ก่อนที่จะพิสูจน์บางสิ่งที่น่าสนใจให้สังเกตว่าแทบจะแน่นอนสำหรับทุกคนที่ไม่ได้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับทั้งสองงบที่จะทำให้รู้สึกซึ่งลำดับการกำหนดแสดงXi>0i(−1,−1,1,1,1,…)
นอกจากนี้ยังมีคำสั่งที่เป็นจริงเท็จโดยทั่วไปเป็นลำดับที่กำหนดดังต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์:dots)(0,1,1,…)
ทีนี้สมมติว่าเกือบจะแน่นอนสำหรับทั้งหมดดังนั้นข้อความสั่งนั้นเป็นจริงโดยอาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้:Xi>0i
กำหนดโดยความสอดคล้องของ ,เกือบแน่นอน ดังนั้นโดยผลลัพธ์ของCesaro นั้นหมายถึงการพิสูจน์ในความคิดเห็นข้างต้น ดังนั้นด้วยความต่อเนื่องของ ,เกือบแน่นอน
Sn=1n∑i=1nlog(Xi).
x↦log(x)log(Xn)→log(X)Sn→log(X)x↦exp(x)(∏i=1nXi)1/n→X,