การประเมินการเดินแบบสุ่มด้วย AR (1)

เมื่อฉันประเมินการเดินแบบสุ่มด้วย AR (1) สัมประสิทธิ์ใกล้เคียงกับ 1 มาก แต่น้อยกว่าเสมอ

อะไรคือเหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สัมประสิทธิ์ไม่มากกว่าหนึ่ง?

เราประเมินโดยOLSรุ่น

$$x_{t} = \rho x_{t-1} + u_t,\;\; E(u_t \mid \{x_{t-1}, x_{t-2},...\}) =0,\;x_0 =0$$

สำหรับตัวอย่างของขนาด T ตัวประมาณคือ

$$\hat \rho = \frac {\sum_{t=1}^T x_{t}x_{t-1}}{\sum_{t=1}^T x_{t-1}^2} = \rho + \frac {\sum_{t=1}^T u_tx_{t-1}}{\sum_{t=1}^T x_{t-1}^2}$$

หากกลไกการสร้างข้อมูลที่แท้จริงคือสุ่มเดินบริสุทธิ์แล้วและ$\rho=1$

$$x_{t} = x_{t-1} + u_t \implies x_t= \sum_{i=1}^t u_i$$

การกระจายการสุ่มตัวอย่างของ OLS ประมาณการหรือเท่ากันการกระจายตัวอย่างของ ρ - 1ไม่สมมาตรรอบศูนย์ แต่ค่อนข้างจะเป็นเบ้ไปทางซ้ายของศูนย์กับ≈ 68 % ของค่าที่ได้รับ (เช่น≈มวลความน่าจะเป็น) เป็นเชิงลบและเพื่อให้เราได้รับบ่อยกว่าไม่ρ < 1 นี่คือการแจกแจงความถี่สัมพัทธ์$\hat \rho - 1$$\approx 68$$\approx$$\hat \rho < 1$

$$\begin{align} \text{Mean:} -0.0017773\\ \text{Median:} -0.00085984\\ \text{Minimum: } -0.042875\\ \text{Maximum: } 0.0052173\\ \text{Standard deviation: } 0.0031625\\ \text{Skewness: } -2.2568\\ \text{Ex. kurtosis: } 8.3017\\ \end{align}$$

บางครั้งสิ่งนี้เรียกว่าการกระจาย "Dickey-Fuller" เพราะมันเป็นฐานสำหรับค่าวิกฤตที่ใช้ในการทำการทดสอบ Unit-Root ในชื่อเดียวกัน

ฉันจำไม่ได้ว่าเห็นความพยายามที่จะให้สัญชาตญาณสำหรับรูปร่างของการกระจายตัวตัวอย่าง เรากำลังดูการกระจายตัวตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม

$$\hat \rho - 1 = \left(\sum_{t=1}^T u_tx_{t-1}\right)\cdot \left(\frac {1}{\sum_{t=1}^T x_{t-1}^2}\right)$$

$u_t$$\hat \rho - 1$$\hat \rho - 1$

$T=5$

หากเรารวมบรรทัดฐานผลิตภัณฑ์อิสระเราจะได้รับการแจกแจงที่ยังคงสมมาตรประมาณศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

แต่ถ้าเรารวมเกณฑ์ปกติของผลิตภัณฑ์ที่ไม่เป็นอิสระเช่นเดียวกับกรณีของเราเราจะได้รับ

ซึ่งเอียงไปทางขวา แต่มีความน่าจะเป็นมากที่ปันส่วนไปยังค่าลบ และมวลดูเหมือนจะถูกผลักไปทางซ้ายมากขึ้นถ้าเราเพิ่มขนาดตัวอย่างและเพิ่มองค์ประกอบที่มีความสัมพันธ์มากขึ้นกับผลรวม

ส่วนกลับของผลรวมของ Gammas ที่ไม่เป็นอิสระนั้นเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ลบที่มีความเบ้เป็นบวก

$\hat \rho -1$

นี่ไม่ใช่คำตอบจริงๆ แต่ยาวเกินไปสำหรับความคิดเห็นดังนั้นฉันโพสต์สิ่งนี้

ฉันสามารถรับสัมประสิทธิ์มากกว่า 1 สองครั้งจากร้อยสำหรับขนาดตัวอย่าง 100 (โดยใช้ "R"):

N=100                   # number of trials
T=100                   # length of time series
coef=c()
for(i in 1:N){
 set.seed(i)
 x=rnorm(T)             # generate T realizations of a standard normal variable
 y=cumsum(x)            # cumulative sum of x produces a random walk y
 lm1=lm(y[-1]~y[-T])    # regress y on its own first lag, with intercept
 coef[i]=as.numeric(lm1$coef[1])
}
length(which(coef<1))/N # the proportion of estimated coefficients below 1

การรับรู้ 84 และ 95 มีค่าสัมประสิทธิ์สูงกว่า 1 ดังนั้นจึงไม่ต่ำกว่าค่าหนึ่งเสมอ อย่างไรก็ตามแนวโน้มมีความชัดเจนว่าจะมีการประเมินแบบเอนเอียงลง คำถามที่ยังคงอยู่, ทำไม ?

แก้ไข:การถดถอยข้างต้นรวมถึงคำดักจับซึ่งดูเหมือนจะไม่ได้อยู่ในแบบจำลอง เมื่อการสกัดกั้นถูกลบออกฉันจะได้รับการประมาณการมากกว่า 1 (3158 จาก 10,000) แต่ก็ยังต่ำกว่า 50% ของทุกกรณีอย่างชัดเจน:

N=10000                 # number of trials
T=100                   # length of time series
coef=c()
for(i in 1:N){
 set.seed(i)
 x=rnorm(T)             # generate T realizations of a standard normal variable
 y=cumsum(x)            # cumulative sum of x produces a random walk y
 lm1=lm(y[-1]~-1+y[-T]) # regress y on its own first lag, without intercept
 coef[i]=as.numeric(lm1$coef[1])
}
length(which(coef<1))/N # the proportion of estimated coefficients below 1