิกรัลเราสามารถย่อยสลายได้

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

สำหรับแต่ละอินทิกรัลเชิงเราสามารถจัดลำดับการรวมใหม่อีกครั้งเพื่อให้การรวมภายนอกนั้นเกี่ยวข้องกับตัวแปรที่อยู่นอกความหนาแน่นของรอยต่อ กล่าวคือ$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

และโดยทั่วไป

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

เมื่อเราคำนวณหนึ่งในหนึ่งอินทิกรัลในแต่ละอินทิกรัล -iterative (เริ่มจากด้านใน) เรา "รวม" ตัวแปรและเราได้รับในแต่ละขั้นตอนการกระจาย "ร่วมขอบ" ของตัวแปรอื่น ๆ แต่ละหนึ่ง -iterative จึงจะจบลงเช่น\$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

นำมารวมกันเรามาถึงที่

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

แต่ตอนนี้แต่ละอินทิกรัลอย่างง่ายคือค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มแต่ละตัว

= n ∑ i = 1 E ( X i

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

โปรดทราบว่าเราไม่เคยเรียกใช้อิสรภาพหรือความไม่อิสระของตัวแปรสุ่มที่เกี่ยวข้อง แต่เราทำงานร่วมกับการแจกแจงร่วมเท่านั้น