สถิติการสั่งซื้อ (เช่นขั้นต่ำ) ของการรวบรวมตัวแปรไคสแควร์ไม่สิ้นสุด?

นี่เป็นครั้งแรกของฉันที่นี่ดังนั้นโปรดแจ้งให้เราทราบหากฉันสามารถชี้แจงคำถามของฉันไม่ว่าทางใดทางหนึ่ง (รวมถึงการจัดรูปแบบแท็ก ฯลฯ ) (และหวังว่าฉันจะสามารถแก้ไขได้ในภายหลัง!) ฉันพยายามค้นหาการอ้างอิงและพยายามแก้ไขตัวเองโดยใช้การเหนี่ยวนำ แต่ล้มเหลวทั้งสองอย่าง

ฉันพยายามทำให้การกระจายง่ายขึ้นซึ่งดูเหมือนว่าจะลดลงเป็นสถิติการเรียงลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมด้วยองศาอิสระที่แตกต่างกัน โดยเฉพาะการกระจายตัวของค่าที่เล็กที่สุดในคืออะไรระหว่าง ? $\chi^2$ $m$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\chi^2_8,\ldots$

ฉันสนใจกรณีพิเศษ $m=1$ : การกระจายขั้นต่ำของ (อิสระ) $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$ คืออะไร?

สำหรับกรณีที่น้อยที่สุดฉันสามารถเขียนฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) เป็นผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ไม่สามารถทำให้มันง่ายขึ้นอีก ฉันใช้ข้อเท็จจริงว่า CDF ของ $\chi^2_{2m}$ คือ

F_{2 m} (x) = γ (m, x / 2) / Γ (m) = γ (m, x / 2) / (m - 1)! = 1 - e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} x^{k} / (2^{k} k!) .

$F_{2m}(x)=\gamma(m,x/2)/\Gamma(m)=\gamma(m,x/2)/(m-1)!=1-e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}x^k/(2^k k!).$ (ด้วย

m = 1

$m=1$ นี่เป็นการยืนยันความคิดเห็นที่สองด้านล่างเกี่ยวกับความเท่าเทียมกับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลโดยมีความคาดหวัง 2) CDF ของขั้นต่ำสามารถเขียนเป็น

F_{m i n} (x) = 1 - (1 - F_{2} (x)) (1 - F_{4} (x)) \dots = 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (1 - F_{2 m} (x))

$F_{min}(x) = 1-(1-F_2(x))(1-F_4(x))\ldots = 1-\prod_{m=1}^\infty (1-F_{2m}(x))$

= 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{x^{k}}{2^{k} k!}) .

$= 1- \prod_{m=1}^\infty \left(e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{x^k}{2^k k!}\right).$ เทอมแรกในผลิตภัณฑ์คือแค่

e^{- x / 2}

$e^{-x/2}$ และคำว่า "สุดท้าย" คือ

e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / (2^{k} k!) = 1

$e^{-x/2}\sum_{k=0}^\infty x^k/(2^k k!)=1$ 1 แต่ฉันไม่รู้ว่าจะทำอย่างไร (ถ้าเป็นไปได้) จากที่นั่น หรืออาจเป็นวิธีที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงจะดีกว่า

การแจ้งเตือนที่เป็นประโยชน์อื่นที่อาจเป็นประโยชน์: $\chi^2_2$ เหมือนกับการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีความคาดหวัง 2 และ $\chi^2_4$ คือผลรวมของเลขชี้กำลังสองค่าดังกล่าวเป็นต้น

ถ้าใครอยากรู้อยากเห็นฉันพยายามที่จะลดความซับซ้อนของทฤษฎีบท 1 ในบทความนี้สำหรับกรณีของการถดถอยในคงที่ ( $x_i=1$ สำหรับทุก $i$ ) (ฉันมี $\chi^2$ แทนการแจกแจง $\Gamma$ เนื่องจากฉันคูณด้วย $2\kappa$ )

— David M Kaplan
แหล่งที่มา

ไม่นี้ตอบคำถามของคุณ?

— mpiktas

@mpiktas: ขอบคุณสำหรับคำแนะนำ มันคล้ายกันยกเว้นแทนที่จะเป็นเลขชี้กำลังที่มีพารามิเตอร์อัตราที่แตกต่างกันฉันมีไคสแควร์ที่มีองศาอิสระต่างกัน (และจำนวนอนันต์ของพวกเขาไม่ใช่ จำกัด ) และในขณะที่เป็นเลขชี้กำลัง,ไม่ใช่; มันเป็นผลรวมของเลขชี้กำลัง แต่ผลบวกของเลขชี้กำลังนั้นไม่ใช่เลขชี้กำลัง (และในอุดมคติฉันหวังว่าจะเป็นสถิติการสั่งซื้อทั่วไปแม้ว่านาทีจะเป็นการเริ่มต้นที่ดี)

χ_{2}^{2}

$\chi^2_2$

χ_{4}^{2}, χ_{6}^{2}, \dots

$\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

— David M Kaplan

ฉันสงสัยว่ามันมีรูปแบบปิดสำหรับเรื่องนี้ มันมีลักษณะนิสัยแปลก ๆ : เมื่อคือ iid Poisson ( ) ผันแปร,ดังนั้นเป็นโอกาสที่ .

X_{k}

$X_k$

λ / 2

$\lambda/2$

k = 1, 2, \dots

$k=1,2,\ldots$

1 - F_{m i n} (λ)

$1-F_{min}(\lambda)$

X_{k} \leq k

$X_k \le k$

— whuber

@whuber: มันอาจจะไม่ค่อยอยากรู้อยากเห็นเมื่อคิดในแง่ของกระบวนการปัวซงซึ่งเป็นสูตรที่ฉันเคยเล่นด้วย ให้เป็น iidตัวแปรสุ่มที่มีกระบวนการปัวซองที่สอดคล้องกันอัตรา1/2ให้ , ,เป็นต้นจากนั้นเป็นอิสระและโดยคุณสมบัติอิสระเพิ่มขึ้นแบบคงที่ของกระบวนการปัวส์ซอง มีที่i)

T_{1}, T_{2}, \dots

$T_1, T_2, \ldots$

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$

N (t) := sup {n : \sum_{i = 1}^{n} T_{i} \leq t}

$N(t) := \sup\{n: \sum_{i=1}^n T_i \leq t\}$

1 / 2

$1/2$

U_{1} = T_{1}

$U_1 = T_1$

U_{2} = T_{2} + T_{3}

$U_2 = T_2 + T_3$

U_{3} = T_{4} + T_{5} + T_{6}

$U_3 = T_4 + T_5 + T_6$

U_{i} \sim χ_{2 i}^{2}

$U_i\sim\chi_{2i}^2$

P (U_{i} \geq t) = P (N (t) \leq i)

$\mathbb{P}(U_i \geq t) = \mathbb{P}( N(t) \leq i)$

— พระคาร์ดินัล

@ สำคัญแน่นอนว่าเป็นวิธีที่ดีในการดู ความอยากรู้อยากเห็นไม่ได้อยู่ในความสัมพันธ์ระหว่าง Poissons และ Gammas มันอยู่ในคำอธิบายของเหตุการณ์เอง!

— whuber

คำตอบ:

เลขศูนย์ของผลิตภัณฑ์อนันต์จะเป็นศูนย์รวมของข้อตกลง การคำนวณระยะที่ 20 แสดงรูปแบบทั่วไป:

จุดศูนย์รวมที่ซับซ้อน

พล็อตของศูนย์ในระนาบเชิงซ้อนนี้จะแยกแยะการมีส่วนร่วมของคำศัพท์แต่ละคำในผลิตภัณฑ์โดยใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน: ในแต่ละขั้นตอนเส้นโค้งที่ชัดเจนจะขยายออกไปมากขึ้นและเริ่มโค้งใหม่ยิ่งขึ้นไปอีก

ความซับซ้อนของภาพนี้แสดงให้เห็นถึงมีอยู่ไม่มีการแก้ปัญหาปิดแบบฟอร์มในแง่ของฟังก์ชั่นที่รู้จักกันดีของการวิเคราะห์ที่สูงขึ้น (เช่น gammas, Thetas หน้าที่ hypergeometric ฯลฯ เช่นเดียวกับฟังก์ชั่นประถมศึกษาตามที่สำรวจในข้อความที่คลาสสิกเช่นWhittaker & วัตสัน )

ดังนั้นปัญหาอาจแตกต่างไปจากที่เกิดขึ้นเล็กน้อย : คุณต้องรู้อะไรเกี่ยวกับการแจกแจงของสถิติการสั่งซื้อ การประมาณฟังก์ชั่นลักษณะของพวกเขา? ช่วงเวลาการสั่งซื้อต่ำ ประมาณควอนไทล์? อื่น ๆ อีก?

— whuber
แหล่งที่มา

ทำไมเลขศูนย์ของผลิตภัณฑ์ถึงมีความสำคัญ ฉันรู้สึกว่าฉันขาดอะไรไปซักนิด

— mpiktas

@mp ศูนย์และเสาแสดงบางอย่างเกี่ยวกับความซับซ้อนของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน Rational มีจำนวน จำกัด ฟังก์ชั่นประถมมักจะมีเส้นศูนย์เช่นที่ ,ครบถ้วนสำหรับ ; ฟังก์ชั่น "ยอดเยี่ยม" ทั่วไปมีรูปแบบที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยของค่าศูนย์เช่นที่จำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นบวก (ซึ่งกันและกันของฟังก์ชันแกมมา) หรือบนจุดของจุด (ฟังก์ชัน theta และฟังก์ชันรูปไข่) รูปแบบที่ซับซ้อนที่แสดงที่นี่ชี้ให้เห็นว่าเป็นการยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดง CDF ในแง่ของฟังก์ชั่นที่คุ้นเคยเหล่านี้

2 i π n

$2i\pi n$

n

$n$

\exp ()

$\exp()$

— whuber

@whuber (1/2) ขอบคุณ! ฉันไม่รู้เกี่ยวกับคลาสที่แตกต่างกันของฟังก์ชันที่มีรูปแบบของศูนย์ในระนาบเชิงซ้อน ฟังดูมีประโยชน์มากและกราฟของคุณดูเหมือนจะตอบคำถามของฉัน

— David M Kaplan

@whuber (2/2) นี่เป็นการตรวจสอบกรณีพิเศษของการแจกแจง (ซับซ้อน) ของตัวประมาณที่ให้ไว้ในเอกสารอื่น พวกเขาใช้การมีอยู่ของการแจกแจงเพื่อปรับการใช้ bootstrap ที่ปรึกษาของฉันแนะนำฉันพยายามประมาณการกระจายตัว ดูเหมือนว่าการแจกจ่ายของพวกเขาอาจถูกปิดสำหรับกรณีพิเศษนี้ (ที่ฉันรู้ว่าควรจะเป็นอะไร) ดังนั้นฉันจะตรวจสอบที่ปรึกษาของฉันหลังจากกำหนดเวลาสิ้นสุดของเขา แต่อาจเป็นไปได้ฉันจะพยายามขยายลำดับที่สูงขึ้นของลำดับที่ -order (หารด้วย ) เป็นในการตั้งค่าที่ซับซ้อนมากขึ้น จะโพสต์อีกครั้งถ้าเป็นเช่นนั้น ขอบคุณอีกครั้ง!

m

$m$

m

$m$

m \to \infty

$m\to\infty$

— David M Kaplan

การกระจายขั้นต่ำของ (อิสระ) คืออะไร ? $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

ขอโทษที่มาสายประมาณ 6 ปี แม้ว่า OP มีแนวโน้มที่จะย้ายไปที่ปัญหาอื่น ๆ คำถามยังคงสดและฉันคิดว่าฉันอาจแนะนำวิธีการที่แตกต่างกัน

เราได้รับโดยที่โดยที่พร้อม pdf ของ : $(X_1, X_2, X_3, \dots)$ $X_i \sim \text{Chisquared}(v_i)$ $v_i= 2i$ $f_i(x_i)$

นี่คือพล็อตของของ pdf ที่สอดคล้องกันเมื่อขนาดของตัวอย่างเพิ่มขึ้นสำหรับ : $f_i(x_i)$ $i = 1 \text{ to } 8$

เรามีความสนใจในการกระจายของจุด) $\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$

ทุกครั้งที่เราเพิ่มคำศัพท์พิเศษ PDF ของคำสุดท้ายที่เพิ่มเข้ามาจะถูกเลื่อนออกไปทางขวาเพื่อให้ผลของการเพิ่มคำศัพท์มากขึ้นไม่เพียง แต่มีความเกี่ยวข้องน้อยลง แต่ยังมีความเกี่ยวข้องน้อยกว่า , เกือบจะเล็กน้อย - ตัวอย่างขั้นต่ำสุด ซึ่งหมายความว่ามีเพียงจำนวนน้อยมากที่มีแนวโน้มที่จะสำคัญ ... และการเพิ่มคำเพิ่มเติม (หรือการปรากฏตัวของจำนวนอนันต์ของคำศัพท์) นั้นไม่เกี่ยวข้องกับปัญหาขั้นต่ำตัวอย่างมาก

ทดสอบ

เพื่อทดสอบสิ่งนี้ฉันได้คำนวณ pdf ของเป็น 1 เทอม, 2 เทอม, 3 เทอม, 4 เทอม, 5 เทอม, 6 เทอม, 7 เทอม, 8 เทอม, ถึง 9 ข้อกำหนดและ 10 ข้อกำหนด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ฉันได้ใช้ฟังก์ชันจากmathStaticaสั่งให้ที่นี่เพื่อคำนวณ pdf ของตัวอย่างขั้นต่ำ (สถิติการสั่งซื้อ) ในตัวอย่างของขนาดและที่พารามิเตอร์ (แทน กำลังถูกแก้ไข) คือ : $\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$ OrderStatNonIdentical $1^{\text{st}}$ $j$ $i$ $v_i$

มันซับซ้อนเล็กน้อยเมื่อจำนวนคำเพิ่มขึ้น ... แต่ฉันได้แสดงผลลัพธ์สำหรับ 1 เทอม (แถวที่ 1), 2 เทอม (แถวที่สอง), 3 คำ (แถวที่ 3) และ 4 คำข้างต้น

แผนภาพต่อไปนี้เปรียบเทียบ pdf ของตัวอย่างขั้นต่ำกับ 1 เทอม (สีน้ำเงิน), 2 เทอม (ส้ม), 3 เทอมและ 10 เทอม (สีแดง) โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกันมีเพียง 3 คำเทียบกับ 10 คำ:

แผนภาพต่อไปนี้เปรียบเทียบ 5 เทอม (สีน้ำเงิน) และ 10 เทอม (ส้ม) - พล็อตมีความคล้ายคลึงกันมากพวกมันลบล้างซึ่งกันและกันและอีกอันหนึ่งไม่สามารถมองเห็นความแตกต่าง:

กล่าวอีกนัยหนึ่งการเพิ่มจำนวนคำจาก 5 เป็น 10 แทบไม่มีผลกระทบต่อการมองเห็นที่เห็นได้ชัดในการแจกตัวอย่างขั้นต่ำ

การประมาณครึ่งโลจิสติก

ในที่สุดการประมาณอย่างง่ายที่ยอดเยี่ยมของ pdf ของตัวอย่าง min คือการกระจายแบบครึ่งโลจิสติกด้วย pdf:

g (x) = \frac{2 e^{- x}}{{(e^{- x} + 1)}^{2}} for x > 0

$g(x) = \frac{2 e^{-x}}{\left(e^{-x}+1\right)^2} \quad \text{ for } x>0$

ไดอะแกรมต่อไปนี้เปรียบเทียบโซลูชันที่แน่นอนด้วย 10 คำศัพท์ (ซึ่งไม่สามารถแยกความแตกต่างจาก 5 คำหรือ 20 คำ) และการประมาณครึ่งโลจิสติก (ประ)

การเพิ่มขึ้นของ 20 เทอมทำให้ไม่สามารถแยกความแตกต่างได้

— wolfies
แหล่งที่มา