วิธีการสร้างเมทริกซ์มุมฉากแบบสุ่มของดีเทอร์มิแนนต์ดี?

ฉันอาจมีคำถามโง่ ๆ เกี่ยวกับสิ่งที่ฉันต้องยอมรับฉันสับสน ลองนึกภาพที่ก่อให้เกิดซ้ำของการกระจายอย่างสม่ำเสมอสุ่มมุมฉาก (orthonormal) เมทริกซ์ที่มีขนาดบางหนบางครั้งเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นมีปัจจัยที่และบางครั้งก็มีปัจจัย-1(มีเพียงสองค่าที่เป็นไปได้จากมุมมองของการหมุนมุมฉากหมายความว่ามีการสะท้อนเพิ่มอีกหนึ่งนอกเหนือจากการหมุน)$p$$1$$-1$$\det=-1$

เราสามารถเปลี่ยนสัญลักษณ์ของ$\det$ของเมทริกซ์มุมฉากจากลบเป็นบวกได้โดยเปลี่ยนสัญลักษณ์ของคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง (หรือโดยทั่วไปคอลัมน์ใด ๆ ที่มีเลขคี่)

คำถามของฉันคือ: เมื่อเราสร้างเมทริกซ์แบบสุ่มซ้ำแล้วซ้ำอีกเราจะแนะนำอคติบางอย่างในลักษณะการสุ่มแบบสม่ำเสมอหรือไม่หากทุกครั้งที่เราเลือกที่จะเปลี่ยนสัญญาณของคอลัมน์ที่ระบุเฉพาะ (พูดเสมอที่ 1 หรือตลอดไป) หรือเราควรจะมีการเลือกคอลัมน์สุ่มเพื่อให้การฝึกอบรมแทนการสุ่มคอลเลกชันกระจายเหมือนกัน?

ตัวเลือกของคอลัมน์ไม่สำคัญ: การกระจายที่เกิดขึ้นในเมทริกซ์มุมฉากพิเศษ$SO(n)$ยังคงเหมือนกัน

ฉันจะอธิบายเรื่องนี้โดยใช้การโต้แย้งที่ขยายออกไปอย่างชัดเจนถึงคำถามที่เกี่ยวข้องมากมายเกี่ยวกับการสร้างองค์ประกอบของกลุ่มอย่างสม่ำเสมอ แต่ละขั้นตอนของการโต้แย้งนี้เป็นเรื่องเล็กน้อยไม่ต้องการอะไรมากไปกว่าการอ้างอิงถึงคำจำกัดความที่เหมาะสมหรือการคำนวณอย่างง่าย (เช่นการสังเกตว่าเมทริกซ์$\mathbb{I}_1$คือ orthogonal และการผกผันตนเอง)

อาร์กิวเมนต์เป็นภาพรวมของสถานการณ์ที่คุ้นเคย พิจารณางานของการวาดภาพในเชิงบวกตัวเลขจริงตามที่ระบุไว้อย่างต่อเนื่องกระจายFซึ่งสามารถทำได้โดยการวาดจำนวนจริงใด ๆจากการกระจายอย่างต่อเนื่องและลบล้างผลถ้าจำเป็นเพื่อรับประกันค่าบวก (เกือบแน่นอน) เพื่อให้กระบวนการนี้มีการแจกจ่าย ,ต้องมีคุณสมบัติที่$F$$G$$F$$G$

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำสิ่งนี้คือเมื่อมีค่าสมมาตรประมาณดังนั้น , ทำให้เกิด : ความน่าจะเป็นในเชิงบวกทั้งหมด ความหนาแน่นเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าและผลลัพธ์เชิงลบทั้งหมดจะถูกกำจัด ความสัมพันธ์ที่คุ้นเคยระหว่างการแจกแจงแบบครึ่งปกติ ( ) และการแจกแจงแบบปกติ ( ) เป็นแบบนี้$G$$0$$G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$$F(x) = 2G(x) - 1$$F$$G$

ในต่อไปนี้กลุ่มเล่นบทบาทของตัวเลขจริงที่ไม่เป็นศูนย์ (ถือว่าเป็นกลุ่มแบบคูณ ) และกลุ่มย่อยของเล่นบทบาทของตัวเลขจริงบวก . การวัด Haarไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การปฏิเสธดังนั้นเมื่อมันถูก "พับ" จากถึงการกระจายของค่าบวกจะไม่เปลี่ยนแปลง . (น่าเสียดายที่การวัดนี้ไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้สำหรับการวัดความน่าจะเป็น - แต่นั่นเป็นวิธีเดียวที่การเปรียบเทียบจะหยุดลง)$O(n)$$SO(n)$$\mathbb{R}_{+}$$dx/x$$\mathbb{R}-\{0\}$$\mathbb{R}_{+}$

การลบคอลัมน์เฉพาะของเมทริกซ์มุมฉาก (เมื่อดีเทอร์มีแนนต์เป็นลบ) คือแอนะล็อกของการลบจำนวนจริงที่เป็นลบเพื่อพับลงในกลุ่มย่อยที่เป็นบวก โดยทั่วไปคุณสามารถเลือกเมทริกซ์มุมฉากใด ๆของดีเทอร์มิแนนต์ลบและใช้แทน : ผลลัพธ์จะเหมือนกัน$\mathbb{J}$$\mathbb{I}_1$

---

แม้ว่าคำถามจะถูกใช้ในแง่ของการสร้างตัวแปรแบบสุ่ม แต่ก็ถามเกี่ยวกับการแจกแจงความน่าจะเป็นในกลุ่มเมทริกซ์และ(n) การเชื่อมต่อระหว่างกลุ่มเหล่านี้อธิบายไว้ในรูปของเมทริกซ์มุมฉาก$O(n, \mathbb{R}) = O(n)$$SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

เพราะกวนคอลัมน์แรกของ orthogonal เมทริกซ์หมายถึงขวาคูณจาก\ขอให้สังเกตว่าและเป็นสหภาพที่แยกจากกัน$\mathbb X$$\mathbb{X}$$\mathbb{I}_1$$SO(n)\subset O(n)$$O(n)$

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

เมื่อพิจารณาถึงพื้นที่ความน่าจะเป็นกำหนดไว้ในกระบวนการที่อธิบายไว้ในคำถามจะกำหนดแผนที่$(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$$O(n)$

$$f:O(n)\to SO(n)$$

โดยการตั้งค่า

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

เมื่อและ$\mathbb{X}\in SO(n)$

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

สำหรับ1}$\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

คำถามเกี่ยวข้องกับการสร้างองค์ประกอบแบบสุ่มในโดยการได้รับองค์ประกอบแบบสุ่ม : นั่นคือโดย "ผลักไปข้างหน้า" ผ่านเพื่อสร้าง(n) pushforward สร้างพื้นที่ความน่าจะเป็น ด้วย$SO(n)$$\omega\in O(n)$$f$$f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

และ

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

สำหรับทั้งหมด$E \subset \mathfrak{S}^\prime$

สมมติว่าการคูณถูกต้องโดยเป็นการวัด - รักษาและสังเกตว่าในทุกกรณีมันจะตามมาทันทีว่า ,$\mathbb{I}_1$$E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$$E\in\mathfrak{S}^\prime$

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อไม่แปรผันภายใต้การคูณทางขวาใน (ซึ่งเป็นสิ่งที่ "เครื่องแบบ" โดยทั่วไปหมายถึง) ความจริงที่ชัดเจนว่าและสิ่งที่ตรงกันข้าม (ซึ่งเกิดขึ้นกับตัวเอง) เป็นทั้ง orthogonal หมายถึงข้างต้นถือแสดงให้เห็นว่าเหมือนกันเช่นกัน ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเลือกคอลัมน์สุ่มสำหรับการปฏิเสธ$\mathbb{P}$$O(n)$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{P}^\prime$