คำถามที่เกี่ยวข้องกับ Borel-Cantelli Lemma

บันทึก:

Borel-Cantelli Lemma กล่าวว่า

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

จากนั้น

ถ้า

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

โดยใช้ Borel-Cantelli Lemma

ฉันต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า

ประการแรก

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ ที่มีอยู่

และประการที่สอง

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

โปรดช่วยฉันแสดงสองส่วนนี้ ขอขอบคุณ.

— B11b
แหล่งที่มา

ไม่ Borel-Cantelli lemma ไม่ได้พูด (ทั้งหมด) ว่าอย่างน้อยไม่ได้โดยไม่มีการตั้งสมมติฐานเพิ่มเติม

— พระคาร์ดินัล

@ cardinal ดีฉันจะแสดงสองข้อความนี้ได้อย่างไร ได้โปรดอธิบายให้ฉันฟังหน่อยได้ไหม? ฉันไม่มีความคิดใด ๆ เพียงพอ ฉันจะดีใจถ้าคุณแสดงวิธี

— โซลูติน

เพิ่มหนึ่ง "สมมติฐานเพิ่มเติม"

— Zen

ตัวอย่างเล็กน้อย: ดังที่กล่าวไว้ที่นี่เช่นเราจะได้รับโดยอิสระเพียงคู่ของในส่วนที่สองของบทแทรก

A_{n}

$A_n$

— jld

ไม่มีการยืนยันใด ๆ ที่เป็นจริง

ให้เป็นโอกาสของการพลิกเหรียญด้วยความน่าจะเป็นเมื่อเป็นเลขคี่และเมื่อเป็นเลขคู่ แล้ว: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

อย่างไรก็ตามไม่ชัดเจน ที่ดีที่สุดของคุณสามารถสรุปได้0 $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— อเล็กซ์อาร์
แหล่งที่มา