พิสูจน์หรือระบุตัวอย่าง:

ถ้าดังนั้น $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

ความพยายามของฉัน :

เท็จ: สมมติว่าสามารถรับเฉพาะค่าลบและสมมติว่า $X$ $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

จากนั้นอย่างไรก็ตามสำหรับ ,ไม่ได้เป็นลบอย่างเด็ดขาด แต่จะสลับเป็นค่าลบกับศูนย์และลบ ดังนั้นไม่ได้มาบรรจบเกือบแน่นอนX $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $n$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $X$

นี่เป็นคำตอบที่สมเหตุสมผลหรือไม่? ถ้าไม่ฉันจะปรับปรุงคำตอบของฉันได้อย่างไร

self-study convergence geometric-mean

— Lewkrr
แหล่งที่มา

X_{i}

$X_i$ ต้องเป็นบวกอย่างเคร่งครัดเพื่อให้มีความหมาย

— user765195

แน่นอนคุณต้องเพื่อกำหนดอย่างถูกต้อง ก่อนอื่นพิสูจน์ว่าเป็นเป็น (google "Cesaro หมายถึง" ในการวิเคราะห์จริงและปรับอาร์กิวเมนต์) จากนั้นพิจารณาG_n

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

— Zen

ที่จำเป็นในผลการวิเคราะห์เชิงจริงคือ: ถ้าแล้วL พิสูจน์: สำหรับการใด ๆจะมีเช่นที่สำหรับทุกn_0 ดังนั้น 2 ดังนั้นถ้าเราเลือกดังนั้นสำหรับทุกn_1

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

— Zen

ปรีชาคือคุณกำลังคำนวณค่าเฉลี่ยโดยมีมากขึ้นเรื่อย ๆที่อยู่ใกล้กับมากขึ้นและพวกเขาก็จบลงด้วยการครอบครองผลลัพธ์

x_{i}

$x_i$

L

$L$

— Zen

คำตอบ:

ก่อนที่จะพิสูจน์บางสิ่งที่น่าสนใจให้สังเกตว่าแทบจะแน่นอนสำหรับทุกคนที่ไม่ได้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับทั้งสองงบที่จะทำให้รู้สึกซึ่งลำดับการกำหนดแสดง $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

นอกจากนี้ยังมีคำสั่งที่เป็นจริงเท็จโดยทั่วไปเป็นลำดับที่กำหนดดังต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์:dots) $(0, 1, 1, \dots)$

ทีนี้สมมติว่าเกือบจะแน่นอนสำหรับทั้งหมดดังนั้นข้อความสั่งนั้นเป็นจริงโดยอาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้: $X_i >0$ $i$

กำหนดโดยความสอดคล้องของ ,เกือบแน่นอน ดังนั้นโดยผลลัพธ์ของCesaro นั้นหมายถึงการพิสูจน์ในความคิดเห็นข้างต้น ดังนั้นด้วยความต่อเนื่องของ ,เกือบแน่นอน

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

— Ekvall
แหล่งที่มา

การอ้างสิทธิ์นี้เป็นเท็จ ฉันให้หลักฐานด้วยการแสดงตัวอย่าง

สมมติว่าสุ่มลำดับถูกกำหนดดังนี้: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

เห็นได้ชัดว่าคือ (1) เสื่อมโทรมและ (2) ลู่เข้าหาอย่างแน่นอนเพราะโดยกฎหมายที่แข็งแกร่งของ Chebyshev (หากต้องการดูสิ่งนี้ให้เขียนสำหรับ ) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

อย่างไรก็ตามเนื่องจาก ,{N} ดังนั้นดังนั้นมันจะอยู่ในขอบเขตที่มาบรรจบกันเป็นนั่นคือ0 $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

— Jeremias K
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าคุณจะลืมเลขยกกำลัง

1 / n

$1/n$

— whuber

ขอบคุณ whuber ฉันแก้ไข :) ฉันควรทำงานอย่างจริงจังในการอ่านสิ่งต่าง ๆ อย่างรอบคอบมากขึ้น ... ฉันยังพิสูจน์ให้เห็นว่าคำสั่งนี้ไม่ได้เก็บไว้สำหรับเพราะฉัน อ่านไม่ถูกต้อง

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

— Jeremias K

ขอบคุณ การคำนวณทั้งหมดเหล่านี้ดูเหมือนจะคลุมเครือแนวคิดง่ายๆ: ถ้าไม่ใช่ศูนย์คุณจะไม่เปลี่ยนขีด จำกัด โดยการเปลี่ยนจำนวน จำกัด ใด ๆ ของเป็นศูนย์ แต่จะทำให้ผลิตภัณฑ์เป็นศูนย์และคุณจะได้รับความขัดแย้ง ยุติธรรมพอสมควร อย่างไรก็ตามหากเราไม่ได้รับการบอกกล่าวเป็นอย่างอื่นข้อความเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นควรจะเข้าใจเป็นแถลงการณ์เกี่ยวกับผลรวมไม่สิ้นสุดของลอการิทึม โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสนใจในคำถามนี้มุ่งเน้นไปที่กรณีที่ทุกเกือบจะแน่นอนในเชิงบวกอย่างเคร่งครัด

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

— whuber

@ คนที่ความคิดเห็นล่าสุดนั้นน่าสนใจ เป็นกรณีที่ข้อ จำกัด ของผลิตภัณฑ์เป็นไปตามการประชุมหรือโดยนิยาม (?) เข้าใจในแง่ของลอการิทึมหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันจะเปลี่ยนถ้อยคำของคำตอบข้างต้นด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งการอุทธรณ์ครั้งสุดท้ายต่อความต่อเนื่องจะไม่จำเป็น

— ekvall

@ นักเรียนเหตุผลในคำตอบของคุณดี ในแอปพลิเคชั่นทางสถิติมันหายากที่ทุกคนจะมองถึงขีด จำกัด ของวิธีการทางเรขาคณิตเว้นแต่ว่าพวกเขากำลังคิดในแง่ของลอการิทึมอยู่แล้ว

— whuber