การอ้างอิง: ส่วนท้ายของ c ผกผัน

ฉันเกือบจะแน่ใจว่าฉันได้เห็นผลลัพธ์ต่อไปนี้ในสถิติ แต่ฉันจำไม่ได้ว่าอยู่ที่ไหน

ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มแบบบวกและดังนั้นเมื่อโดยที่คือ CDF ของX $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

นี้เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นทางเรขาคณิตโดยใช้ความเสมอภาคและโดยพิจารณาตัดแนวนอนที่ของพื้นที่ใต้เส้นโค้งของ integrand 1-F $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

คุณรู้จักการอ้างอิงสำหรับผลลัพธ์นี้และมีชื่อหรือไม่

— Stéphane Laurent
แหล่งที่มา

"โดยทั่วไป" เป็นแอปพลิเคชันการรวมกลุ่มที่ง่าย แทบจะไม่ต้องการการอ้างอิง!

— whuber

@ คนที่ฉันขออ้างอิงเกี่ยวกับผลลัพธ์แรกเกินไป

— Stéphane Laurent

คุณอาจจะได้เห็นมันหรือบางสิ่งบางอย่างที่น้อยมากเช่นนั้นที่stats.stackexchange.com/questions/18438 ผลลัพธ์นั้นเกิดจากการทดแทนในอินทิกรัลซึ่งอีกครั้งก็เป็นพื้นฐานที่ไม่คาดว่าจะได้รับการบันทึกโดยเฉพาะอย่างยิ่งในวรรณกรรมหรือให้ชื่อพิเศษบางอย่าง

— whuber

@whuber ฉันไม่เห็น

ในลิงค์ของคุณ ยิ่งกว่านั้นผลลัพธ์ที่ฉันพูดถึงนั้นเป็นจริงสำหรับ

ไม่ต่อเนื่องเช่นกัน (โดยให้

เป็นลำดับและแทนที่

ด้วย

ในข้อความทั่วไปมากขึ้น) ผลลัพธ์แรกนั้นเป็นจริงสำหรับ

ทั่วไปฉันคิดว่า

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— Stéphane Laurent

ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้สามารถใช้งานได้โดยไม่มีการอ้างอิงใด ๆ หากมีการระบุไว้ในข้อตกลงแบบดั้งเดิมมากขึ้น พูดโดยประมาณนี่คือ:

สำหรับ

กับ

ซึ่งเป็นผลโดยตรงจาก:

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

และบรรจบที่โดดเด่น จำเป็นต้องมีงานเล็ก ๆ น้อย ๆ เพื่อให้ได้คำสั่งสำหรับผกผัน (ซ้ายอย่างต่อเนื่อง)

ในกรณีทั่วไปที่

สามารถมีขั้นตอน

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— Yves

เพื่อจัดการกับ "งานเล็ก ๆ น้อย ๆ " ที่ Yves แนะนำในการแสดงความคิดเห็นเรขาคณิตแนะนำให้ใช้การพิสูจน์ที่เข้มงวดและโดยทั่วไป

หากคุณต้องการคุณสามารถแทนที่การอ้างอิงทั้งหมดไปยังพื้นที่โดยอินทิกรัลและการอ้างอิงถึง "โดยพลการ" โดยอาร์กิวเมนต์ epsilon-delta ปกติ การแปลนั้นง่าย

หากต้องการตั้งค่ารูปภาพให้เป็นฟังก์ชันการอยู่รอด $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

ร่างแผนการส่วนหนึ่งของG(Notice กระโดดในกราฟ: การกระจายนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ต่อเนื่อง.) เกณฑ์ขนาดใหญ่มีการแสดงและความน่าจะเป็นขนาดเล็กได้รับเลือก (เพื่อให้ ) $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

เราพร้อมที่จะไปแล้ว:ค่าที่เราสนใจ (หนึ่งที่เราต้องการแสดงลู่ ให้เป็นศูนย์) เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีขาวที่มีความสูงและฐานจากการepsilon) เรามาเกี่ยวข้องกับพื้นที่นี้กับความคาดหวังของเพราะข้อสันนิษฐานเดียวที่เรามีคือความคาดหวังนี้มีอยู่และแน่นอน $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

ส่วนที่เป็นบวกของความคาดหวังคือพื้นที่ใต้เส้นโค้งการอยู่รอด (จากถึง ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

เนื่องจากต้องมีขอบเขต (ไม่เช่นนั้นความคาดหวังจะไม่มีอยู่จริงและมีขอบเขต จำกัด ) เราอาจเลือกขนาดใหญ่จนพื้นที่ใต้ระหว่างถึงบัญชีสำหรับทั้งหมดหรือเกือบทั้งหมดของ . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

ตอนนี้ชิ้นส่วนทั้งหมดอยู่ในตำแหน่ง: กราฟของ , ธรณีประตู , ความสูงเล็กและจุดสิ้นสุดทางขวามือแนะนำการแยกลงในพื้นที่ที่เรา สามารถวิเคราะห์: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

เมื่อไปที่ศูนย์จากด้านบนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีขาวที่มีฐานจะลดลงเป็นศูนย์เนื่องจากยังคงที่ ( นี่คือสาเหตุที่ถูกนำเสนอเป็นแนวคิดหลักสำหรับการสาธิตนี้ ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
พื้นที่สีฟ้าสามารถทำได้ใกล้เคียงกับที่คุณอาจชอบโดยเริ่มต้นที่มีขนาดใหญ่อย่างเหมาะสมแล้วเลือกขนาดเล็ก\ $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
ดังนั้นพื้นที่ที่เหลือ - ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่มากไปกว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีขาวที่มีฐานจากถึงสามารถทำให้มีขนาดเล็กลงโดยพลการ (ในคำอื่น ๆ เพียงแค่ละเว้นพื้นที่สีแดงและสีทอง) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

เราจึงแยกออกเป็นสองส่วนโดยที่ทั้งสองพื้นที่รวมกันเป็นศูนย์ $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ ดังนั้น , QED $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— whuber
แหล่งที่มา