PCA และการวิเคราะห์สารบรรณที่เกี่ยวข้องกับ Biplot

Biplot มักใช้เพื่อแสดงผลลัพธ์ของการวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก (และเทคนิคที่เกี่ยวข้อง) เป็นรูปแบบการกระจายแบบสองทางหรือแบบซ้อนทับซึ่งแสดงการโหลดส่วนประกอบและคะแนนส่วนประกอบพร้อมกัน ฉันได้รับแจ้งจาก @amoeba วันนี้ว่าเขาได้รับคำตอบจากความคิดเห็นของฉันไปยังคำถามที่ถามเกี่ยวกับวิธีการสร้าง / ปรับขนาดพิกัด biplot; และคำตอบของเขาพิจารณาหลายวิธีในรายละเอียดบางอย่าง และ @amoeba ถามว่าฉันจะแบ่งปันประสบการณ์ของฉันกับ biplot หรือไม่

ประสบการณ์ของฉัน (ทั้งทางทฤษฎีและโดยการทดลอง) ถึงแม้จะค่อนข้างเรียบง่าย nevetherless เน้นสองสิ่งที่ไม่ได้รับการยอมรับบ่อย: (1) biplot ควรจัดเป็นเทคนิคการวิเคราะห์มากกว่า scatterplot ในเครือ (2) PCA การวิเคราะห์การติดต่อ (และเทคนิคอื่น ๆ ที่รู้จักกันดี) เป็นกรณีเฉพาะของ biplot หรืออย่างน้อยพวกเขาทั้งคู่เกือบจะเป็นแฝด หากคุณสามารถทำ biplot คุณสามารถทำอีกสอง

คำถามของฉันคือคุณ: พวกเขาเชื่อมต่อ (PCA, CA, Biplot) ได้อย่างไร? ได้โปรดแบ่งปันความคิดของคุณ ในขณะที่ฉันกำลังโพสต์บัญชีของตัวเองเกี่ยวกับเรื่องนี้ ฉันอยากจะขอให้เพิ่มคำตอบและพูดอย่างมีวิจารณญาณ

SVD

$\bf X$$r \times c$$\bf X = U_{r\times r}S_{r\times c}V_{c\times c}'$$m$ $[m \le\min(r,c)]$$\bf X_{(m)}$$m$$\bf X$$\bf X_{(m)} = U_{r\times m}S_{m\times m}V_{c\times m}'$$\bf U=U_{r\times m}$, ,m}$\bf V=V_{c\times m}$$\bf S=S_{m\times m}$

ค่าเอกพจน์และสแควร์สของพวกเขาค่าลักษณะเฉพาะแทนมาตราส่วนหรือที่เรียกว่าความเฉื่อยของข้อมูล ซ้าย eigenvectorsเป็นพิกัดของแถวของข้อมูลไปยังแกนหลักในขณะที่ eigenvectorsเป็นพิกัดของคอลัมน์ของข้อมูลบนแกนแฝงเดียวกัน สเกลทั้งหมด (ความเฉื่อย) ถูกเก็บไว้ในดังนั้นพิกัดและจะถูกทำให้เป็นมาตรฐาน (คอลัมน์ SS = 1)$\bf S$U m V S U V$\bf U$$m$$\bf V$$\bf S$$\bf U$$\bf V$

การวิเคราะห์องค์ประกอบหลักโดย SVD

ใน PCA มีการตกลงที่จะพิจารณาแถวของเป็นการสังเกตแบบสุ่ม (ซึ่งสามารถมาหรือไป) แต่เพื่อพิจารณาคอลัมน์ของเป็นจำนวนมิติหรือตัวแปรคงที่ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องที่เหมาะสมและสะดวกในการลบผลกระทบของจำนวนแถว (และแถวเท่านั้น) ในผลลัพธ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในค่าลักษณะเฉพาะโดย svd - การสลายตัวของแทนX หมายเหตุที่ตรงนี้เพื่อ Eigen-การสลายตัวของ ,เป็นขนาดของกลุ่มตัวอย่าง (บ่อยครั้งส่วนใหญ่ที่มีพันธมิตรร่วม - เพื่อทำให้พวกเขาไม่มีอคติ - เราต้องการหารด้วยแต่มันเป็นความแตกต่างเล็กน้อย)$\bf X$X Z = X / √$\bf X$$\mathbf Z=\mathbf X/\sqrt{r}$$\bf X$$\mathbf {X'X}/r$$r$n$r-1$

การทวีคูณของโดยค่าคงที่ได้รับผลกระทบเพียง ; และยังคงเป็นพิกัดปกติของหน่วยของแถวและคอลัมน์$\bf X$$\bf S$$\bf U$$\bf V$

จากที่นี่และทุกที่ด้านล่างเรากำหนดใหม่ ,และตามที่กำหนดโดย svd ของไม่ใช่ของ ; เป็นเวอร์ชันปกติของและการทำให้เป็นมาตรฐานแตกต่างกันไปตามประเภทการวิเคราะห์$\bf S$$\bf U$$\bf V$$\bf Z$$\bf X$$\bf Z$$\bf X$

โดยการคูณเรานำค่าเฉลี่ยกำลังสองในคอลัมน์ของถึง 1 เนื่องจากว่าแถวเป็นกรณีสุ่มให้เรามันเป็นตรรกะ เราได้รับจึงสิ่งที่เรียกว่าใน PCA มาตรฐานหรือมาตรฐานคะแนนองค์ประกอบหลักของการสังเกต * เราไม่ได้ทำสิ่งเดียวกันกับเพราะตัวแปรเป็นเอนทิตีคงที่$\mathbf U\sqrt{r}=\bf U_*$UU∗V$\bf U$$\bf U_*$$\bf V$

จากนั้นเราสามารถมอบให้กับทุกแถวความเฉื่อยเพื่อให้ได้พิกัดแถว unstandardized ยังเรียก PCA ดิบคะแนนองค์ประกอบหลักของการสังเกต: S สูตรนี้เราจะเรียกว่า "ทางตรง" ผลลัพธ์เดียวกันจะถูกส่งคืนโดย ; เราจะติดป้ายกำกับ "ทางอ้อม"$\bf U_*S$$\bf XV$

เราสามารถมอบคอลัมน์ที่มีความเฉื่อยทั้งหมดเพื่อรับพิกัดคอลัมน์ที่ไม่ได้มาตรฐานหรือที่เรียกว่า PCA ในการโหลดองค์ประกอบตัวแปร: [อาจเพิกเฉยต่อการแปลงถ้าเป็นสี่เหลี่ยม] - "ทางตรง" ผลลัพธ์เดียวกันจะถูกส่งกลับโดย - "ทางอ้อม" (คะแนนส่วนประกอบหลักที่ได้มาตรฐานข้างต้นสามารถคำนวณได้จากการโหลดเป็นโดยที่เป็นภาระ)$\bf VS'$$\bf S$$\bf Z'U$X ( S - 1 / 2 )$\bf X(AS^{-1/2})$$\bf A$

Biplot

พิจารณา biplot ในแง่ของการวิเคราะห์การลดขนาดด้วยตัวเองไม่ใช่เพียงแค่เป็น "แผนการกระจายคู่" การวิเคราะห์นี้คล้ายกับ PCA ต่างจาก PCA ทั้งแถวและคอลัมน์ต่างได้รับการปฏิบัติแบบสมมาตรเป็นการสังเกตแบบสุ่มซึ่งหมายความว่า$\bf X$ถูกมองว่าเป็นตารางสองทางแบบสุ่มที่มีมิติต่างกัน จากนั้นตามปกติให้เป็นมาตรฐานทั้ง $r$และ$c$ก่อน svd: $\mathbf Z=\mathbf X/\sqrt{rc}$ค

หลังจาก svd ให้คำนวณพิกัดแถวมาตรฐานเหมือนกับที่เราทำใน PCA: $\mathbf U_*=\mathbf U\sqrt{r}$ . ทำสิ่งเดียวกัน (ต่างจาก PCA) ด้วยเวกเตอร์คอลัมน์เพื่อรับพิกัดคอลัมน์มาตรฐาน:$\mathbf V_*=\mathbf V\sqrt{c}$ . พิกัดมาตรฐานทั้งแถวและคอลัมน์มีค่าจตุรัส 1

เราอาจมอบให้แถวและ / หรือคอลัมน์ประสานกับความเฉื่อยของค่าลักษณะเฉพาะที่เราทำใน PCA Unstandardizedพิกัดแถว: $\bf U_*S$ (ทางตรง) Unstandardizedพิกัดคอลัมน์: $\bf V_*S'$ (ทางตรง) แล้วทางอ้อมล่ะ? คุณสามารถอนุมานโดยการแทนว่าสูตรทางอ้อมสำหรับพิกัดแถว unstandardized เป็น$\mathbf {XV_*}/c$และพิกัดคอลัมน์ unstandardized เป็น$\mathbf {X'U_*}/r$ R

PCA เป็นกรณีเฉพาะของ Biplot จากคำอธิบายข้างต้นคุณอาจได้เรียนรู้ว่า PCA และ biplot แตกต่างกันเพียงวิธีที่พวกเขาทำให้$\bf X$เป็น$\bf Z$เป็นปกติซึ่งจะถูกย่อย Biplot ทำให้ปกติโดยทั้งจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์; PCA ทำให้ปกติตามจำนวนแถวเท่านั้น ดังนั้นจึงมีความแตกต่างเล็กน้อยระหว่างสองในการคำนวณ post-svd ถ้าในการทำ biplot คุณตั้ง$c=1$ในสูตรของมันคุณจะได้ผลลัพธ์ PCA อย่างแน่นอน ดังนั้น biplot สามารถถูกมองว่าเป็นวิธีการทั่วไปและ PCA เป็นกรณีเฉพาะของ biplot

[ กลางคอลัมน์ ผู้ใช้บางคนอาจพูดว่า: หยุด แต่ไม่ต้องการ PCA และอันดับแรกของการรวมศูนย์ของคอลัมน์ข้อมูล (ตัวแปร) เพื่ออธิบายความแปรปรวน ? ในขณะที่ biplot อาจไม่อยู่ตรงกลาง? คำตอบของฉัน: มีเพียง PCA-in-narrow-sense ฉันกำลังพูดถึงความรู้สึกเชิงเส้น PCA แบบทั่วไป, PCA ซึ่งอธิบายผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองจากจุดกำเนิดที่เลือก คุณอาจเลือกให้เป็นค่าเฉลี่ยของข้อมูล 0 เป็นค่าดั้งเดิมหรืออะไรก็ได้ที่คุณต้องการ ดังนั้นการดำเนินการ "กึ่งกลาง" ไม่ใช่สิ่งที่สามารถแยกความแตกต่าง PCA จาก biplot]

แถวและคอลัมน์แฝง

ใน biplot หรือ PCA คุณสามารถตั้งค่าบางแถวและ / หรือคอลัมน์ให้เป็นแบบพาสซีฟหรือแบบเสริม แถวหรือคอลัมน์แฝงไม่ส่งผลต่อ SVD ดังนั้นจึงไม่มีผลต่อความเฉื่อยหรือพิกัดของแถว / คอลัมน์อื่น ๆ แต่ได้รับพิกัดในพื้นที่ของแกนหลักที่สร้างโดยแถว / คอลัมน์ที่ใช้งานอยู่ (ไม่ใช่ passive)

ในการตั้งค่าบางจุด (แถว / คอลัมน์) ให้เป็นแบบพาสซีฟ (1) กำหนด$r$และ$c$เป็นจำนวนแถวและคอลัมน์ที่ใช้งานเท่านั้น (2) ตั้งค่าเป็นศูนย์แถวและคอลัมน์แฝงใน$\bf Z$ก่อน svd (3) ใช้วิธี "ทางอ้อม" เพื่อคำนวณพิกัดของแถว / คอลัมน์แบบพาสซีฟเนื่องจากค่า eigenvector จะเป็นศูนย์

ใน PCA เมื่อคุณคำนวณคะแนนส่วนประกอบสำหรับเคสที่เข้ามาใหม่ด้วยความช่วยเหลือของการโหลดที่ได้จากการสังเกตแบบเก่า ( โดยใช้เมทริกซ์สัมประสิทธิ์คะแนน ) คุณทำสิ่งเดียวกันกับการรับเคสใหม่เหล่านี้ใน PCA และทำให้มันอยู่เฉยๆ ในทำนองเดียวกันการคำนวณสหสัมพันธ์ / ความแปรปรวนร่วมของตัวแปรภายนอกบางตัวที่มีคะแนนองค์ประกอบที่ผลิตโดย PCA นั้นเทียบเท่ากับการรับตัวแปรเหล่านั้นใน PCA นั้นและทำให้พวกมันอยู่นิ่งเฉย

การแพร่กระจายแรงเฉื่อยโดยพลการ

คอลัมน์ค่าเฉลี่ยกำลังสอง (MS) ของพิกัดมาตรฐานคือ 1 คอลัมน์ค่าเฉลี่ยกำลังสอง (MS) ของค่าพิกัดไม่เท่ากับมาตรฐานจะเท่ากับความเฉื่อยของแกนหลักที่เกี่ยวข้อง: ความเฉื่อยของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดถูกบริจาคให้กับ eigenvectors เพื่อสร้างพิกัดที่ไม่เป็นมาตรฐาน

ในbiplot : พิกัดมาตรฐานของแถว$\bf U_*$มี MS = 1 สำหรับแต่ละแกนหลัก แถวพิกัด unstandardized เรียกว่าแถวเงินต้นพิกัด$\mathbf {U_*S} = \mathbf {XV_*}/c$มี MS = สอดคล้องค่าเฉพาะของZ$\bf Z$เช่นเดียวกับมาตรฐานคอลัมน์และพิกัดที่ไม่เป็นมาตรฐาน

โดยทั่วไปไม่จำเป็นที่ endows หนึ่งจะประสานกับความเฉื่อยไม่ว่าจะเต็มหรือไม่ก็ตาม อนุญาตให้มีการแพร่กระจายโดยพลการได้ถ้าจำเป็นด้วยเหตุผลบางประการ ให้$p_1$เป็นสัดส่วนของความเฉื่อยซึ่งไปที่แถว ดังนั้นสูตรทั่วไปของพิกัดแถวคือ: $\bf U_*S^{p1}$ (ทางตรง) = $\mathbf {XV_*S^{p1-1}}/c$ (ทางอ้อม) ถ้า$p_1=0$เราจะได้รับพิกัดแถวมาตรฐานในขณะที่$p_1=1$เราได้รับพิกัดของแถวหลัก

ในทำนองเดียวกัน$p_2$คือสัดส่วนของความเฉื่อยซึ่งไปที่คอลัมน์ ดังนั้นสูตรทั่วไปของพิกัดคอลัมน์คือ: $\bf V_*S^{p2}$ (ทางตรง) = $\mathbf {X'U_*S^{p2-1}}/r$ (ทางอ้อม) ถ้า$p_2=0$เราจะได้รับพิกัดคอลัมน์มาตรฐานในขณะที่$p_2=1$เราจะได้รับพิกัดคอลัมน์หลัก

สูตรทางอ้อมทั่วไปเป็นสากลที่พวกเขาอนุญาตให้คำนวณพิกัด (มาตรฐาน, หลักหรือในระหว่าง) นอกจากนี้สำหรับจุดแฝงถ้ามีใด ๆ

ถ้า$p_1+p_2=1$พวกเขาบอกว่าแรงเฉื่อยมีการกระจายระหว่างจุดแถวและคอลัมน์ $p_1=1,p_2=0$คือแถวเงินต้นคอลัมน์มาตรฐาน biplots บางครั้งเรียกว่า "รูปแบบ biplots" หรือ "การเก็บรักษาแถวเมตริก" biplots $p_1=0,p_2=1$คือแถวมาตรฐานคอลัมน์หลัก biplots มักจะเรียกว่าภายใน PCA วรรณกรรม "แปรปรวน biplots" หรือ "การเก็บรักษาคอลัมน์เมตริก" biplots; พวกเขาแสดงการโหลดตัวแปร ( ซึ่งก็คือ juxtaposed กับพันธมิตร) บวกคะแนนองค์ประกอบมาตรฐานเมื่อนำไปใช้ภายใน PCA

ในการวิเคราะห์การติดต่อ , $p_1=p_2=1/2$มักจะใช้และถูกเรียกว่า "สมมาตร" หรือ "บัญญัติ" การฟื้นฟูโดยความเฉื่อย - มันช่วย (แม้ว่าใน expence ของความเข้มงวดทางเรขาคณิตแบบยุคลิดบางคน) เปรียบเทียบความใกล้ชิดระหว่างแถวและคอลัมน์จุด อย่างที่เราสามารถทำได้ในแผนที่แฉหลายมิติ

การวิเคราะห์สารบรรณ (แบบจำลองแบบยุคลิด)

การวิเคราะห์การติดต่อสองทาง (= ง่าย) (CA) เป็น biplot ที่ใช้ในการวิเคราะห์ตารางฉุกเฉินสองทางกล่าวคือตารางที่ไม่เป็นลบซึ่งรายการนั้นมีความหมายของความสัมพันธ์ระหว่างแถวและคอลัมน์ เมื่อตารางเป็นความถี่การวิเคราะห์ความสอดคล้องของโมเดลไคสแควร์ถูกนำมาใช้ เมื่อรายการนั้นพูดหมายถึงหรือคะแนนอื่น ๆ จะใช้แบบจำลอง Euclidean ที่เรียบง่ายกว่า

Euclidean model CA เป็นเพียง biplot ที่อธิบายข้างต้นเฉพาะที่ตาราง$\bf X$ถูกประมวลผลล่วงหน้าเพิ่มเติมก่อนที่จะเข้าสู่การดำเนินการ biplot โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าจะปกติโดยไม่เพียง แต่$r$และ$c$แต่ยังตามผลรวมN$N$

การประมวลผลล่วงหน้าประกอบด้วยการจัดกึ่งกลางจากนั้นทำการทำให้เป็นมาตรฐานโดยมวลเฉลี่ย การจัดกึ่งกลางสามารถหลากหลายได้บ่อยที่สุด: (1) อยู่ตรงกลางคอลัมน์ (2) อยู่ตรงกลางของแถว; (3) การจัดกึ่งกลางแบบสองทางซึ่งเป็นการดำเนินการเช่นเดียวกับการคำนวณความถี่ที่เหลือ (4) การจัดกึ่งกลางของคอลัมน์หลังจากปรับผลรวมของคอลัมน์ (5) การจัดกึ่งกลางของแถวหลังจากจัดเรียงผลรวมของแถว การทำให้เป็นมาตรฐานด้วยมวลเฉลี่ยจะถูกหารด้วยค่าเซลล์เฉลี่ยของตารางเริ่มต้น ในขั้นตอนก่อนการประมวลผลแถว / คอลัมน์แฝงถ้ามีอยู่จะถูกทำให้เป็นมาตรฐาน: พวกมันจะอยู่กึ่งกลาง / ทำให้เป็นมาตรฐานโดยค่าที่คำนวณจากแถว / คอลัมน์ที่ใช้งานอยู่

จากนั้น biplot ปกติจะทำบน$\bf X$ประมวลผลล่วงหน้าเริ่มต้นจาก$\mathbf Z=\mathbf X/\sqrt{rc}$ค

Biplot ถ่วงน้ำหนัก

ลองนึกภาพว่ากิจกรรมหรือความสำคัญของแถวหรือคอลัมน์สามารถเป็นตัวเลขใด ๆ ระหว่าง 0 ถึง 1 และไม่เพียง 0 (เรื่อย ๆ ) หรือ 1 (ใช้งาน) ตามที่ได้กล่าวถึงใน biplot แบบคลาสสิก เราสามารถชั่งน้ำหนักข้อมูลอินพุตโดยน้ำหนักแถวและคอลัมน์เหล่านี้และดำเนินการ biplot ถ่วงน้ำหนัก ด้วย biplot ถ่วงน้ำหนักยิ่งมีน้ำหนักมากเท่าไหร่ยิ่งมีอิทธิพลมากขึ้นก็คือแถวหรือคอลัมน์นั้นเกี่ยวกับผลลัพธ์ทั้งหมด - ความเฉื่อยและพิกัดของจุดทั้งหมดบนแกนหลัก

ผู้ใช้กำหนดน้ำหนักแถวและน้ำหนักคอลัมน์ สิ่งเหล่านี้และสิ่งเหล่านั้นถูกทำให้เป็นมาตรฐานแรกแยกจากกันเพื่อรวมถึง 1 จากนั้นขั้นตอนการทำให้เป็นมาตรฐานคือ$\mathbf{Z_{ij} = X_{ij}}\sqrt{w_i w_j}$กับ$w_i$และ$w_j$เป็นน้ำหนักของแถว i และ j คอลัมน์ น้ำหนักเท่ากับศูนย์กำหนดแถวหรือคอลัมน์ให้อยู่เฉยๆ

ณ จุดนั้นเราอาจพบว่าบิชอปแบบคลาสสิกเป็นเพียงบิชอปแบบถ่วงน้ำหนักนี้ที่มีน้ำหนักเท่ากัน$1/r$สำหรับแถวที่ใช้งานอยู่ทั้งหมดและน้ำหนักเท่ากับ$1/c$สำหรับคอลัมน์ที่ใช้งานอยู่ทั้งหมด $r$และ$c$จำนวนแถวที่ใช้งานและคอลัมน์ที่ใช้งานอยู่

ดำเนินการ SVD ของZ$\bf Z$การดำเนินการทั้งหมดเป็นเช่นเดียวกับใน biplot คลาสสิกที่แตกต่างเพียงอย่างเดียวว่า$w_i$อยู่ในสถานที่ของ$1/r$และ$w_j$อยู่ในสถานที่ของ$1/c$ C พิกัดแถวมาตรฐาน: $\mathbf {U_{*i}=U_i}/\sqrt{w_i}$และพิกัดคอลัมน์มาตรฐาน:$\mathbf {V_{*j}=V_j}/\sqrt{w_j}$ . (สิ่งเหล่านี้ใช้สำหรับแถว / คอลัมน์ที่มีน้ำหนักเป็นศูนย์ปล่อยให้เป็น 0 สำหรับผู้ที่มีน้ำหนักเป็นศูนย์และใช้สูตรทางอ้อมด้านล่างเพื่อรับมาตรฐานหรือพิกัดใด ๆ ก็ตาม)

ให้ความเฉื่อยกับพิกัดตามสัดส่วนที่คุณต้องการ (ด้วย$p_1=1$และ$p_2=1$พิกัดจะไม่เต็มตามมาตรฐานหรือเป็นตัวเงินต้นโดยที่$p_1=0$และ$p_2=0$พวกมันจะอยู่ในมาตรฐาน) แถว: $\bf U_*S^{p1}$ (ทางตรง) = $\bf X[Wj]V_*S^{p1-1}$ (ทางอ้อม) คอลัมน์: $\bf V_*S^{p2}$(ทางตรง) = $\bf ([Wi]X)'U_*S^{p2-1}$ (ทางอ้อม) เมทริกซ์ในวงเล็บนี่คือเมทริกซ์ทแยงมุมของคอลัมน์และน้ำหนักแถวตามลำดับ สำหรับคะแนนแบบพาสซีฟ (นั่นคือมีน้ำหนักเป็นศูนย์) เฉพาะวิธีการคำนวณทางอ้อมเท่านั้นที่เหมาะสม สำหรับคะแนน (น้ำหนักบวก) ที่ใช้งานคุณสามารถไปทางใดทางหนึ่ง

PCA เป็นกรณีเฉพาะของ Biplot มาแล้ว เมื่อพิจารณาถึง biplot ที่ไม่มีการถ่วงน้ำหนักก่อนหน้านี้ฉันได้กล่าวถึง PCA และ biplot ว่าเท่ากันความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่ biplot เห็นคอลัมน์ (ตัวแปร) ของข้อมูลเป็นกรณีสุ่มโดยสมมาตรกับการสังเกต (แถว) การขยาย biplot ในขณะนี้ไปยัง biplot ที่มีน้ำหนักมากกว่าทั่วไปเราอาจเรียกร้องมันอีกครั้งโดยสังเกตว่าความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ (ถ่วงน้ำหนัก) biplot จะทำให้ผลรวมของน้ำหนักคอลัมน์ของข้อมูลอินพุตเท่ากับ 1 และ PCA - ถึงจำนวน ( คอลัมน์ใช้งานอยู่) ดังนั้นนี่คือPCA ที่มีน้ำหนักแนะนำ ผลลัพธ์ของมันจะเป็นสัดส่วนเหมือนกับผลบิชอปน้ำหนัก โดยเฉพาะถ้า$c$ คือจำนวนคอลัมน์ที่ใช้งานจากนั้นความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับการชั่งน้ำหนักและการวิเคราะห์ทั้งสองแบบคลาสสิค:

• ค่าลักษณะเฉพาะของ PCA = ค่าลักษณะเฉพาะของ biplot $\cdot c$ ;
• loadings = พิกัดคอลัมน์ภายใต้ "การทำให้เป็นมาตรฐานหลัก" ของคอลัมน์;
• คะแนนองค์ประกอบที่ได้มาตรฐาน = พิกัดของแถวภายใต้ "มาตรฐานการทำให้เป็นมาตรฐาน" ของแถว;
• eigenvectors ของ PCA = พิกัดคอลัมน์ภายใต้ "การทำให้เป็นมาตรฐานมาตรฐาน" ของคอลัมน์$/ \sqrt c$ ;
• คะแนนองค์ประกอบดิบ = พิกัดแถวภายใต้หัวข้อ "การฟื้นฟูหลัก" ของแถว$\cdot \sqrt c$ .

การวิเคราะห์สารบรรณ (โมเดล Chi-square)

เทคนิคนี้เป็น biplot แบบถ่วงน้ำหนักซึ่งมีการคำนวณน้ำหนักจากตารางเองแทนที่จะได้รับจากผู้ใช้ ส่วนใหญ่จะใช้ในการวิเคราะห์ข้ามตารางความถี่ biplot นี้จะประมาณโดย euclidean ระยะทางในพล็อตระยะทางไคสแควร์ในตาราง ระยะทางไค - สแควร์เป็นระยะทางคณิตศาสตร์แบบยุคลิดที่มีค่าผกผันผกผันด้วยผลรวมทั้งหมด ฉันจะไม่อธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรขาคณิต CA รุ่น Chi-square

$\bf X$$w_i=R_i/N$$w_j=C_j/N$$R_i$$C_j$$N$

$\bf X$$\bf Z$$R_i$$C_j$$\bf Z$

$\min(r-1,c-1)$

ดูภาพรวมที่ดีของโมเดลไค - สแควร์ในคำตอบนี้

ภาพประกอบ

นี่คือตารางข้อมูลบางส่วน

 row     A     B     C     D     E     F
   1     6     8     6     2     9     9
   2     0     3     8     5     1     3
   3     2     3     9     2     4     7
   4     2     4     2     2     7     7
   5     6     9     9     3     9     6
   6     6     4     7     5     5     8
   7     7     9     6     6     4     8
   8     4     4     8     5     3     7
   9     4     6     7     3     3     7
  10     1     5     4     5     3     6
  11     1     5     6     4     8     3
  12     0     6     7     5     3     1
  13     6     9     6     3     5     4
  14     1     6     4     7     8     4
  15     1     1     5     2     4     3
  16     8     9     7     5     5     9
  17     2     7     1     3     4     4
  28     5     3     3     9     6     4
  19     6     7     6     2     9     6
  20    10     7     4     4     8     7

Scatterplots คู่หลายตัว (ใน 2 มิติหลักแรก) สร้างขึ้นจากการวิเคราะห์ค่าเหล่านี้ดังนี้ จุดคอลัมน์เชื่อมต่อกับจุดกำเนิดโดย spikes เพื่อเน้นภาพ ไม่มีแถวหรือคอลัมน์แฝงในการวิเคราะห์เหล่านี้

biplot แรกคือผลลัพธ์SVDของตารางข้อมูลที่วิเคราะห์ "ตามสภาพ"; พิกัดคือแถวและคอลัมน์ eigenvector

ด้านล่างนี้เป็นหนึ่งใน biplots ไปได้มาจากPCA PCA ได้ทำกับข้อมูล "ตามที่เป็น" โดยไม่ต้องอยู่ตรงกลางคอลัมน์; อย่างไรก็ตามในขณะที่มันถูกนำมาใช้ใน PCA, การทำให้เป็นมาตรฐานโดยจำนวนแถว (จำนวนของกรณี) ได้ทำในตอนแรก biplot เฉพาะนี้แสดงพิกัดของแถวหลัก (เช่นคะแนนส่วนประกอบดิบ) และพิกัดคอลัมน์หลัก (เช่นการโหลดตัวแปร)

ถัดไปคือbiplot sensu เคร่งครัดo : ตารางถูกทำให้เป็นมาตรฐานในตอนแรกทั้งจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์ การปรับสภาพหลัก (การกระจายความเฉื่อย) ถูกใช้สำหรับพิกัดของแถวและคอลัมน์ - เช่นเดียวกับ PCA ด้านบน โปรดสังเกตความคล้ายคลึงกันกับ PCA biplot: ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือความแตกต่างในการปรับสภาพเริ่มต้น

จิตารางรูปแบบการติดต่อการวิเคราะห์ biplot ตารางข้อมูลได้รับการประมวลผลล่วงหน้าในลักษณะพิเศษโดยจะรวมการจัดกึ่งกลางแบบสองทางและการทำให้เป็นมาตรฐานโดยใช้ผลรวมเล็กน้อย มันเป็นน้ำหนักสองชั้น ความเฉื่อยแผ่กระจายไปทั่วแถวและพิกัดคอลัมน์แบบสมมาตร - ทั้งคู่อยู่กึ่งกลางระหว่างพิกัด "ตัวหลัก" และ "มาตรฐาน"

พิกัดที่แสดงในสแกตเตอร์แปลงทั้งหมดเหล่านี้:

point      dim1_1   dim2_1   dim1_2   dim2_2   dim1_3   dim2_3   dim1_4   dim2_4
1            .290     .247   16.871    3.048    6.887    1.244    -.479    -.101
2            .141    -.509    8.222   -6.284    3.356   -2.565    1.460    -.413
3            .198    -.282   11.504   -3.486    4.696   -1.423     .414    -.820
4            .175     .178   10.156    2.202    4.146     .899    -.421     .339
5            .303     .045   17.610     .550    7.189     .224    -.171    -.090
6            .245    -.054   14.226    -.665    5.808    -.272    -.061    -.319
7            .280     .051   16.306     .631    6.657     .258    -.180    -.112
8            .218    -.248   12.688   -3.065    5.180   -1.251     .322    -.480
9            .216    -.105   12.557   -1.300    5.126    -.531     .036    -.533
10           .171    -.157    9.921   -1.934    4.050    -.789     .433     .187
11           .194    -.137   11.282   -1.689    4.606    -.690     .384     .535
12           .157    -.384    9.117   -4.746    3.722   -1.938    1.121     .304
13           .235     .099   13.676    1.219    5.583     .498    -.295    -.072
14           .210    -.105   12.228   -1.295    4.992    -.529     .399     .962
15           .115    -.163    6.677   -2.013    2.726    -.822     .517    -.227
16           .304     .103   17.656    1.269    7.208     .518    -.289    -.257
17           .151     .147    8.771    1.814    3.581     .741    -.316     .670
18           .198    -.026   11.509    -.324    4.699    -.132     .137     .776
19           .259     .213   15.058    2.631    6.147    1.074    -.459     .005
20           .278     .414   16.159    5.112    6.597    2.087    -.753     .040
A            .337     .534    4.387    1.475    4.387    1.475    -.865    -.289
B            .461     .156    5.998     .430    5.998     .430    -.127     .186
C            .441    -.666    5.741   -1.840    5.741   -1.840     .635    -.563
D            .306    -.394    3.976   -1.087    3.976   -1.087     .656     .571
E            .427     .289    5.556     .797    5.556     .797    -.230     .518
F            .451     .087    5.860     .240    5.860     .240    -.176    -.325