ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์กลาง (MAD) และ SD ของการแจกแจงที่แตกต่างกัน

สำหรับข้อมูลที่กระจายตามปกติค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์แบบมัธยฐานMADสัมพันธ์กันโดย:$\sigma$$\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

โดยที่เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน$\Phi()$

มีความสัมพันธ์แบบเดียวกันสำหรับการแจกแจงแบบอื่นหรือไม่?

ในการตอบคำถามด้วยความคิดเห็น:

ฉันต้องการที่จะรู้ว่ามีช่วงที่เป็นไปได้ของค่าคงที่

(ฉันถือว่าคำถามนี้มีจุดประสงค์เพื่อเป็นค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยจากค่ามัธยฐาน)

1. อัตราส่วนของ SD ต่อ MAD สามารถทำให้ใหญ่โดยพลการ

   รับการกระจายบางส่วนที่มีอัตราส่วน SD ต่อ MAD ที่กำหนด กดค้างตรงกลางของการแจกแจงคงที่ (ซึ่งหมายความว่า MAD ไม่เปลี่ยนแปลง) ขยับก้อยออกไปอีก เพิ่มขึ้น SD เคลื่อนตัวต่อไปเรื่อย ๆ เกินขอบเขตที่ จำกัด$50\%+\epsilon$

2. อัตราส่วนของ SD ต่อ MAD นั้นสามารถทำได้ง่ายใกล้เคียงกับตามต้องการโดย (ตัวอย่าง) วาง25%+ϵที่±1และ50%-2ϵที่ 0$\sqrt{\frac{1}{2}}$$25\%+\epsilon$$\pm 1$$50\%-2\epsilon$

   ฉันคิดว่ามันจะเล็กไปหน่อย

$f(x;\theta)$$\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$$G_\theta$$|X-\text{MED}_\theta|$$\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$$F_\theta$$X$

1. $\theta=\sigma$$\text{MAD}_\theta$$\sigma$
2. $\theta=(\mu,\sigma)$$\mu$ $$f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$$ $|X-\text{MED}_\theta|$$|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$$\mu$$G_\theta$$\sigma$$\text{MAD}_\theta$$\sigma$