10

พิสูจน์หรือระบุตัวอย่าง:

ถ้าดังนั้นXn a.s. X(i=1nXi)1/n a.s. X

ความพยายามของฉัน :

เท็จ: สมมติว่าสามารถรับเฉพาะค่าลบและสมมติว่าXXnX n

จากนั้นอย่างไรก็ตามสำหรับ ,ไม่ได้เป็นลบอย่างเด็ดขาด แต่จะสลับเป็นค่าลบกับศูนย์และลบ ดังนั้นไม่ได้มาบรรจบเกือบแน่นอนXXn a.s. Xn(i=1nXi)1/n(i=1nXi)1/nX

นี่เป็นคำตอบที่สมเหตุสมผลหรือไม่? ถ้าไม่ฉันจะปรับปรุงคำตอบของฉันได้อย่างไร


4
Xiต้องเป็นบวกอย่างเคร่งครัดเพื่อให้มีความหมาย
user765195

2
แน่นอนคุณต้องเพื่อกำหนดอย่างถูกต้อง ก่อนอื่นพิสูจน์ว่าเป็นเป็น (google "Cesaro หมายถึง" ในการวิเคราะห์จริงและปรับอาร์กิวเมนต์) จากนั้นพิจารณาG_n G n = ( n i = 1 X i ) 1 / n A n = n i = 1 X n / n X L n = บันทึกG nXi>0Gn=(i=1nXi)1/nAn=i=1nXn/nXLn=logGn
Zen

1
ที่จำเป็นในผลการวิเคราะห์เชิงจริงคือ: ถ้าแล้วL พิสูจน์: สำหรับการใด ๆจะมีเช่นที่สำหรับทุกn_0 ดังนั้น 2 ดังนั้นถ้าเราเลือกดังนั้นสำหรับทุกn_1 xnLi=1nxi/nLϵ>0n01|xnL|<ϵ/2nn0|i=1nxi/nL|i=1n0|xiL|/n+i=n0+1n|xiL|/n<n0max1in0|xiL|/n+ϵ/2n1>2n0max1in0|xiL|/ϵ|i=1nxi/nL|<ϵnn1
Zen

ปรีชาคือคุณกำลังคำนวณค่าเฉลี่ยโดยมีมากขึ้นเรื่อย ๆที่อยู่ใกล้กับมากขึ้นและพวกเขาก็จบลงด้วยการครอบครองผลลัพธ์ xiL
Zen

คำตอบ:


3

ก่อนที่จะพิสูจน์บางสิ่งที่น่าสนใจให้สังเกตว่าแทบจะแน่นอนสำหรับทุกคนที่ไม่ได้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับทั้งสองงบที่จะทำให้รู้สึกซึ่งลำดับการกำหนดแสดงXi>0i(1,1,1,1,1,)

นอกจากนี้ยังมีคำสั่งที่เป็นจริงเท็จโดยทั่วไปเป็นลำดับที่กำหนดดังต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์:dots)(0,1,1,)

ทีนี้สมมติว่าเกือบจะแน่นอนสำหรับทั้งหมดดังนั้นข้อความสั่งนั้นเป็นจริงโดยอาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้:Xi>0i

กำหนดโดยความสอดคล้องของ ,เกือบแน่นอน ดังนั้นโดยผลลัพธ์ของCesaro นั้นหมายถึงการพิสูจน์ในความคิดเห็นข้างต้น ดังนั้นด้วยความต่อเนื่องของ ,เกือบแน่นอน

Sn=1ni=1nlog(Xi).
xlog(x)log(Xn)log(X)Snlog(X)xexp(x)
(i=1nXi)1/nX,

0

การอ้างสิทธิ์นี้เป็นเท็จ ฉันให้หลักฐานด้วยการแสดงตัวอย่าง

สมมติว่าสุ่มลำดับถูกกำหนดดังนี้:Xi

ZiN(0,1/i),iid,iNXi=1{i1}+1{i1}Zi,iN

เห็นได้ชัดว่าคือ (1) เสื่อมโทรมและ (2) ลู่เข้าหาอย่างแน่นอนเพราะโดยกฎหมายที่แข็งแกร่งของ Chebyshev (หากต้องการดูสิ่งนี้ให้เขียนสำหรับ )XiX=1iZi=i0.5ZZN(0,1)

อย่างไรก็ตามเนื่องจาก ,{N} ดังนั้นดังนั้นมันจะอยู่ในขอบเขตที่มาบรรจบกันเป็นนั่นคือ0 X1=0Πi=1nXi=0,nN(Πi=1nXi)1/n=0,nN0limn(Πi=1nXi)1/n=0


2
ดูเหมือนว่าคุณจะลืมเลขยกกำลัง1/n
whuber

ขอบคุณ whuber ฉันแก้ไข :) ฉันควรทำงานอย่างจริงจังในการอ่านสิ่งต่าง ๆ อย่างรอบคอบมากขึ้น ... ฉันยังพิสูจน์ให้เห็นว่าคำสั่งนี้ไม่ได้เก็บไว้สำหรับเพราะฉัน อ่านไม่ถูกต้อง Πi=1nXi1/i
Jeremias K

ขอบคุณ การคำนวณทั้งหมดเหล่านี้ดูเหมือนจะคลุมเครือแนวคิดง่ายๆ: ถ้าไม่ใช่ศูนย์คุณจะไม่เปลี่ยนขีด จำกัด โดยการเปลี่ยนจำนวน จำกัด ใด ๆ ของเป็นศูนย์ แต่จะทำให้ผลิตภัณฑ์เป็นศูนย์และคุณจะได้รับความขัดแย้ง ยุติธรรมพอสมควร อย่างไรก็ตามหากเราไม่ได้รับการบอกกล่าวเป็นอย่างอื่นข้อความเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นควรจะเข้าใจเป็นแถลงการณ์เกี่ยวกับผลรวมไม่สิ้นสุดของลอการิทึม โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสนใจในคำถามนี้มุ่งเน้นไปที่กรณีที่ทุกเกือบจะแน่นอนในเชิงบวกอย่างเคร่งครัด XXiXi
whuber

@ คนที่ความคิดเห็นล่าสุดนั้นน่าสนใจ เป็นกรณีที่ข้อ จำกัด ของผลิตภัณฑ์เป็นไปตามการประชุมหรือโดยนิยาม (?) เข้าใจในแง่ของลอการิทึมหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันจะเปลี่ยนถ้อยคำของคำตอบข้างต้นด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งการอุทธรณ์ครั้งสุดท้ายต่อความต่อเนื่องจะไม่จำเป็น
ekvall

@ นักเรียนเหตุผลในคำตอบของคุณดี ในแอปพลิเคชั่นทางสถิติมันหายากที่ทุกคนจะมองถึงขีด จำกัด ของวิธีการทางเรขาคณิตเว้นแต่ว่าพวกเขากำลังคิดในแง่ของลอการิทึมอยู่แล้ว
whuber
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.