สุ่มเดินบนขอบของลูกบาศก์

วางมดไว้ที่มุมของลูกบาศก์และไม่สามารถเคลื่อนที่ได้ แมงมุมจะเริ่มต้นจากมุมตรงข้ามและสามารถย้ายไปตามขอบของก้อนในทิศทางใดด้วยความน่าจะเท่ากับ1/3โดยเฉลี่ยแมงมุมจะต้องก้าวไปกี่ก้าว?1 /$(x,y,z)$$1/3$

(นี่ไม่ใช่การบ้านมันเป็นคำถามสัมภาษณ์)

ฉันแนะนำให้ทำแบบจำลองปัญหาเป็นลูกโซ่มาร์คอฟซึ่งแต่ละรัฐแสดงระยะห่างระหว่างแมงมุมกับมด ในกรณีนี้เรามี 4 รัฐเป็นไปได้เป็นระยะทางที่สามารถ\}ฉัน{ 0 , 1 , 2 , 3 $S_i$$i$$\{0,1,2,3\}$

เมื่อแมงมุมอยู่ที่มุมตรงข้ามของลูกบาศก์มันจะอยู่ห่างจากมด 3 ก้าว มันมีอยู่ในรัฐS_3$S_3$

สร้างเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง{P}$\mathbf{P}$

• หากเราวาดลูกบาศก์เราจะเห็นว่าเมื่อเราอยู่ในสถานะทุกการเคลื่อนไหวจะลดระยะห่างระหว่างแมงมุมและมดเป็น 2 ขั้นตอน ดังนั้นเมื่อเราอยู่ในสถานะเราจะย้ายไปที่สถานะด้วยความน่าจะเป็น 1S 3 S $S_3$$S_3$$S_2$

• เมื่อเราอยู่ในสถานะเราสามารถกลับไปที่สถานะโดยใช้ขอบที่เรามาจากที่นั่นหรือเราสามารถลดระยะห่างให้เหลือเพียงขั้นตอนเดียวถ้าเราเลือกอีกสองขอบ ดังนั้นเมื่อเราอยู่ในสถานะเราสามารถย้ายไปยังสถานะด้วยความน่าจะเป็น 2/3 และไปยังสถานะด้วยความน่าจะเป็น 1/3S 3 S 2 S 1 S $S_2$$S_3$$S_2$$S_1$$S_3$

• เมื่อเราอยู่ในสถานะเราสามารถไปที่สถานะโดยใช้หนึ่งในสามขอบที่เป็นไปได้ ถ้าเราใช้อีกสองเรากลับไปที่รัฐs_2ดังนั้นเมื่อเราอยู่ในสถานะเราสามารถย้ายไปที่สถานะด้วยความน่าจะเป็น 1/3 และไปยังด้วยความน่าจะเป็น 2/3S 0 S 2 S 1 S 0 S $S_1$$S_0$$S_2$$S_1$$S_0$$S_2$

• เมื่อเราไปถึงเราอยู่ที่นั่นเพราะมันเป็นเป้าหมายของเรา เป็นสถานะที่น่าสนใจS $S_0$$S_0$

$$\begin{equation} \mathbf{P} = \left[\begin{array}{cccc} P_{S_3 \to S_3} & P_{S_3 \to S_2}& P_{S_3 \to S_1} & P_{S_3 \to S_0} \\ P_{S_2 \to S_3} & P_{S_2 \to S_2}& P_{S_2 \to S_1} & P_{S_2 \to S_0} \\ P_{S_1 \to S_3} & P_{S_1 \to S_2}& P_{S_1 \to S_1} & P_{S_1 \to S_0} \\ P_{S_0 \to S_3} & P_{S_0 \to S_2} & P_{S_0 \to S_1}& P_{S_0 \to S_0} \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2/3 & 0 \\ 0 & 2/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \end{equation}$$

นี่คือห่วงโซ่มาร์คอฟที่มีการดูดซับสามสถานะชั่วคราว ( , , ) และอีกหนึ่งสถานะการดูดซับ ( )S 2 S 1 S $S_3$$S_2$$S_1$$S_0$

ตามทฤษฎีเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงของห่วงโซ่มาร์คอฟกับรัฐชั่วคราวและดูดซับรัฐสามารถเขียนเป็น: r P = [ Q t R 0 r × t ฉัน r$t$$r$

$$\begin{equation} \mathbf{P} = \left[\begin{array}{cc} \mathbf{Q}_t &\mathbf{R} \\ \mathbf{0}_{r \times t} & \mathbf{I}_r \\ \end{array}\right] \end{equation}$$

โดยที่เป็นเมทริกซ์ที่แสดงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนจากสถานะชั่วคราวเป็นสถานะชั่วคราวอีกขณะเป็นเมทริกซ์ด้วยความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนจากหนึ่งในชั่วคราวระบุให้เป็นหนึ่งในดูดซับรัฐ identity matrixแสดงให้เราเห็นว่าเมื่อใดก็ตามที่สถานะการดูดซับอยู่ถึงจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงจากสถานะนั้น ศูนย์เมทริกซ์ทั้งหมดสามารถตีความได้ว่าไม่มีการเปลี่ยนสถานะจากใด ๆ ที่น่าสนใจไปยังที×T Rเสื้อ×RTRฉัน R R 0 R × ทีอาร์$\mathbf{Q}_t$$t \times t$$\mathbf{R}$$t \times r$$t$$r$$\mathbf{I}_r$$r$$\mathbf{0}_{r \times t}$$r$$t$ สถานะชั่วคราว

รายการของแสดงถึงความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนจากสถานะเป็นสถานะในขั้นตอนเดียว ที่จะได้รับความน่าจะเป็นขั้นตอนที่เราต้องการ การเข้ามาของ k ข้อสรุปสำหรับทุกเราได้รับเมทริกซ์ที่มีในตนรายการจำนวนที่คาดหวังของการเข้าชมไปยังรัฐชั่วคราวหลังจากที่เริ่มต้นจากรัฐชั่วคราวฉันQ tฉันj k ( i , j ) Q k t k ( i , j ) j $(i,j)$$\mathbf{Q}_t$$i$$j$$k$$(i,j)$$\mathbf{Q}_t^k$$k$$(i,j)$$j$$i$

$$\begin{equation} \sum_{k=0}^{\infty} \mathbf{Q}_t^k = (\mathbf{I}_t - \mathbf{Q}_t)^{-1} \end{equation}$$

เพื่อให้ได้จำนวนของขั้นตอนจนกว่าจะถูกดูดซึมเพียงสรุปค่าของแถวของแต่ละคน1} สิ่งนี้สามารถแสดงได้โดย$(\mathbf{I}_t - \mathbf{Q}_t)^{-1}$

$$\begin{equation} \mathbf{t} = (\mathbf{I}_t - \mathbf{Q}_t)^{-1} \mathbf{1} \end{equation}$$

โดยที่เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีส่วนประกอบทั้งหมดเท่ากับ 1$\mathbf{1}$

ให้เราใช้สิ่งนี้กับกรณีของเรา:

ตามที่ระบุไว้ข้างต้นในกรณีของเราเรามีสถานะชั่วคราว = 3 และ = 1 ดูดซับสถานะดังนั้น: R Q T = [ 0 1 0 1 / 3 0 2 / 3 0 2 / 3 0$t$$r$

$$\begin{equation} \mathbf{Q}_t = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2/3\\ 0 & 2/3 & 0 \\ \end{array}\right] \quad \quad \mathbf{R} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0\\ 1/3 \\ \end{array}\right] \end{equation}$$

เมทริกซ์ที่มีจำนวนการเข้าชมที่คาดไว้คือ

$$\begin{equation} (\mathbf{I}_t - \mathbf{Q}_t)^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} 2.5 & 4.5 & 3 \\ 1.5 & 4.5 & 3\\ 1 & 3 & 3 \\ \end{array}\right] \end{equation}$$

เมทริกซ์นี้สามารถตีความได้ดังนี้ เริ่มต้นจากสถานะและก่อนที่จะถูกดูดซับที่เราไปโดยเฉลี่ย 2.5 ครั้ง, 4.5 เท่าและ 3 ครั้ง$S_3$$S_0$$S_3$$S_2$$S_1$

จำนวนขั้นตอนที่คาดหวังจากสถานะถึงสถานะนั้นได้รับจากส่วนประกอบแรกของเวกเตอร์ต่อไปนี้:$S_3$$S_0$

$$\begin{equation} \mathbf{t} = \left[\begin{array}{ccc} 2.5 & 4.5 & 3 \\ 1.5 & 4.5 & 3\\ 1 & 3 & 3 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1\\ 1\\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 10 \\ 9\\ 7\\ \end{array}\right]. \end{equation}$$

S $\mathbf{t}$$S_0$$S_2$$S_1$

$x^*$$x_1$$x_0$

จากนั้นและ\ ตั้งแต่ $x^* = 1 + x_1$$x_0 = 1 + \frac{2}{3}x_1$

$$x_1 = 1 + \frac{2}{3}x_0 + \frac{1}{3}x^*= 1 + \frac{2}{3}x_0 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}x_1$$

เราได้รับที่2 ดังนั้นหมายความว่าและ 9$x_1 = x_0 + 2$$x_0 = 1 + \frac{2}{3}x_0 + \frac{4}{3}$$x_0=7$$x_1=9$

เราได้คำตอบของเราเป็นx$x^*=10$

แก้ไข:

ถ้าเราวาดลูกบาศก์ด้วยพิกัดดังนั้นคือตำแหน่งเริ่มต้นของแมงมุมและตำแหน่งของมด$(x, y, z)$$111$$000$

แมงมุมสามารถย้ายไปทั้ง ,หรือ110$011$$101$$110$

โดยสมมาตรของก้อนเหล่านี้จะต้องมีหมายเลขเดียวกันของขั้นตอนคาดว่าจะมดแสดงโดยx_1จากเราสามารถกลับไปที่จุดเริ่มต้น (ด้วยความน่าจะเป็น ) หรือ (ด้วยความน่าจะเป็น ) เราสามารถไปที่จุดใดจุดหนึ่ง , ,ขึ้นอยู่กับสถานะที่เราอยู่$x_1$$x_1$$1/3$$2/3$$001$$100$$010$

อีกครั้งโดยสมมาตรจุดเหล่านี้จะมีหมายเลขเดียวกันของขั้นตอนคาดว่าที่เราเรียกx_0จากตำแหน่งเหล่านี้เราสามารถบรรลุเป้าหมายในขั้นตอนที่หนึ่งที่มีความน่าจะเป็นหรือกลับไปให้เป็นหนึ่งใน -positions กับความน่า2/3ซึ่งหมายความว่า \$x_0$$1/3$$x_1$$2/3$$x_0 = \frac{1}{3}1 + \frac{2}{3}(1 + x_1) = 1 + \frac{2}{3}x_1$

สิ่งที่เป็นนามธรรมที่ดีที่จะคิดว่ามันคือ:

คิดว่าตำแหน่งของมดเป็นแมงมุมตอนนี้ย้ายแต่ละแมงมุมสามารถทำให้เป็นหลักจะเปลี่ยนว่าหนึ่งในสามองค์ประกอบจากหรือ0ดังนั้นคำถามจะกลายเป็น:$(0,0,0)$$(1,1,1)$$1\to0$$0\to1$

If I randomly switch bits in (1,1,1) after how many steps in average do I get 0,0,0

เราเห็นวิธีที่สั้นที่สุดคือ 3 สวิตช์ เนื่องจากมันไม่สำคัญว่าฉันจะเริ่มความน่าจะเป็นของสิ่งนั้น1 * 2/3 * 1/3 = 2/9เพียงใด หากเราทำผิดพลาด 1 ครั้ง (สลับหนึ่งบิตกลับเป็น 1) เราจะต้องมี 5 ขั้นตอน และโอกาสในการทำผิดพลาดคือ 7/9 - ถ้าเราต้องการทำผิดพลาดเพียงครั้งเดียวเราต้องกลับจากที่นั่นและทำทุกอย่างอีกครั้ง - ดังนั้นโอกาสในการทำผิดพลาด 1 ครั้งทำให้เกิด 5 ขั้นตอน7/9 * 2/9และโอกาส การทำผิดพลาด 2 ครั้งหรือ 7 ขั้นตอนเป็น(7/9)² * 2/9อย่างนั้นเป็นต้น

ดังนั้นสูตรสำหรับจำนวนขั้นตอนเฉลี่ยที่คาดหวังคือ:

$$\mathbb E(\mathrm{steps}) = \sum_{n=0}^{\infty} (3 + 2n) \cdot \frac{2}{9} \cdot \left ( \frac{7}{9} \right ) ^{n} = 10$$

เพียงเพื่อชมเชยคำตอบของ tiagotvv:

ฉันไม่คิดว่าปัญหาเหล่านี้เป็นเมทริกซ์ (ถึงแม้ว่าพวกเขาจะเป็น) ฉันต้องวาดมันออกมาซึ่งฉันได้ทำไว้ด้านล่าง คุณจะเห็นว่ามี 3 ที่ที่จะย้ายจาก S ซึ่งทั้งหมดเป็น จาก A ใด ๆ คุณสามารถกลับไปที่ S หรือย้ายไปที่หนึ่งในสอง Bs จาก B ใด ๆ คุณสามารถย้ายไปที่ E หรือหนึ่งในสองของ ทั้งหมดนี้แปลเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงที่กำหนดโดย tiagotvv ซึ่งสามารถวาดในรูปแบบกราฟ

เนื่องจากฉันคณิตศาสตร์แย่มากฉันจะลองจำลองปัญหาของคุณ คุณสามารถทำได้ด้วยแพ็คเกจ markovchain ใน R

  library(markovchain)
  library(ggplot2)

  # Create a markovchain object, given the states and their transition matrix

  mcCube <- new("markovchain", 
                states = c("S", "A", "B", "E"),
                transitionMatrix = matrix(data = c(0,   1,   0,   0,
                                                   1/3, 0,   2/3, 0,
                                                   0,   2/3, 0,   1/3,
                                                   0,   0,   0,   1), 
                                          byrow = T, nrow = 4),
                name = "cube")

  # The following code calcuates the probability of landing on E after taking
  # between 1 and 100 steps from the start, given the above set of transition
  # probabilities.

  start <- c(1, 0, 0, 0)

  list <- list()

  for (i in 1:100){

    list[[i]] <- (start * mcCube^i)[4] 

  }

   a <- do.call(rbind, list)

   data <- data.frame(propE = a, 
                      steps = c(1:100))

   ggplot(data, aes(x = steps, y = propE)) +
    geom_line(size = 1) +
    ylab("Probability you reached the spider") +
    xlab("Number of steps taken") +
    theme_bw() +
    theme(panel.grid.minor = element_blank())

  # This code simulates 1000 different applications of the markov chain where you 
  # take 1000 steps, and records the step at which you landed on E

  list <- list()
  for (i in 1:1000) {


    b <- rmarkovchain(n = 1000, object = mcCube, t0 = "S", include.t0 = T)

    list[[i]] <- 1001 - length(b[b == "E"])

  }

  data <- as.data.frame(do.call(rbind, list))

  ggplot(data, aes(x = V1)) +
    geom_density(fill = "grey50", alpha = 0.5) +
    geom_vline(aes(xintercept = mean(V1))) +
    ylab("Density") +
    xlab("Number of steps to reach E") +
    theme_bw() +
    theme(panel.grid.minor = element_blank())

  mean(data$V1)  # ~10 is the average number of steps to reach E in this set of
                 # simulations

คำตอบของ tiagotvv สามารถคำนวณใน R เป็น:

q = matrix(c(0,   1,   0,   
             1/3, 0,   2/3, 
             0,   2/3, 0), byrow = T, nrow = 3)


(solve(diag(3) - q) %*% c(1, 1, 1))[1] # = 10

$x$$x$$x$$x$$x$$y$$z$

ตอนแรกแมงมุมเคลื่อนที่เป็นศูนย์ในทิศทางใดทิศทางหนึ่งในสามทิศทางดังนั้นความเท่าเทียมกันสำหรับแต่ละทิศทางจึงเท่ากัน ทั้งสาม parities ต้องพลิกไปถึงมด

$x$$y$$z$

$$(x,x), \,(x,y), \,(x,z), \,(y,x), \,(y,y), \,(y,z), \,(z,x), \,(z,y), \text{or} \,(z,z)$$

$y$$z$$(y,z)$$(z,y)$

$(x,x)$$(y,y)$$(z,z)$$y$$z$$x$$x$$y$$z$$(x,z)$$x$$y$

$\frac{2}{9}$$\frac{7}{9}$

$M$$M$$\{1, 2, 3, \dots\}$$p = \frac{2}{9}$$\mathbb{E}(M) = p^{-1} = \frac{9}{2} = 4.5$$N$$M$$N = 2M + 1$$\mathbb{E}(N) = 2\mathbb{E}(M) + 1 = 2 \times 4.5 + 1 = 10$

หรือคุณอาจทราบและใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับค่าเฉลี่ยของการกระจายต่อเนื่องใช้เวลาเพียงแค่ค่าจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ,เมตร) สิ่งนี้จะให้ซึ่งเป็นชุดรูปทรงเรขาคณิตที่มีคำแรกและทั่วไป อัตราส่วนดังนั้นจึงมีผลรวม{2} จากนั้นเราสามารถใช้เหมือนเดิม E ( M ) = ∑ ∞ m = 1 P ( M ≥ m ) E ( M ) = ∑ ∞ m = 1 ( $P(M \geq m) = (\frac{7}{9})^{m-1}$$\mathbb{E}(M)=\sum_{m=1}^\infty P(M\geq m)$a=1r=$\mathbb{E}(M)=\sum_{m=1}^\infty (\frac{7}{9})^{m-1}$$a=1$$r=\frac{7}{9}$ E(N$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-7/9}=\frac{1}{2/9}=\frac{9}{2}$$\mathbb{E}(N)$

เปรียบเทียบกับโซลูชันเชนของมาร์คอฟ

ฉันจะเห็นสิ่งนี้จากเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงเชนมาร์คอฟได้อย่างไร การใช้สัญลักษณ์ของ @ DLDahly สถานะในเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจะสอดคล้องกับคำอธิบายของฉันเกี่ยวกับจำนวนของทิศทางที่มีพาริตีคี่

เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงขั้นตอนเดียวคือ

$$\begin{equation} \mathbf{P} = \left[\begin{array}{cccc} P_{S \to S} & P_{S \to A}& P_{S \to B} & P_{S \to E} \\ P_{A \to S} & P_{A \to A}& P_{A \to B} & P_{A \to E} \\ P_{B \to S} & P_{B \to A}& P_{B \to B} & P_{B \to E} \\ P_{E \to S} & P_{E \to A} & P_{E \to B}& P_{E \to E} \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2/3 & 0 \\ 0 & 2/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \end{equation}$$

แถวแรกแสดงให้เราเห็นว่าหลังจากการเคลื่อนไหวหนึ่งครั้งแมงมุมจะรับประกันว่าอยู่ในสถานะ A (หนึ่งคี่และสอง parities) เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงสองขั้นตอนคือ:

$$\begin{equation} \mathbf{P}^{(2)} = \mathbf{P}^{2} = \left[\begin{array}{cccc} 1/3 & 0 & 2/3 & 0 \\ 0 & 7/9 & 0 & 2/9 \\ 2/9 & 0 & 4/9 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \end{equation}$$

$7/9$$2/9$. ดังนั้นเมื่อมาถึงสถานะ A เราจะเห็นได้จากเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงสองขั้นตอนที่สามารถวิเคราะห์จำนวนการเคลื่อนที่สองขั้นตอนโดยใช้การแจกแจงเชิงเรขาคณิตดังกล่าวข้างต้น นี่ไม่ใช่วิธีที่ฉันพบวิธีแก้ปัญหาของฉัน แต่บางครั้งมันก็คุ้มค่าที่จะคำนวณพลังสองสามอันแรกของเมทริกซ์การเปลี่ยนภาพเพื่อดูว่ารูปแบบที่มีประโยชน์เช่นนี้สามารถใช้ประโยชน์ได้หรือไม่ ฉันได้พบสิ่งนี้เป็นครั้งคราวเพื่อให้วิธีแก้ปัญหาที่ง่ายกว่าไม่ต้องสลับเมทริกซ์หรือทำ eigendecomposition ด้วยมือ - เป็นที่ยอมรับว่ามีบางสิ่งที่เกี่ยวข้องกับการสอบหรือสัมภาษณ์เท่านั้น

ฉันได้เขียนโปรแกรม Java สั้น ๆ เพื่อตอบคำถามของคุณเป็นตัวเลข การเคลื่อนที่ของแมงมุมนั้นสุ่มอย่างแท้จริงซึ่งหมายความว่ามันสามารถเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้ก่อนที่จะไปหามด

อย่างไรก็ตามคุณไม่ได้กำหนดคำว่า "มุมตรงข้าม" ดังนั้นฉันจึงมีสองสถานการณ์ที่แตกต่างกัน ตรงข้ามกับในระนาบเดียวกันหรือข้ามลูกบาศก์ ในสถานการณ์แรกเส้นทางที่สั้นที่สุดคือ 2 ขั้นตอนและ 3 ขั้นตอนในสถานการณ์ที่สอง

ฉันได้ใช้ซ้ำ 100 ล้านครั้งและผลลัพธ์มีดังนี้:

-- First scenario --
Steps sum: 900019866
Repeats: 100000000
Avg. step count: 9.00019866

-- Second scenario --
Steps sum: 1000000836
Repeats: 100000000
Avg. step count: 10.00000836

รหัสแหล่งที่มา:

import java.util.Random;
import java.util.concurrent.atomic.AtomicLong;
import java.util.stream.IntStream;

public class ProbabilityQuizSpider {

    // Edges of the cube
    private static final int[][] EDGES = new int[][] {
            {1, 3, 7}, // corner 0
            {0, 2, 4}, // corner 1
            {1, 3, 5}, // corner 2
            {0, 2, 6}, // corner 3
            {1, 5, 7}, // corner 4
            {2, 4, 6}, // corner 5
            {3, 5, 7}, // corner 6
            {0, 4, 6}  // corner 7
    };

    private static final int START = 0; // Spider
    private static final int FINISH = 5; // Ant
    private static final int REPEATS = (int) Math.pow(10, 8);

    public static void main(String[] args) {

        final Random r = new Random();
        final AtomicLong stepsSum = new AtomicLong();

        IntStream.range(0, REPEATS).parallel().forEach(i -> {

            int currentPoint = START;
            int steps = 0;

            do {

                // Randomly traverse to next point
                currentPoint = EDGES[currentPoint][r.nextInt(3)];

                // Increase number of steps
                steps++;

            } while(currentPoint != FINISH);

            stepsSum.addAndGet(steps);

        });

        // Results
        System.out.println("Steps sum: " + stepsSum.get());
        System.out.println("Repeats: " + REPEATS);
        System.out.println("Avg. step count: " + (((double) stepsSum.get()) / ((double) REPEATS)));

    }

}

แก้ไข: แก้ไขการพิมพ์ผิดในสคริปต์ (และปรับปรุงผลลัพธ์ด้วย)

$n = 10^4$$\mathtt{mean(steps)} \approx 10$

นี่คือรหัส R ที่ฉันใช้:

ant = c(0,0,0) # ant's coordinates 

sim = 1e4 # number of MC simulations
steps = numeric() # initialize array of steps

for (i in 1:sim)
{
  spider = c(1,1,1) # spider's coordinates
  count = 0 # initialize step counter

  # while ant's coordinates == spider's coordinates
  while (!isTRUE(all.equal(ant, spider)))
  {

  # random walk in one of three dimensions
  xyz = trunc(runif(1,1,4))

  # let the spider move
  if (spider[xyz] == 1) 
    {
    spider[xyz] = 0
    } else if (spider[xyz] == 0) 
    {
    spider[xyz] = 1
    }

  # add one step
  count = count + 1
  }

# add the number of step occurred in the ith iteration
steps = c(steps, count)

# print i and number of steps occurred
cat("\n", i, " ::: ", count)
}

# print the mean of steps
(mean(steps))

ฉันเชื่อว่า alesc อยู่ในเส้นทางที่ถูกต้องเมื่อพูดถึง "อย่างไรก็ตามคุณไม่ได้นิยามคำว่า" มุมตรงข้าม "ยกเว้นว่าฉันหายไปบางอย่างในคำถามไม่มีคำตอบที่ถูกต้องเพียงคำตอบตามสมมติฐานขนาดลูกบาศก์ไม่ได้กำหนดไว้ IE 10 ลูกบาศก์ฟุต, 1,000 ลูกบาศก์ฟุตเป็นต้นขนาดมดไม่ได้กำหนด IE สวนขนาดเล็ก, ช่างไม้, ยักษ์แดง ฯลฯ ประเภทแมงมุมไม่ได้กำหนด (เพื่อกำหนดขนาดขั้นตอน) สวนขนาดเล็ก IE, ทารันทูล่า ฯลฯ หากคุณรวมทั้งหมด "ไม่ได้กำหนดไว้ "ตัวแปรคำตอบอาจเป็น 0 ขั้นตอนหรือขั้นตอนไม่ จำกัด จำนวน / ไม่สิ้นสุด