10 หัวในแถวจะเพิ่มโอกาสในการโยนต่อไปหรือไม่?

ฉันถือว่าสิ่งต่อไปนี้เป็นจริง: สมมติว่าเป็นเหรียญที่ยุติธรรมการได้รับ 10 หัวติดต่อกันในขณะที่การโยนเหรียญไม่เพิ่มโอกาสในการโยนเหรียญถัดไปเป็นหางไม่ว่าจะมีความน่าจะเป็นและ / หรือศัพท์แสงทางสถิติจำนวนเท่าใด (แก้ตัวการเล่น)

สมมติว่าเป็นอย่างนั้นคำถามของฉันคือ: ฉันจะโน้มน้าวให้คนที่เป็นอย่างนั้นได้อย่างไร

พวกเขาฉลาดและมีการศึกษา แต่ดูเหมือนตั้งใจว่าจะไม่พิจารณาว่าฉันอาจจะถูก (โต้แย้ง)

พวกเขาพยายามที่จะยืนยันว่า [... ] หากมี 10 หัวจากนั้นลำดับต่อไปน่าจะเป็นหางมากขึ้นเพราะสถิติบอกว่ามันจะสร้างความสมดุลในท้ายที่สุด

มีเพียง "สมดุล" ในแง่ที่เฉพาะเจาะจงมาก

หากเป็นเหรียญที่ยุติธรรมแสดงว่ายังคง 50-50 ในทุก ๆ การโยน เหรียญไม่สามารถรู้อดีตของมันได้ ไม่สามารถรู้ได้ว่ามีส่วนเกินของหัว มันไม่สามารถชดเชยอดีตได้ เคย มันแค่ไปสุ่มเป็นหัวหรือก้อยที่มีโอกาสคงที่ของหัว

หากคือจำนวนของหัวในทอย (คือจำนวนของก้อย) สำหรับเหรียญที่ยุติธรรมจะมีค่าเป็น 1 เนื่องจากจะไม่มีที่สิ้นสุด .... แต่ไม่ได้ไปที่ 0 อันที่จริงแล้วมันยังไม่มีที่สิ้นสุดด้วย!$n_H$$n=n_H+n_T$$n_T$$n_H/n_T$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

นั่นคือไม่มีอะไรที่จะทำให้พวกเขายิ่งขึ้น จำนวนนั้นไม่มีแนวโน้มที่จะ "สร้างสมดุล" โดยเฉลี่ยแล้วความไม่สมดุลระหว่างจำนวนหัวและก้อยเติบโตขึ้นจริง!

นี่คือผลลัพธ์ของการโยน 100 ชุดโดยมีร่องรอยสีเทาแสดงความแตกต่างของจำนวนหัวลบจำนวนหางในทุกขั้นตอน

ร่องรอยสีเทา (แทน ) คือการเดินแบบสุ่มของ Bernoulli หากคุณคิดว่าอนุภาคเคลื่อนที่ขึ้นหรือลงแกน y ตามหน่วยขั้นตอน (สุ่มโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากัน) ในแต่ละขั้นตอนการกระจายตำแหน่งของอนุภาคจะ 'กระจาย' ออกจาก 0 เมื่อเวลาผ่านไป มันยังคงมีค่าที่คาดไว้ 0 แต่ระยะทางที่คาดหวังจาก 0 จะเพิ่มขึ้นเมื่อรากที่สองของจำนวนขั้นตอน [หมายเหตุสำหรับทุกคนที่คิดว่า " เขากำลังพูดถึงความแตกต่างที่แน่นอนหรือความแตกต่าง RMS " - จริง ๆ : สำหรับขนาดใหญ่ตัวแรกคือ 80% ของวินาที]$n_H-n_T$$n$$\sqrt{2/\pi}\approx$

เส้นโค้งสีฟ้าข้างต้นเป็นที่และเส้นโค้งสีเขียวที่{n} อย่างที่คุณเห็นระยะทางโดยทั่วไประหว่างหัวทั้งหมดกับก้อยทั้งหมดเพิ่มขึ้น หากมีสิ่งใดที่แสดงให้เห็นว่า 'คืนสู่ความเท่าเทียม' เพื่อ 'ชดเชยความเบี่ยงเบน' จากความเท่าเทียม - โดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะไม่เติบโตแยกออกจากกันเช่นนั้น (มันไม่ยากที่จะแสดงพีชคณิตนี้ แต่ฉันสงสัยว่าจะโน้มน้าวให้เพื่อนของคุณส่วนที่สำคัญคือความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบอิสระคือผลรวมของความแปรปรวนดูจุดสิ้นสุดของส่วนที่เชื่อมโยง - ทุก ๆ เวลาที่คุณเพิ่มการพลิกเหรียญอีกครั้งคุณจะเพิ่มจำนวนคงที่ลงบนความแปรปรวนของผลรวม ... ดังนั้นความแปรปรวนจะต้องเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนด้วย$\pm \sqrt{n}$$\pm 2\sqrt{n}$ $<$$>$$n$. ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่มี{n} ค่าคงที่ที่เพิ่มเข้ากับความแปรปรวนในแต่ละขั้นตอนในกรณีนี้เกิดขึ้นเป็น 1 แต่นั่นไม่สำคัญสำหรับการโต้แย้ง)$\sqrt{n}$

เท่ากับไปที่เนื่องจากการโยนทั้งหมดไปที่อินฟินิตี้ แต่เนื่องจากไปอนันต์เร็วกว่าทำ.$\frac{|n_H-n_T|}{n_H+n_T}$$0$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

นั่นหมายความว่าถ้าเราหารจำนวนการนับที่สะสมด้วย$n$ในแต่ละขั้นตอนมันโค้งใน - ความแตกต่างสัมบูรณ์โดยทั่วไปในการนับเป็นลำดับของแต่ความแตกต่างสัมบูรณ์แบบทั่วไปในสัดส่วนนั้นจะต้องเป็นลำดับ{n}$\sqrt{n}$$1/\sqrt{n}$

นั่นคือทั้งหมดที่เกิดขึ้น มากขึ้นขนาดใหญ่ * เบี่ยงเบนสุ่มจากความเสมอภาคเป็นเพียงการ " ล้างออก " โดยที่ยิ่งใหญ่หาร

* การเพิ่มขึ้นในขนาดที่แน่นอนทั่วไป

ดูภาพเคลื่อนไหวเล็กน้อยในระยะขอบได้ที่นี่

หากเพื่อนของคุณไม่มั่นใจให้โยนเหรียญ ทุกครั้งที่คุณพูดถึงสามหัวติดต่อกันให้เขาหรือเธอเสนอความน่าจะเป็นสำหรับการโยนหัวต่อไป (น้อยกว่า 50%) ที่เขาคิดว่าจะต้องยุติธรรมด้วยเหตุผลของเขา ขอให้พวกเขาให้อัตราต่อรองที่สอดคล้องกัน (นั่นคือเขาหรือเธอจะต้องเต็มใจจ่ายมากกว่า 1: 1 หากคุณเดิมพันบนหัวเนื่องจากพวกเขายืนยันว่าหางมีแนวโน้มมากขึ้น) จะเป็นการดีที่สุดถ้ามีการตั้งค่าเป็นเดิมพันจำนวนมากแต่ละรายการด้วยเงินจำนวนเล็กน้อย (อย่าแปลกใจถ้ามีข้อแก้ตัวว่าทำไมพวกเขาไม่สามารถเดิมพันได้ครึ่งหนึ่ง - แต่อย่างน้อยก็ดูเหมือนจะลดความรุนแรงของตำแหน่งที่จัดขึ้น)

[อย่างไรก็ตามการสนทนาทั้งหมดนี้เป็นการบอกล่วงหน้าเกี่ยวกับความยุติธรรม หากเหรียญไม่ยุติธรรม (50-50) แสดงว่าต้องมีการอภิปรายในรูปแบบอื่นโดยอาศัยการเบี่ยงเบนจากความแตกต่างของสัดส่วนที่คาดหวัง การมี 10 หัวในการโยน 10 ครั้งอาจทำให้คุณสงสัยในสมมติฐานที่ p = 0.5 เหรียญโยนดีควรจะใกล้เคียงยุติธรรม - ถ่วงน้ำหนักหรือไม่ - แต่ในความเป็นจริงยังคงแสดงเล็ก ๆ แต่โหว่อคติโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคนที่ใช้ประโยชน์จากมันเป็นคนที่ชอบเพอร์ซีเดีอโคนิ ส ในทางกลับกันการปั่นเหรียญอาจมีความอ่อนไหวต่ออคติเนื่องจากการมีน้ำหนักมากขึ้นในหน้าเดียว]

ความสับสนนั้นเป็นเพราะเขามองดูความน่าจะเป็นตั้งแต่เริ่มต้นโดยไม่มองสิ่งที่เกิดขึ้นแล้ว

ลดความซับซ้อนของสิ่งต่าง ๆ :

พลิกครั้งแรก:

T

ตอนนี้โอกาสของ T คือ 50% ดังนั้น 0.5

โอกาสที่การโยนครั้งถัดไปจะเป็น T อีกครั้งคือ 0.5

TT 0.5
TF 0.5

อย่างไรก็ตามสิ่งที่เกี่ยวกับการพลิกครั้งแรก หากเรารวมสิ่งนั้นไว้:

TT 0.25
TF 0.25

ส่วนที่เหลืออีก 50% เริ่มต้นด้วย F และแบ่งอีกครั้งระหว่าง T และ F

หากต้องการขยายออกเป็นสิบก้อยติดต่อกันความน่าจะเป็นที่คุณได้นั่นคือ 1/1024

ความน่าจะเป็นที่จะเป็นถัดไปคือ T หรือ F เท่ากับ 50%

โอกาสจากจุดเริ่มต้น 11 หางคือ 1 ในปี 2048 ความน่าจะเป็นที่มีการพลิกหาง 10 ครั้งแล้วการพลิกครั้งต่อไปจะเป็นหางแม้ว่าจะยังคงอยู่ 50%

พวกเขาพยายามที่จะใช้ความไม่ชอบมาพากลของ 1 ใน 1024 โอกาสของ 10 T กับโอกาสของ T อีกเมื่อในความเป็นจริงที่เกิดขึ้นแล้วดังนั้นความน่าจะเป็นของมันที่เกิดขึ้นไม่มีความสำคัญอีกต่อไป

11 ก้อยในแถวไม่มากหรือน้อยกว่า 10 ก้อยตามด้วยหัวเดียว

ความน่าจะเป็นที่การโยน 11 ครั้งนั้นไม่น่าเป็นไปได้ทั้งหมด แต่เนื่องจากมันเกิดขึ้นแล้วมันไม่สำคัญอีกต่อไป!

ราคาต่อรองยังคงอยู่ที่ 50-50 ซึ่งการพลิกครั้งต่อไปจะเป็นแบบก้อย

คำอธิบายที่ง่ายมาก: อัตราต่อรองของการพลิก 10 หัว + 1 หางตามลำดับนั้นต่ำมาก แต่เมื่อถึงเวลาที่คุณโยนหัว 10 ครั้งคุณได้เอาชนะอัตราเดิมพันส่วนใหญ่แล้ว ... คุณมีโอกาส 50-50 ในการจบลำดับด้วยการพลิกเหรียญครั้งต่อไป

คุณควรพยายามโน้มน้าวพวกเขาว่าหากผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ส่งผลกระทบต่อการโยนที่จะเกิดขึ้นไม่เพียง แต่การพิจารณาการโยน 10 ครั้งสุดท้ายเท่านั้นที่ควรนำมาพิจารณาด้วย

ฉันคิดว่ามันเป็นวิธีการที่มีเหตุผลมากขึ้น

นี่ไม่ใช่คำตอบจริงๆ - ปัญหาของคุณคือจิตวิทยาไม่ใช่คณิตศาสตร์ แต่อาจช่วยได้

ฉันมักจะเผชิญกับคำถาม "ว่าเป็นอย่างไร ... " คำตอบที่นี่ส่วนใหญ่ถูกต้องเป็นคณิตศาสตร์เกินไปสำหรับคนที่คุณพูดถึง ที่เดียวที่ฉันเริ่มคือการพยายามโน้มน้าวพวกเขาว่าการโยนเหรียญหนึ่งครั้ง 10 ครั้งก็เหมือนกับการพลิกเหรียญ 10 เหรียญพร้อมกัน พวกเขาสามารถเข้าใจความจริงที่ว่าsometimesคุณจะเห็น 10 หัว ในความเป็นจริงที่เกิดขึ้นประมาณหนึ่งครั้งในพันครั้ง (ตั้งแต่ ) หาก 15,000 คนลองทำเช่นนี้แล้วประมาณ 30 คนจะคิดว่าพวกเขามีเหรียญพิเศษไม่ว่าจะเป็นหัวหรือก้อย หากพวกเขายอมรับอาร์กิวเมนต์นี้ขั้นตอนในการทอยตามลำดับจะง่ายกว่าเล็กน้อย$2^{10} \approx 10^3$

เพื่อเพิ่มการตอบก่อนหน้านี้มีสองประเด็นที่นี่ , ครั้งแรกสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อนับเป็นจริงที่เป็นธรรมและแต่ละโยนเป็นอิสระจากกลมๆอื่น ๆ ทั้งหมด จากนั้นเราจะมี "กฎหมายจำนวนมาก" กล่าวว่าในขีด จำกัด ของการลำดับที่เพิ่มขึ้นของกลมๆที่ความถี่ของหางจะได้วิธีการน่าจะเป็นของหางที่เป็น1/2$1/2$

หากการโยนครั้งแรกสิบครั้งทั้งหมดเป็นก้อยความถี่ที่ จำกัด จะยังคงเป็นครึ่งเดียวโดยไม่จำเป็นต้องโยนต่อไป "ปรับสมดุล" ในสิบอันดับแรก! เกี่ยวกับพีชคณิตให้เป็นจำนวนก้อยในการขว้าง. สมมติว่าจริง ๆ แล้วเราได้รับ จากนั้นเมื่อคำนึงถึงการโยนสิบครั้งแรกเราจะยังคงมีขีด จำกัด นั่นคือหลังจากหนึ่งล้านสิบทอยเรามี $x_n$$11, 12, \dots, n+10.$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n/n =1/2$$ $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10+x_n}{n+10}= 1/2$$ $$\frac{10+500000}{1000010} \approx 0.5$$ ดังนั้นในการ จำกัด 10 ก้อยแรกไม่สำคัญเลยผลของมันคือ "ล้างออก" โดยการโยนในภายหลังทั้งหมด ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้อง "ปรับสมดุล" เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ขีด จำกัด ในทางคณิตศาสตร์นี่เป็นเพียงการใช้ความจริงที่ว่าขีด จำกัด (ถ้ามี ... ) ของลำดับของตัวเลขใด ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขอบเขตที่แน่นอนและเริ่มต้นใด ๆ ! ดังนั้นเราสามารถกำหนดผลลัพธ์สำหรับการโยนครั้งแรก (หรือร้อยครั้งแรก) โดยพลการโดยไม่มีผลกระทบต่อขีด จำกัด เลย ฉันคิดว่าวิธีนี้อธิบายให้เพื่อนนักการพนันของคุณ (อาจมีตัวเลขและตัวอย่างมากขึ้นและพีชคณิตน้อยกว่า ... ) อาจเป็นวิธีที่ดีที่สุด

อีกด้านคือ : หลังจากโยนสิบสิบหางบางทีใครบางคนอาจเริ่มสงสัยว่าเหรียญนั้นดีหรือไม่สอดคล้องกับรูปแบบที่เรียบง่ายสามัญของความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน สมมติว่า "tosser" (คนที่ทำหน้าที่โยน) ยังไม่ได้รับการฝึกฝนให้ควบคุมการโยนในทางใดทางหนึ่งและเป็นการโยนโดยวิธีที่ซื่อสัตย์ความน่าจะเป็นของหางจะต้องเป็นครึ่งหนึ่ง ( ดูกระดาษ Gelmanนี้)

ดังนั้นในสมมติฐานทางเลือกการพึ่งพาบางอย่างในการโยนเหรียญ! และหลังจากเห็นสิบหางติดต่อกันหลักฐานก็คือการพึ่งพาอาศัยกันเป็นสิ่งที่ดีดังนั้นหางหนึ่งเพิ่มความน่าจะเป็นที่การโยนเหรียญถัดไปจะเป็นหาง แต่หลังจากการวิเคราะห์นั้นข้อสรุปที่สมเหตุสมผลคือความน่าจะเป็นของการโยนที่สิบเอ็ดเป็นหางจะเพิ่มขึ้นไม่ลดลง! ดังนั้นข้อสรุปในกรณีนี้จึงเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับเพื่อนของนักพนันของคุณ

ฉันคิดว่าคุณจะต้องมีแบบจำลองที่แปลกจริง ๆ เพื่อหาข้อสรุป

สมมติว่าการโยนเหรียญมีความเป็นอิสระนี่เป็นเรื่องง่ายมากที่จะพิสูจน์จากสถิติหนึ่งไปยังอีก อย่างไรก็ตามเพื่อนของคุณดูเหมือนจะไม่เชื่อว่าการโยนเหรียญเป็นอิสระ นอกเหนือจากการโยนคำที่มีความหมายเหมือนกันกับอิสระ (ตัวอย่างเช่นเหรียญไม่มี "ความทรงจำ") คุณไม่สามารถพิสูจน์ให้เขาเห็นได้ว่าการโยนเหรียญนั้นไม่ขึ้นอยู่กับการโต้แย้งของคำเพียงอย่างเดียว ฉันขอแนะนำให้ใช้การจำลองเพื่อยืนยันการอ้างสิทธิ์ของคุณ แต่ตามจริงแล้วหากเพื่อนของคุณไม่เชื่อว่าการโยนเหรียญเป็นอิสระฉันไม่แน่ใจว่าเขาจะเชื่อผลการจำลอง

ในการย้ำคำอธิบายบางส่วนที่ได้รับแล้ว (โดย @TimB และ @James K) เมื่อคุณโยนเหรียญ 10 ครั้งและมี 10 หัวความน่าจะเป็นที่จะได้รับ 10 หัวต่อแถวคือ 1.0! มันเกิดขึ้นแล้วดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นนั้นได้ถูกแก้ไขแล้ว

เมื่อคุณคูณด้วยความน่าจะเป็นที่จะได้รับการพลิกในครั้งต่อไป (0.5) คุณจะได้ 0.5

การเดิมพันด้วยก้อยด้วยสิ่งอื่นนอกเหนือจากอัตราเดิมพัน ณ จุดนั้นเป็นการเดิมพันของผู้ดูด

สมมติว่าฉันเชื่อว่าเหรียญนั้นยุติธรรม ถ้าเหรียญมีความยุติธรรมความน่าจะเป็นที่จะมี 10 หัวในแถวคือ ดังนั้นในฐานะที่เป็นประจำที่นัยสำคัญฉันต้องปฏิเสธ : เหรียญมีความยุติธรรมและสรุปว่า : "มีอะไรบางอย่างคาว" ไม่ฉันไม่สามารถยืนยันได้ว่าความเป็นไปได้ที่จะเห็นหัวหน้าอีกคนยังคงเป็น

$$p_{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}<0.1\%$$ $\alpha=1\%$$H_0$$H_a$$\frac{1}{2}$

ฉันจะปล่อยให้คุณใช้แนวทางแบบเบย์และได้ข้อสรุปที่คล้ายกัน คุณจะเริ่มต้นด้วยความน่าจะเป็นก่อนหน้าของหัวจากนั้นอัปเดตด้วยการสังเกตหัว 10 ครั้งติดต่อกันและคุณจะเห็นว่าความน่าจะเป็นด้านหลังของหัว$p=\frac{1}{2}$$\pi>\frac{1}{2}$

อัปเดตตัวอย่าง @oerkelens สามารถตีความได้สองวิธี

• เพื่อนของคุณเดิมพันที่ THHTTHTTHT จากนั้นโยนเหรียญ 10 ครั้งและได้รับ: THHTTHTTHT ในกรณีนี้คุณจะประหลาดใจเช่นเดียวกับ 10 หัวในแถวและเริ่มสงสัยความเป็นธรรมของเหรียญ คุณไม่แน่ใจว่าจะคิดอย่างไรเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการโยนในการโยนครั้งต่อไปเพราะเพื่อนของคุณดูเหมือนจะสามารถได้รับสิ่งที่เขาต้องการอย่างแท้จริงนี่ไม่ใช่การสุ่ม
• คุณโยนเหรียญ 10 ครั้งและสังเกตชุดค่าผสมที่เกิดขึ้นเป็น THHTTHTTHT คุณจะสังเกตเห็นว่ามี 6 หางและ 4 หัวซึ่งเป็นซึ่งไม่ได้ทำเครื่องหมาย ดังนั้นความน่าจะเป็นของหางในการโยนครั้งต่อไปอาจเป็นเนื่องจากไม่มีเหตุผลที่จะสงสัยความยุติธรรม$p=\frac{10!}{6!4!2^{10}}\sim 0.2$$\frac{1}{2}$

นอกจากนี้อาจมีการโต้แย้งว่าแม้ว่า 0.001 เป็นความน่าจะเป็นที่น้อยถ้าคุณโยน 10 เหรียญ 100,000 ครั้งคุณจะต้องเห็นชุดค่าผสม 10 หัวสองสามตัว จริง แต่ในกรณีนี้คุณมีการโยนเหรียญรวม 1 ล้านเหรียญและคุณกำลังมองหาชุดค่าผสม 10 หัวอย่างน้อยหนึ่งชุดตามลำดับ ความน่าจะเป็นประจำของการสังเกตชุดค่าผสม 10 หัวอย่างน้อยหนึ่งชุดคำนวณได้ดังนี้: ดังนั้นผู้สมัครจะสรุป หลังจากใช้เวลานานหลายเดือนในการโยนเหรียญ 1 ล้านครั้งและสังเกตชุดค่าผสม 10 หัวว่าไม่มีเรื่องใหญ่อะไรเกิดขึ้น เขาจะไม่ทำการปรับเปลี่ยนใด ๆ กับความคาดหวังของเขาเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของหัวต่อไปและปล่อยไว้ที่ 0.5

$$1-\left(\frac{1}{2^{10}}\right)^{100,000}\approx 1$$

สำหรับคนที่ใช้คอมพิวเตอร์ถ้าเพื่อนของคุณเป็นโปรแกรมเมอร์คอมพิวเตอร์ฉันก็พบว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการดึงดูดความสนใจของพวกเขาก็คือการเขียนโปรแกรม ขอให้พวกเขาเขียนโปรแกรมการโยนเหรียญ พวกเขาจะคิดบ้างเล็กน้อยว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับสิ่งนี้:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

คุณจะถามพวกเขา

รหัสของคุณสำหรับการจัดการ 10 หัวในแถวนี้อยู่ที่ไหน ปรากฏว่าในรหัสของคุณโดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่เกิดขึ้นใน 10 ลูปแรกการโยนครั้งที่ 11 มีความน่าจะเป็น 0.5 ครั้ง

อย่างไรก็ตามกรณีนี้สนใจการโยนเหรียญที่ยุติธรรม รหัสถูกออกแบบด้วยการโยนเหรียญอย่างยุติธรรม ในกรณีที่มี 10 หัว แต่ก็ไม่น่าเป็นไปได้อย่างยิ่งที่เหรียญจะยุติธรรม

ภายใต้สถานการณ์ในอุดมคติคำตอบคือไม่ การโยนแต่ละครั้งไม่ขึ้นกับสิ่งที่มาก่อน ดังนั้นหากนี่เป็นเหรียญที่ยุติธรรมจริง ๆ มันก็ไม่สำคัญ แต่ถ้าคุณไม่แน่ใจว่าเหรียญมีความผิดพลาดหรือไม่ (ซึ่งอาจเกิดขึ้นในชีวิตจริง) การเรียงลำดับของหางยาวอาจทำให้คนเชื่อว่ามันไม่ยุติธรรม

คำตอบนี้จะใช้ได้กับทุกคำถามในประเภทนี้รวมถึงปัญหา Monty Hall เพียงแค่ถามพวกเขาในสิ่งที่พวกเขาคิดว่าอัตราต่อรองของการได้รับหางหลังจากสิบหัว เสนอที่จะเล่นให้ดีขึ้นเล็กน้อย (เพื่อพวกเขา) แต่ยังคงอยู่ภายใต้อัตราต่อรอง 50-50 ด้วยโชคใด ๆ พวกเขาจะตกลงที่จะให้คอมพิวเตอร์ทำการพลิกในกรณีที่คุณจะมีจำนวนเงินในกระเป๋าของคุณอย่างรวดเร็ว ไม่อย่างนั้นมันจะใช้เวลานานกว่า แต่ผลลัพธ์ก็เหมือนกัน (อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้)

คุณจะโน้มน้าวพวกเขาอย่างไร? วิธีหนึ่งคือการแสดงการกระจายของผลลัพธ์จากปัญหาที่แน่นอนที่อธิบายไว้

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])

ลองเช่นนี้สมมติว่าเรามีอยู่แล้วหัวโยน - เหตุการณ์ที่หายากมากมากกับความน่าจะเป็นของ "การมี" ของ{10} ตอนนี้เราเตรียมตัวสำหรับการโยนอีกหนึ่งครั้งและคิดล่วงหน้าว่าอะไรจะเกิดขึ้นต่อไป:$10$$0.5^{10}$

• หากก้อยเรายังคงจบลงด้วยการบันทึกชุดของเหตุการณ์ที่หายากมากที่มีความน่าจะเป็น ;$0.5^{10}$
• ถ้าหัวความน่าจะเป็นของทั้งชุดจะค่อนข้างเล็ก แต่ก็ไม่เล็กกว่านั้นมาก ;$0.5^{11}$

และความแตกต่างระหว่างทั้งสองเป็นเพียงการโยนเหรียญที่ยุติธรรม