ม้วนตาย 6 ด้านจนรวมM หมายถึงจำนวนที่เกินหรือไม่

นี่คือคำถาม:

คุณหมุนลูกเต๋า 6 ด้านอย่างยุติธรรมซ้ำ ๆ จนกว่าผลรวมของลูกเต๋าจะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ M ค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวมลบด้วย M คืออะไรเมื่อ M = 300

ฉันควรเขียนรหัสเพื่อตอบคำถามประเภทนี้หรือไม่?

กรุณาให้คำแนะนำกับฉัน ขอบคุณ!

แน่นอนคุณสามารถใช้รหัส แต่ฉันจะไม่จำลอง

ฉันจะไม่สนใจส่วน "ลบ M" (คุณสามารถทำได้อย่างง่ายดายพอในตอนท้าย)

คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่เกิดซ้ำได้ง่ายมาก แต่คำตอบจริง (จนถึงระดับความแม่นยำสูง) สามารถคำนวณได้จากการใช้เหตุผลอย่างง่าย

ให้ม้วนเป็น. Let S T = Σ ทีฉัน= 1 Xฉัน$X_1, X_2, ...$$S_t=\sum_{i=1}^t X_i$

ให้เป็นดัชนีที่เล็กที่สุดที่S τ ≥ M$\tau$$S_\tau\geq M$

$P(S_\tau=M)=P(\text{got to }M-6\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }6) \\\qquad\qquad\qquad+ P(\text{got to }M-5\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }5)\\\qquad\qquad\qquad +\:\: \vdots\\\qquad\qquad\qquad+\:P(\text{got to }M-1\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }1)\\ \qquad\qquad\quad=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^6 P(S_{\tau-1}=M-j)$

เหมือนกับ

$P(S_\tau=M+1)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^5 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+2)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^4 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+3)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^3 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+4)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^2 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+5)=\frac{1}{6} P(S_{\tau-1}=M-1)$

สมการที่คล้ายกับอันแรกที่กล่าวมานั้น (อย่างน้อยก็ในหลักการ) สามารถถูกเรียกกลับมาได้จนกว่าคุณจะเริ่มต้นเงื่อนไขใด ๆ เพื่อรับความสัมพันธ์ทางพีชคณิตระหว่างเงื่อนไขเริ่มต้นและความน่าจะเป็นที่เราต้องการ (ซึ่งจะน่าเบื่อ หรือคุณสามารถสร้างสมการการส่งต่อที่สอดคล้องกันและเรียกใช้ไปข้างหน้าจากเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งเป็นเรื่องง่ายที่จะทำตัวเลข (และเป็นวิธีที่ฉันตรวจสอบคำตอบของฉัน) อย่างไรก็ตามเราสามารถหลีกเลี่ยงได้ทั้งหมด

ความน่าจะเป็นของคะแนนนั้นใช้ค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็นก่อนหน้า สิ่งเหล่านี้ (ทางเรขาคณิตอย่างรวดเร็ว) จะลดความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นจากการแจกแจงเริ่มต้น (ความน่าจะเป็นทั้งหมด ณ จุดศูนย์ในกรณีที่เกิดปัญหาของเรา)

สำหรับการประมาณ (แม่นยำมาก) เราสามารถพูดได้ว่าถึงM - 1น่าจะเป็นไปได้เกือบเท่ากันในเวลาτ - 1 (ใกล้เคียงจริง ๆ ) และจากข้างบนเราสามารถเขียนลงได้ว่าความน่าจะเป็น ใกล้เคียงกับการมีอัตราส่วนอย่างง่ายและเนื่องจากมันจะต้องเป็นมาตรฐานเราจึงสามารถเขียนความน่าจะเป็นลงไปได้$M-6$$M-1$$\tau-1$

ซึ่งก็คือเราจะเห็นได้ว่าหากความน่าจะเป็นของการเริ่มต้นจากถึงM - 1มีค่าเท่ากันมี 6 วิธีที่เป็นไปได้ที่เท่าเทียมกันในการเข้าสู่M , 5 ของการเข้าสู่M + 1และอื่น ๆ 1 วิธีการเดินทางไปยังM + 5$M-6$$M-1$$M$$M+1$$M+5$

นั่นคือความน่าจะเป็นที่อยู่ในอัตราส่วน 6: 5: 4: 3: 2: 1 และรวมเป็น 1 ดังนั้นมันจึงเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะเขียนลงไป

การคำนวณมันอย่างแม่นยำ (ขึ้นอยู่กับข้อผิดพลาดรอบตัวเลขสะสม) โดยการเรียกใช้ความน่าจะเป็นแบบเรียกซ้ำไปข้างหน้าจากศูนย์ (ฉันทำใน R) ให้ความแตกต่างตามลำดับของ.Machine$double.eps( บนเครื่องของฉัน) จากการประมาณข้างต้น การให้เหตุผลตามบรรทัดข้างต้นให้คำตอบที่ถูกต้องอย่างมีประสิทธิภาพเนื่องจากใกล้เคียงกับคำตอบที่คำนวณจากการเรียกซ้ำตามที่เราคาดหวังว่าคำตอบที่แน่นอนควรเป็น)$\approx$2.22e-16

นี่คือรหัสของฉันสำหรับสิ่งนั้น (ส่วนใหญ่เป็นเพียงการเริ่มต้นตัวแปรงานทั้งหมดในหนึ่งบรรทัด) รหัสเริ่มต้นหลังจากม้วนแรก (เพื่อช่วยฉันวางในเซลล์ 0 ซึ่งเป็นความรำคาญเล็ก ๆ ที่จะจัดการกับใน R); ในแต่ละขั้นตอนจะใช้เซลล์ต่ำสุดซึ่งสามารถครอบครองและเคลื่อนที่ไปข้างหน้าโดย die roll (การกระจายความน่าจะเป็นของเซลล์นั้นในอีก 6 เซลล์ถัดไป):

 p = array(data = 0, dim = 305)
 d6 = rep(1/6,6)
 i6 = 1:6
 p[i6] = d6
 for (i in 1:299) p[i+i6] = p[i+i6] + p[i]*d6

(เราสามารถใช้rollapply(จากzoo) ทำสิ่งนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น - หรือฟังก์ชั่นอื่น ๆ อีกมากมาย - แต่มันจะง่ายกว่าในการแปลถ้าฉันบอกไว้ชัดเจน)

โปรดทราบว่าd6เป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบแยกส่วนมากกว่า 1 ถึง 6 ดังนั้นโค้ดภายในลูปในบรรทัดสุดท้ายจะสร้างค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าก่อนหน้า มันคือความสัมพันธ์นี้ที่ทำให้ความน่าจะเป็นเป็นไปอย่างราบรื่น (จนกระทั่งมีค่าน้อยสุดท้ายที่เราสนใจ)

นี่คือค่า 50 คี่แรก (25 ค่าแรกที่มีเครื่องหมายวงกลม) ที่แต่ละค่าบนแกน y แสดงถึงความน่าจะเป็นที่สะสมในเซลล์ hindmost ก่อนที่เราจะกลิ้งไปข้างหน้าใน 6 เซลล์ถัดไป$t$

เมื่อคุณเห็นว่ามันราบรื่น (ต่อ , ส่วนกลับของค่าเฉลี่ยของจำนวนขั้นตอนที่แต่ละม้วนตายจะพาคุณ) ค่อนข้างเร็วและคงที่$1/\mu$

และเมื่อเรากดความน่าจะเป็นเหล่านั้นก็จะหายไป (เพราะเราไม่ได้ใส่ความน่าจะเป็นสำหรับค่าที่Mและไปข้างหน้าในทางกลับกัน)$M$$M$

ดังนั้นความคิดที่ว่าค่าที่ถึงM - 6น่าจะเท่ากันเพราะความผันผวนจากสภาพเริ่มแรกจะราบรื่นขึ้นจะเห็นได้ชัดว่าเป็นกรณี$M-1$$M-6$

เนื่องจากเหตุผลไม่ได้ขึ้นอยู่กับอะไร แต่มีขนาดใหญ่พอที่เงื่อนไขเริ่มต้นจะถูกล้างออกเพื่อให้M - 1ถึงM - 6มีความเป็นไปได้เกือบเท่ากันในเวลาτ - 1การกระจายจะเหมือนกันสำหรับขนาดใหญ่ใด ๆMตามที่ Henry แนะนำไว้ในความคิดเห็น$M$$M-1$$M-6$$\tau-1$$M$

ในการหวนกลับคำใบ้ของเฮนรี่ (ซึ่งอยู่ในคำถามของคุณด้วย) ที่จะทำงานกับผลรวมลบ M จะช่วยได้เล็กน้อย คุณสามารถดำเนินการต่อโดยให้และเขียนสมการที่คล้ายกันที่เกี่ยวข้องกับR 0ไปยังค่าก่อนหน้าและอื่น ๆ$R_t=S_t-M$$R_0$

จากการแจกแจงความน่าจะเป็นค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของความน่าจะเป็นนั้นง่าย

แก้ไข: ฉันคิดว่าฉันควรให้ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตำแหน่งสุดท้ายลบ :$M$

ค่าเฉลี่ยที่เกินเชิงซีโมติกเท่ากับและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ2$\frac{5}{3}$$\frac{2\sqrt 5}{3}$$M=300$

$\Omega$$0$$n$$E_n$$n$

$$E_n = \{\omega\in\Omega\,|\, n \in \omega\}.$$

$X_M(\omega)$$\omega$$M$$X_M-M$$X_M$

$X_M(\omega) - M \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$$X_M - M = k$$\omega$$p(i) = 1/6$$i$$i=1, 2, 3, 4, 5, 6$

$$\Pr(X_M - M = k) = \sum_{j=k}^6 \Pr(E_{M+k-j}) p(j) = \frac{1}{6} \sum_{j=k}^6 \Pr(E_{M+k-j}).$$

$M$

$$\Pr(E_i) \approx 2/7.$$ $(1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2$$\omega$

$E_i$$E_{i-1}$$1$$E_{i-2}$$2$$E_{i-6}$$6$

$$\Pr(E_i) = \sum_{j=1}^6 \Pr(E_{i-j}) p(j) = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^6 \Pr(E_{i-j}).$$

ค่าเริ่มต้นของลำดับนี้คือ

$$\Pr(E_0) = 1;\quad \Pr(E_{-i}) = 0, i = 1, 2, 3, \ldots .$$

$\Pr(E_i)$$i$$2/7$

$\Pr(E_i)$$i^\text{th}$

$$x^6 - p(1) x^5 - p(2) x^4 - p(3) x^3 \cdots - p(6) = x^6 - (x^5 + x^4+x^3+x^2+x+1)/6.$$

$\exp(-0.314368)$$\exp(-36.05)$$i \gg -36.05 / -0.314368 = 115$$2/7$

$M = 300 \gg 115$$E_{M+k-j} = 2/7$

$$\Pr(X_M - M = (0,1,2,3,4,5)) = \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{1}{6}\right)(6,5,4,3,2,1).$$

การคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงนี้ตรงไปตรงมาและง่ายดาย

---

R$M+5 = 305$$X_{300} - 300$$\chi^2$$0.1367$

M <- 300
n.iter <- 1e5
set.seed(17)
n <- ceiling((2/7) * (M + 3*sqrt(M)))
dice <- matrix(ceiling(6*runif(n*n.iter)), n, n.iter)
omega <- apply(dice, 2, cumsum)
omega <- omega[, apply(omega, 2, max) >= M+5]
omega[omega < M] <- NA
x <- apply(omega, 2, min, na.rm=TRUE)
count <- tabulate(x)[0:5+M]
(cbind(count, expected=round((2/7) * (6:1)/6 * length(x), 1)))
chisq.test(count, p=(2/7) * (6:1)/6)