ถ้า

นี่คือปัญหาที่เกิดขึ้นในการสอบภาคการศึกษาในมหาวิทยาลัยของเราไม่กี่ปีหลังซึ่งฉันพยายามที่จะแก้ปัญหา

ถ้า $X_1,X_2$ มีความเป็นอิสระ $\beta$ ตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่น $\beta(n_1,n_2)$ และ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ ตามลำดับแล้วแสดงว่า $\sqrt{X_1X_2}$ ดังต่อไปนี้ $\beta(2n_1,2n_2)$.

ฉันใช้วิธีจาโคเบียนเพื่อรับความหนาแน่นของ $Y=\sqrt{X_1X_2}$ มีดังนี้:

$$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$$

ตอนนี้ฉันหลงทางไปแล้ว ตอนนี้ในบทความหลักฉันพบว่ามีการให้คำใบ้ ฉันพยายามใช้คำใบ้ แต่ไม่สามารถรับการแสดงออกที่ต้องการ คำใบ้คือคำต่อคำดังนี้

คำแนะนำ: หาสูตรสำหรับความหนาแน่นของ $Y=\sqrt{X_1X_2}$ ในแง่ของความหนาแน่นที่กำหนดของ $X_1$ และ $X_2$ และลองใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรด้วย $z=\dfrac{y^2}{x}$.

ดังนั้น ณ จุดนี้ฉันพยายามใช้ประโยชน์จากคำใบ้นี้โดยพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรนี้ ดังนั้นฉันได้รับ

$$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$$ ซึ่งหลังจากการทำให้เข้าใจง่ายกลายเป็น (การเขียน $x$ สำหรับ $z$) $$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$$

ฉันไม่รู้วิธีดำเนินการต่อไป ฉันไม่แน่ใจด้วยซ้ำว่าฉันกำลังตีความคำใบ้อย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามต่อไปนี้เป็นคำใบ้ที่เหลือ:

สังเกตว่าโดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร $z=\dfrac{y^2}{x}$ความหนาแน่นที่ต้องการสามารถแสดงได้สองวิธีโดยการหาค่าเฉลี่ย

$$f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$$ ตอนนี้แบ่งช่วงของการรวมเป็น $(y^2,y)$ และ $(y,1)$ และเขียน $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ และดำเนินการต่อด้วย $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$.

จริงๆแล้วฉันไม่เข้าใจว่าจะใช้คำแนะนำเหล่านี้ได้อย่างไร: ดูเหมือนว่าฉันจะไปไหนมาไหน ความช่วยเหลือชื่นชม ขอบคุณล่วงหน้า.

ฉันจะพิสูจน์สิ่งนี้ในลักษณะที่แตกต่างกันโดยใช้ฟังก์ชั่นสร้างช่วงเวลา หรือเทียบเท่าโดยแสดงว่า$q$ช่วงเวลาที่ $\sqrt{X_1X_2}$ เท่ากับ $q$ช่วงเวลาที่ th ของตัวแปรสุ่ม $B$ กับ $\beta(2n_1,2n_2)$การกระจาย ถ้าเป็นเช่นนี้สำหรับทุกคน$q=1,2,\ldots$จากนั้นด้วยความแข็งแกร่งของปัญหาช่วงเวลาการออกกำลังกายได้รับการพิสูจน์แล้ว

สำหรับส่วนสุดท้ายเราได้รับจากhttp://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments ที่$q$ช่วงเวลาที่ $B$ คือ

$$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$$ ตอนนี้สำหรับส่วนแรก: $$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$$ ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการใช้คำจำกัดความ $B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ แล้วสูตรเพิ่มเป็นสองเท่า $\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$. ปรากฎว่าส่วนแรกและส่วนที่สองเหมือนกันทุกประการ