ML ประมาณค่าการแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียล (พร้อมข้อมูลเซ็นเซอร์)

ในการวิเคราะห์การเอาตัวรอดคุณจะถือว่าเวลาการอยู่รอดของ rvมีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล พิจารณาว่าตอนนี้ฉันมี "ผล" ของ IID RV ของx_iมีเพียงบางส่วนของผลลัพธ์เหล่านี้ที่จริงแล้ว "รับรู้เต็มที่" เช่นการสังเกตที่เหลือยังคง "มีชีวิตอยู่"$X_i$$x_1,\dots,x_n$$X_i$

ถ้าฉันต้องการทำการประมาณ ML สำหรับพารามิเตอร์ rateของการกระจายฉันจะใช้การสังเกตการณ์ที่ไม่ได้รับรู้ในลักษณะที่สอดคล้อง / เหมาะสมได้อย่างไร ฉันเชื่อว่าพวกเขายังคงมีข้อมูลที่เป็นประโยชน์สำหรับการประเมิน$\lambda$

ใครช่วยแนะนำฉันเกี่ยวกับวรรณกรรมในหัวข้อนี้ ฉันแน่ใจว่ามันมีอยู่ อย่างไรก็ตามฉันมีปัญหาในการค้นหาคำหลัก / คำค้นหาที่ดีสำหรับหัวข้อ

คุณยังสามารถประมาณพารามิเตอร์โดยใช้โอกาสในการโดยตรง ให้การสังเกตเป็น ด้วยการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีอัตราและไม่ทราบ ฟังก์ชันความหนาแน่นคือ , ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมและฟังก์ชันหางx} สมมติว่าการสังเกตแรกนั้นถูกสังเกตอย่างสมบูรณ์ในขณะที่สำหรับเรารู้เพียงว่าสำหรับค่าคงที่บวกที่รู้จักบางตัว$x_1, \dots, x_n$$\lambda>0$$f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$$F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$$G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$$r$$x_{r+1}, \dots, x_n$$x_j > t_j$$t_j$. เช่นเคยความน่าจะเป็นคือ "ความน่าจะเป็นของข้อมูลที่สังเกตได้" สำหรับการตรวจสอบการสังเกตที่ได้รับจากดังนั้นฟังก์ชันโอกาสทั้งหมดคือ ฟังก์ชัน loglikelihood จะกลายเป็น ซึ่งมีรูปแบบเดียวกับ loglikelihood สำหรับกรณีปกติสังเกตอย่างสมบูรณ์ยกเว้นจากคำแรกใน สถานที่ของnการเขียนสำหรับค่าเฉลี่ยของการสังเกตและเวลาในการเซ็นเซอร์ตัวประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดของจะกลายเป็น$P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$$ $$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$$ $r\log\lambda$$n\log\lambda$$T$$\lambda$$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$ซึ่งคุณสามารถเปรียบเทียบกับกรณีที่สังเกตได้อย่างสมบูรณ์

 EDIT   

เพื่อพยายามตอบคำถามในความคิดเห็น: หากการสังเกตทั้งหมดถูกเซ็นเซอร์นั่นคือเราไม่ได้รอนานพอที่จะสังเกตเหตุการณ์ใด ๆ (ความตาย) เราจะทำอะไรได้บ้าง ในกรณีที่ดังนั้น loglikelihood จะกลายเป็น นั่นคือมันเป็นเส้นตรงลดลง\ดังนั้นค่าสูงสุดต้องเป็น ! แต่ศูนย์ไม่ใช่ค่าที่ถูกต้องสำหรับพารามิเตอร์ rateเนื่องจากไม่สอดคล้องกับการแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียลใด ๆ เราต้องสรุปว่าในกรณีนี้ไม่มีตัวประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด! บางทีเราอาจลองสร้างช่วงความมั่นใจบางอย่างสำหรับ$r=0$

$$l(\lambda) = -nT \lambda$$ $\lambda$$\lambda=0$$\lambda$$\lambda$ขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่น loglikelihood นั้น? เพื่อที่ดูด้านล่าง

แต่ในกรณีใด ๆ ข้อสรุปที่แท้จริงจากข้อมูลในกรณีนั้นคือเราควรรอเวลามากขึ้นจนกว่าเราจะได้รับเหตุการณ์บางอย่าง ...

นี่คือวิธีที่เราสามารถสร้างช่วงความมั่นใจ (ด้านเดียว) สำหรับในกรณีที่การสังเกตทั้งหมดได้รับการตรวจสอบ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นในกรณีนี้คือซึ่งมีรูปแบบเดียวกันกับฟังก์ชันความน่าจะเป็นจากการทดลองแบบทวินามที่เราได้รับความสำเร็จทั้งหมดซึ่งก็คือ (ดูช่วงความเชื่อมั่นรอบประมาณการทวินามของ 0 หรือ 1 ) ในกรณีที่เราต้องการช่วงความเชื่อมั่นด้านเดียวสำหรับของแบบฟอร์ม1] จากนั้นเราก็จะได้รับช่วงเวลาสำหรับโดยการแก้T$\lambda$$e^{-\lambda n T}$$p^n$$p$$[\underset{\bar{}}{p}, 1]$$\lambda$$\log p = -\lambda T$

เราได้รับความเชื่อมั่นสำหรับโดยการแก้ เพื่อให้0.95 สิ่งนี้ให้ช่วงความมั่นใจในที่สุดสำหรับ : $p$

$$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$$ $n\log p \ge \log 0.95$$\lambda$ $$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$$