คำถามติดแท็ก probability-inequalities

ฉันกำลังมองหาอสมการความน่าจะเป็นบางอย่างสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มที่ไม่มีขอบเขต ฉันจะซาบซึ้งจริงๆถ้าใครสามารถให้ความคิดกับฉัน ปัญหาของฉันคือการหาขอบเขตบนเอ็กซ์โพเนนเชียลเหนือความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบไม่ จำกัด จำนวน iid ซึ่งอันที่จริงแล้วการคูณของสอง iid Gaussian มีค่าเกินกว่าค่าที่แน่นอนเช่นPr[X≥ϵσ2N]≤exp(?)Pr[X≥ϵσ2N]≤exp⁡(?)\mathrm{Pr}[ X \geq \epsilon\sigma^2 N] \leq \exp(?)ที่X=∑Ni=1wiviX=∑i=1NwiviX = \sum_{i=1}^{N} w_iv_i , wiwiw_iและviviv_iถูกสร้างขึ้นจาก IID N(0,σ)N(0,σ)\mathcal{N}(0, \sigma) ) ฉันพยายามใช้ Chernoff ผูกโดยใช้โมเมนต์สร้างฟังก์ชัน (MGF) ขอบเขตที่ได้รับมาจาก: Pr[X≥ϵσ2N]≤=minsexp(−sϵσ2N)gX(s)exp(−N2(1+4ϵ2−−−−−−√−1+log(1+4ϵ2−−−−−−√−1)−log(2ϵ2)))Pr[X≥ϵσ2N]≤minsexp⁡(−sϵσ2N)gX(s)=exp⁡(−N2(1+4ϵ2−1+log⁡(1+4ϵ2−1)−log⁡(2ϵ2)))\begin{eqnarray} \mathrm{Pr}[ X \geq \epsilon\sigma^2 N] &\leq& \min\limits_s \exp(-s\epsilon\sigma^2 N)g_X(s) \\ &=& \exp\left(-\frac{N}{2}\left(\sqrt{1+4\epsilon^2} -1 + \log(\sqrt{1+4\epsilon^2}-1) - \log(2\epsilon^2)\right)\right) \end{eqnarray} ที่เป็น …

37 probability  mathematical-statistics  probability-inequalities  mgf 

ฉันสนใจในอสมการ Chebyshev รุ่นเดียวของ Cantelliต่อไปนี้: P(X−E(X)≥t)≤Var(X)Var(X)+t2.P(X−E(X)≥t)≤Var(X)Var(X)+t2. \mathbb P(X - \mathbb E (X) \geq t) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{\mathrm{Var}(X) + t^2} \,. โดยทั่วไปถ้าคุณทราบค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของประชากรคุณสามารถคำนวณขอบเขตบนความน่าจะเป็นในการสังเกตค่าที่แน่นอน (นั่นคือความเข้าใจของฉันอย่างน้อย) อย่างไรก็ตามฉันต้องการใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่างแทนค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนประชากรจริง ฉันเดาว่าเนื่องจากสิ่งนี้จะทำให้เกิดความไม่แน่นอนมากขึ้นขอบเขตบนจะเพิ่มขึ้น มีความไม่เท่าเทียมกันคล้ายกับข้างบน แต่นั่นใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนหรือไม่ แก้ไข : อะนาล็อก "ตัวอย่าง" ของความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev (ไม่ใช่ด้านเดียว) ได้ถูกแก้ไขแล้ว หน้าวิกิพีเดียมีรายละเอียดบางอย่าง อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่ามันจะแปลไปยังกรณีด้านเดียวที่ฉันมีข้างต้นได้อย่างไร

32 probability  mathematical-statistics  probability-inequalities  mean 

ให้แสดงถึงฟังก์ชันการแจกแจงทวินาม (DF) พร้อมพารามิเตอร์และประเมินที่ : และปล่อยให้แสดง Poisson DF พร้อมพารามิเตอร์a \ in \ mathbb R ^ +ประเมินที่r \ in \ {0,1,2, \ ldots \} : \ start {equation} F (a , r) = e ^ {- a} \ sum_ {i = 0} ^ r \ frac {a ^ i} {i!} \ end …

30 binomial  poisson-distribution  convergence  probability-inequalities 

ในคลาสสิกคูปองปัญหาสะสมเป็นที่รู้จักกันดีว่าเวลาที่ที่จำเป็นเพื่อให้ชุดของคูปองสุ่มหยิบตอบสนอง ,และC}TTTnnnE[T]∼nlnnE[T]∼nln⁡nE[T] \sim n \ln n Var(T)∼n2Var(T)∼n2Var(T) \sim n^2Pr(T&gt;nlnn+cn)&lt;e−cPr(T&gt;nln⁡n+cn)&lt;e−c\Pr(T > n \ln n + cn) < e^{-c} นี้ถูกผูกไว้บนเป็นดีกว่าที่กำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกันเซฟซึ่งจะเป็นประมาณ 1/c21/c21/c^2 2 คำถามของฉันคือ: มีขอบเขตต่ำกว่าที่ดีกว่า -Chebyshev ที่สอดคล้องกันสำหรับTTT ? (เช่นมีอะไรบางอย่างเช่นPr(T&lt;nlnn−cn)&lt;e−cPr(T&lt;nln⁡n−cn)&lt;e−c\Pr(T < n \ln n - cn) < e^{-c} )?

20 probability  probability-inequalities  coupon-collector-problem 

ลองพิจารณาปัญหาเกี่ยวกับการจำแนกชุดข้อมูล MNIST ตามหน้าเว็บ MNIST ของ Yann LeCun , 'Ciresan et al.' ได้รับอัตราความผิดพลาด 0.23% สำหรับชุดทดสอบ MNIST โดยใช้ Convolutional Neural Network การฝึกอบรมชุดแสดงว่า MNIST Let 's เป็น , MNIST ชุดทดสอบเป็นD ทีอีs Tสมมติฐานสุดท้ายที่พวกเขาได้ใช้D T r ฉันnเป็นเอช1และอัตราความผิดพลาดของพวกเขาใน MNIST ทดสอบตั้งค่าการใช้เอช1เป็นอีทีอีs T ( เอช1 ) = 0.0023DtrainDtrainD_{train}DtestDtestD_{test}DtrainDtrainD_{train}h1h1h_{1}h1h1h_{1}Etest(h1)=0.0023Etest(h1)=0.0023E_{test}(h_{1}) = 0.0023 ในมุมมองของพวกเขาเนื่องจากถูกสุ่มตัวอย่างชุดทดสอบจากพื้นที่อินพุตโดยไม่คำนึงถึงh 1พวกเขาสามารถยืนยันได้ว่าประสิทธิภาพข้อผิดพลาดนอกตัวอย่างของสมมติฐานสุดท้ายของพวกเขาE o u t ( h 1 …

16 machine-learning  classification  overfitting  probability-inequalities 

ฉันกำลังอ่านกระดาษที่ใช้ความไม่เท่าเทียมกันของออราเคิลเพื่อพิสูจน์บางสิ่ง แต่ฉันไม่สามารถเข้าใจสิ่งที่มันกำลังพยายามทำอยู่ เมื่อฉันค้นหาทางออนไลน์เกี่ยวกับ 'Oracle Inequality' บางแหล่งก็นำฉันไปยังบทความ "Candes, Emmanuel J. 'การประมาณทางสถิติสมัยใหม่ผ่านทางอสมการ oracle' "ซึ่งสามารถพบได้ที่นี่https://statweb.stanford.edu/~candes/papers/NonlinearEstimation.pdf แต่หนังสือเล่มนี้ดูเหมือนจะหนักเกินไปสำหรับฉันและฉันเชื่อว่าฉันขาดข้อกำหนดเบื้องต้นบางอย่าง คำถามของฉันคือ: คุณจะอธิบายได้อย่างไรว่าความไม่เท่าเทียมกันของ oracle สำหรับสาขาวิชาที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ (รวมถึงวิศวกร) ประการที่สองวิธีที่คุณแนะนำให้พวกเขาไปเกี่ยวกับข้อกำหนดเบื้องต้น / หัวข้อก่อนที่จะพยายามเรียนรู้บางสิ่งบางอย่างเช่นหนังสือดังกล่าวข้างต้น ฉันขอแนะนำว่าคนที่มีความเข้าใจอย่างเป็นรูปธรรมและมีประสบการณ์ที่ดีในสถิติมิติสูงควรตอบคำถามนี้

15 mathematical-statistics  estimation  probability-inequalities  inequality  oracle 

คำถามนี้เกิดขึ้นจากคำถามที่ถามเกี่ยวกับหน้าที่สร้างช่วงเวลา (MGF) สมมติว่าXXXเป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่มีขอบเขตหมายถึงการรับค่าใน [−σ,σ][−σ,σ][-\sigma, \sigma]และให้G(t)=E[etX]G(t)=E[etX]G(t) = E[e^{tX}]เป็น MGF จากที่ถูกผูกไว้ใช้ในการพิสูจน์ของความไม่เท่าเทียมกันของ Hoeffdingเรามีที่ G(t)=E[etX]≤eσ2t2/2G(t)=E[etX]≤eσ2t2/2G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2} ที่ด้านขวาเป็นที่จดจำได้เป็น MGF ของตัวแปรสุ่มศูนย์เฉลี่ยปกติที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานσσσ\sigmaตอนนี้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของXXXจะไม่ใหญ่กว่าσσ\sigmaด้วยค่าสูงสุดที่เกิดขึ้นเมื่อXXXเป็นตัวแปรสุ่มแบบแยกโดยสิ้นเชิงเช่น P{X=σ}=P{X=−σ}=12P{X=σ}=P{X=−σ}=12P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2} . ดังนั้นขอบเขตที่อ้างถึงสามารถถูกคิดว่าเป็นการกล่าวว่า MGF ของตัวแปรสุ่มที่มีค่าศูนย์ซึ่งหมายถึงขอบเขตXXXถูกล้อมรอบด้วย MGF ของตัวแปรสุ่มค่าเฉลี่ยศูนย์ที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เป็นไปได้สูงสุดที่XXXสามารถ มี. คำถามของฉันคือ: นี่เป็นผลที่รู้จักกันดีของผลประโยชน์อิสระที่ใช้ในสถานที่อื่นนอกเหนือจากการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมของ Hoeffding และถ้าเป็นเช่นนั้นเป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่าจะขยายไปถึงตัวแปรสุ่มด้วยค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ ผลที่แจ้งคำถามนี้จะช่วยให้ช่วงไม่สมมาตร[a,b][a,b][a,b]สำหรับXXXกับ&lt; 0 &lt; Bแต่ไม่ยืนยันในE [ X ] = 0 ผูกพันเป็น G ( …

14 probability  probability-inequalities  mgf 

บันทึก: Borel-Cantelli Lemma กล่าวว่า ∑n=1∞P(An)&lt;∞⇒P(limsupAn)=0∑n=1∞P(An)&lt;∞⇒P(limsupAn)=0\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0 ∑n=1∞P(An)=∞ and An's are independent⇒P(limsupAn)=1∑n=1∞P(An)=∞ and An's are independent⇒P(limsupAn)=1\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1 จากนั้น ถ้า∑n=1∞P(AnAcn+1)&lt;∞∑n=1∞P(AnAn+1c)&lt;∞\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty โดยใช้ Borel-Cantelli Lemma ฉันต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า ประการแรก limn→∞P(An)limn→∞P(An)\lim_{n\to \infty}P(A_n)ที่มีอยู่ และประการที่สอง limn→∞P(An)=P(limsupAn)limn→∞P(An)=P(limsupAn)\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n) โปรดช่วยฉันแสดงสองส่วนนี้ ขอขอบคุณ.

13 probability  self-study  stochastic-processes  probability-inequalities 

ถ้าp(x)p(x)p(x)คือการกระจายความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์ค่าบน[0,+∞)[0,+∞)[0,+\infty)สำหรับสิ่งที่ประเภท (s) ของp(x)p(x)p(x)จะมีอยู่อย่างต่อเนื่องc&gt;0c&gt;0c\gt 0เช่นที่ ∫∞0p(x)logp(x)(1+ϵ)p(x(1+ϵ))dx≤cϵ2∫0∞p(x)log⁡p(x)(1+ϵ)p(x(1+ϵ))dx≤cϵ2\int_0^{\infty}p(x)\log{\frac{ p(x)}{(1+\epsilon)p({x}(1+\epsilon))}}dx \leq c \epsilon^2สำหรับทั้งหมด0&lt;ϵ&lt;10&lt;ϵ&lt;10\lt\epsilon\lt 1? ความไม่เสมอภาคดังกล่าวข้างต้นเป็นจริง Kullback-Leibler แตกต่างระหว่างการกระจายp(x)p(x)p(x)และรุ่นที่ถูกบีบอัดของมัน(1+ϵ)p(x(1+ϵ))(1+ϵ)p(x(1+ϵ)){(1+\epsilon)}p({x}{(1+\epsilon)}) ) ฉันพบว่าความไม่เท่าเทียมกันนี้มีไว้สำหรับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลแกมม่าและไวบูลและฉันสนใจที่จะรู้ว่ามันใช้ได้กับการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีขนาดใหญ่ขึ้นหรือไม่ ความคิดใดที่ความไม่เท่าเทียมนั้นหมายถึงอะไร

12 probability  stochastic-processes  kullback-leibler  probability-inequalities 

ปล่อยเป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม stในความเป็นไปได้โดยที่เป็นค่าคงที่คงที่ ฉันพยายามที่จะแสดงต่อไปนี้: และ ทั้งคู่ในความน่าจะเป็น ฉันมาที่นี่เพื่อดูว่าตรรกะของฉันเป็นเสียงหรือไม่ นี่คืองานของฉัน{Xn}n≥1{Xn}n≥1\{X_n\}_{n\geq 1}Xn→aXn→aX_n \to aa&gt;0a&gt;0a>0Xn−−−√→a−−√Xn→a\sqrt{X_n} \to \sqrt{a}aXn→1aXn→1\frac{a}{X_n}\to 1 พยายาม สำหรับส่วนแรกเรามี สังเกตว่า หลังจากนั้น |Xn−−−√−a−−√|&lt;ϵ⟸|Xn−a|&lt;ϵ|Xn−−−√+a−−√|=ϵ|(Xn−−−√−sqrta)+2a−−√||Xn−a|&lt;ϵ⟸|Xn−a|&lt;ϵ|Xn+a|=ϵ|(Xn−sqrta)+2a||\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|\sqrt{X_n}+\sqrt{a}|=\epsilon|(\sqrt{X_n}-sqrt{a})+2\sqrt{a}| ≤ϵ|Xn−−−√−a−−√|+2ϵa−−√&lt;ϵ2+2ϵa−−√≤ϵ|Xn−a|+2ϵa&lt;ϵ2+2ϵa\leq \epsilon|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|+2\epsilon\sqrt{a}<\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}ϵ2+2ϵa−−√&gt;ϵa−−√ϵ2+2ϵa&gt;ϵa\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}>\epsilon\sqrt{a}P(|Xn−−−√−a−−√|≤ϵ)≥P(|Xn−a|≤ϵa−−√)→1asn→∞P(|Xn−a|≤ϵ)≥P(|Xn−a|≤ϵa)→1asn→∞P(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\leq \epsilon)\geq P(|X_n-a|\leq \epsilon\sqrt{a})\to 1 \;\;as\;n\to\infty ⟹Xn−−−√→a−−√inprobability⟹Xn→ainprobability\implies \sqrt{X_n}\to\sqrt{a} \;\;in\;probability สำหรับส่วนที่สองเรามี ตอนนี้เนื่องจากเป็นเรามีเป็นลำดับล้อมรอบ ในคำอื่น ๆ ที่มีอยู่เป็นจำนวนจริง STM ดังนั้น ดูที่ความน่าจะเป็นเรามี |aXn−1|=|Xn−aXn|&lt;ϵ⟸|Xn−a|&lt;ϵ|Xn||aXn−1|=|Xn−aXn|&lt;ϵ⟸|Xn−a|&lt;ϵ|Xn||\frac{a}{X_n}-1|=|\frac{X_n-a}{X_n}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|X_n|Xn→aXn→aX_n \to an→∞n→∞n \to \inftyXnXnX_nM&lt;∞M&lt;∞M<\infty|Xn|≤M|Xn|≤M|X_n|\leq M|Xn−a|&lt;ϵ|Xn|⟸|Xn−a|&lt;ϵM|Xn−a|&lt;ϵ|Xn|⟸|Xn−a|&lt;ϵM|X_n-a|<\epsilon|X_n|\impliedby |X_n-a|<\epsilon MP(|aXn−1|&gt;ϵ)=P(|Xn−a|&gt;ϵ|Xn|)≤P(|Xn−a|&gt;ϵM)→0asn→∞P(|aXn−1|&gt;ϵ)=P(|Xn−a|&gt;ϵ|Xn|)≤P(|Xn−a|&gt;ϵM)→0asn→∞P(|\frac{a}{X_n}-1|>\epsilon)=P(|X_n-a|>\epsilon|X_n|)\leq P(|X_n-a|>\epsilon M)\to …

12 random-variable  convergence  asymptotics  probability-inequalities  coverage-probability 

สมมติว่าเรามี IID ตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายtheta) เราจะสังเกตตัวอย่างของในวิธีต่อไปนี้ให้เป็นอิสระตัวแปรสุ่มสมมติว่าและของ มีความเป็นอิสระและกำหนดขนาดของกลุ่มตัวอย่างY_i 's ระบุของ ' s อยู่ในตัวอย่างและเราต้องการที่จะศึกษาส่วนของความสำเร็จในตัวอย่างที่กำหนดโดย X1,…,XnX1,…,XnX_1,\dots,X_nBer(θ)Ber(θ)\mathrm{Ber}(\theta)XiXiX_iY1,…,YnY1,…,YnY_1,\dots,Y_nBer(1/2)Ber(1/2)\mathrm{Ber}(1/2)XiXiX_iYiYiY_iN=∑ni=1YiN=∑i=1nYiN=\sum_{i=1}^n Y_iYiYiY_iXiXiX_iZ={1N∑ni=1XiYi0ifN&gt;0,ifN=0.Z={1N∑i=1nXiYiifN&gt;0,0ifN=0. Z = \begin{cases} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^n X_i Y_i & \text{if}\quad N > 0\, , \\ 0 & \text{if} \quad N = 0 \, . \end{cases} สำหรับ , เราต้องการที่จะหาที่ถูกผูกไว้บนสำหรับที่สูญสลายชี้แจงกับnความไม่เสมอภาคของ Hoeffding ไม่ได้ใช้งานได้ทันทีเนื่องจากการพึ่งพาระหว่างตัวแปรϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon>0Pr(Z≥θ+ϵ)Pr(Z≥θ+ϵ)\mathrm{Pr}\!\left(Z \geq \theta + \epsilon\right)nnn

12 probability-inequalities 

ด้วยจิตวิญญาณของคำถามนี้การทำความเข้าใจหลักฐานของบทแทรกที่ใช้ในความไม่เท่าเทียมกันของ Hoeffdingฉันพยายามทำความเข้าใจขั้นตอนที่นำไปสู่ความไม่เท่าเทียมของ Hoeffding สิ่งที่เก็บความลึกลับที่สุดสำหรับฉันในการพิสูจน์คือส่วนที่ช่วงเวลาเลขชี้กำลังถูกคำนวณเพื่อหาผลรวมของตัวแปร iid ซึ่งหลังจากนั้นจะใช้ความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟ เป้าหมายของฉันคือการเข้าใจ: ทำไมเทคนิคนี้ให้ความไม่เท่าเทียมกันแน่น คำอธิบายทั่วไปหมายถึงช่วงเวลาที่สร้างคุณสมบัติของเลขชี้กำลัง แต่ฉันก็พบว่ามันคลุมเครือเกินไป โพสต์ในบล็อกของเต่าhttp://terrytao.wordpress.com/2010/01/03/254a-notes-1-concentration-of-measure/#hoeffอาจมีคำตอบ ด้วยเป้าหมายนี้ในใจคำถามของฉันคือประมาณสามจุดในโพสต์ของเทาที่ฉันติดอยู่และที่ฉันหวังว่าจะให้ข้อมูลเชิงลึกเมื่ออธิบาย เทาได้รับอสมการต่อไปนี้โดยใช้ช่วงเวลา k-th ถ้านี่เป็นเรื่องจริงสำหรับ k ใด ๆ เขาจะสรุปขอบเขตของเลขชี้กำลัง นี่คือที่ฉันหลงทาง P(|Sn|≥λn−−√)≤2(ek/2−−−−√λ)k. (7)P(|Sn|≥λn)≤2(ek/2λ)k. (7)\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq 2 (\frac{\sqrt{ek/2}}{\lambda})^k. \ \ \ \ \ (7)P(|Sn|≥λn−−√)≤Cexp(−cλ2) (8)P(|Sn|≥λn)≤Cexp⁡(−cλ2) (8)\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq C …

12 probability  probability-inequalities 

มีอะนาล็อกในช่วงเวลาที่อสมการของ Chebyshev ที่สูงกว่าในกรณีด้านเดียวหรือไม่? ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev-Cantelli นั้นดูเหมือนจะทำงานเพื่อความแปรปรวนได้เท่านั้นในขณะที่ความไม่เท่าเทียมของ Chebyshevs นั้นสามารถสร้างขึ้นได้อย่างง่ายดายสำหรับเลขชี้กำลังทั้งหมด ไม่มีใครรู้ถึงความไม่เท่าเทียมด้านเดียวโดยใช้ช่วงเวลาที่สูงขึ้นหรือไม่?

12 approximation  moments  probability-inequalities 

ฉันกำลังศึกษาบันทึกการบรรยายของ Larry Wasserman เกี่ยวกับสถิติที่ใช้ Casella และ Berger เป็นข้อความหลัก ฉันกำลังทำงานผ่านบันทึกการบรรยายของเขาชุดที่ 2และติดอยู่ในการได้มาของบทแทรกที่ใช้ในความไม่เท่าเทียมกันของ Hoeffding (pp.2-3) ฉันกำลังทำซ้ำการพิสูจน์ในหมายเหตุด้านล่างและหลังจากการพิสูจน์ฉันจะชี้ให้เห็นว่าฉันติดอยู่ที่ไหน บทแทรก สมมติว่าและเป็น \ le X \ le ข แล้ว \ mathbb {E} (จ ^ {tX}) \ le E ^ {t ^ 2 (BA) ^ 2/8}≤ X ≤ ขE ( อีทีเอ็กซ์ ) ≤ อีที2 ( ข- ) 2 …

11 probability  probability-inequalities 

ให้สองการแจกแจงแบบต่อเนื่องและ , มันไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าความสัมพันธ์ของการปกครองนูนในหมู่พวกเขา:FXFX\mathcal{F}_XFYFY\mathcal{F}_Y (0)FX&lt;cFY(0)FX&lt;cFY(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y หมายความว่า (1)F−1Y(q)≤F−1X(q),∀q∈[0.5,1](1)FY−1(q)≤FX−1(q),∀q∈[0.5,1](1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1] ถือหรือถ้ามีสมมติฐานเพิ่มเติมที่จำเป็นหากจะถือ?(1)(1)(1) นิยามของการปกครองแบบนูน หากการกระจายอย่างต่อเนื่องสองครั้งและพึงพอใจ:FXFX\mathcal{F}_XFYFY\mathcal{F}_Y (2)F−1YFX(x) is convex in x(2)FY−1FX(x) is convex in x(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x [0] จากนั้นเราเขียน: FX&lt;cFYFX&lt;cFYF_X <_c F_Y และบอกว่าที่ถูกต้องมากขึ้นกว่าเบ้\เนื่องจากและคือการแจกแจงความน่าจะเป็นก็หมายความว่าอนุพันธ์ของเป็นการลดความและไม่ใช่เชิงลบ [1], คือนูน [2],และข้ามกันอย่างมากสองครั้ง [2] และ [2] สำหรับ :FYFY\mathcal{F}_YFXFX\mathcal{F}_XFXFXF_XFYFYF_Y(2)(2)(2)F−1YFX(x)FY−1FX(x)F_Y^{-1}F_X(x)F−1YFX(x)−xFY−1FX(x)−xF_Y^{-1}F_X(x)-xFXFXF_XFaY+bFaY+bF_{aY+b} ∀ p ∈ [ …

10 probability  probability-inequalities  distributions