ทำไมความแปรปรวนของการเดินสุ่มเพิ่มขึ้น?

การเดินแบบสุ่มที่กำหนดเป็นโดยที่เป็นเสียงสีขาว แสดงว่าตำแหน่งปัจจุบันคือผลรวมของตำแหน่งก่อนหน้า + คำที่ไม่ถูกคาดการณ์$Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$$e_t$

คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชันค่าเฉลี่ยเนื่องจาก$\mu_t = 0$$E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

แต่ทำไมความแปรปรวนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามเวลา?

สิ่งนี้มีบางอย่างที่เกี่ยวกับการไม่สุ่ม "บริสุทธิ์" เนื่องจากตำแหน่งใหม่มีความสัมพันธ์กับตำแหน่งก่อนหน้าหรือไม่

แก้ไข:

ตอนนี้ฉันมีความเข้าใจที่ดีขึ้นมากโดยการเห็นภาพตัวอย่างของการเดินสุ่มขนาดใหญ่และที่นี่เราสามารถสังเกตได้อย่างง่ายดายว่าความแปรปรวนโดยรวมเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป

และค่าเฉลี่ยก็ประมาณตามคาด

บางทีนี่อาจเป็นเรื่องเล็กน้อยเนื่องจากในช่วงแรก ๆ ของซีรีย์เวลา (เปรียบเทียบเวลา = 10 กับ 100) นักเดินแบบสุ่มยังไม่มีเวลาสำรวจมากนัก

ในระยะสั้นเพราะมันช่วยเพิ่มความแปรปรวนของการเพิ่มขึ้นครั้งถัดไปของความแปรปรวนที่เรามีในการไปยังที่ที่เราอยู่ตอนนี้

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$ (ความเป็นอิสระ)
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

และเราจะเห็นว่าเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงกับเสื้อ$t\sigma^2$$t$

ค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ในแต่ละช่วงเวลา หากคุณจำลองซีรีย์หลายครั้งและเฉลี่ยทั่วทั้งซีรีส์ตามเวลาที่กำหนดนั่นจะเฉลี่ยใกล้กับ 0

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

นี่เป็นวิธีที่จะจินตนาการ หากต้องการลดความซับซ้อนของสิ่งต่าง ๆ ลองเปลี่ยน noise สีขาวของคุณเป็นe $e_i$$e_i$

การทำวิชวลไลเซชันนี้ทำให้การมองเห็นง่ายขึ้นไม่มีอะไรพื้นฐานจริง ๆ เกี่ยวกับสวิตช์ยกเว้นการทำให้เครียดกับจินตนาการของเรา

ทีนี้สมมติว่าคุณรวบรวมกองทัพครีบเหรียญ ตามคำสั่งของคุณให้พลิกเหรียญของพวกเขาและติดตามผลการดำเนินงานของพวกเขารวมถึงการสรุปผลลัพธ์ก่อนหน้าทั้งหมดของพวกเขา กบแต่ละตัวเป็นตัวอย่างของการเดินแบบสุ่ม

และการรวมทัพของคุณทั้งหมดควรให้คุณทำตามที่คาดหวังไว้

flip 1: ประมาณครึ่งหนึ่งของกองทัพของคุณพลิกหัวและครึ่งพลิกหาง ความคาดหวังของผลรวมที่ได้รับจากกองทัพทั้งหมดของคุณนั้นเป็นศูนย์ ค่าสูงสุดของทั่วทั้งกองทัพของคุณคือและต่ำสุดคือดังนั้นช่วงรวมเป็น21 - 1 $W$$1$$-1$$2$

flip 2: ประมาณครึ่งหัวพลิกและครึ่งพลิกหาง ความคาดหวังของการพลิกนี้เป็นศูนย์อีกครั้งดังนั้นความคาดหวังของในทุกการโยนจะไม่เปลี่ยนแปลง บางส่วนของกองทัพของคุณได้พลิกและอื่น ๆ บางคนได้พลิกดังนั้นสูงสุดของเป็นและต่ำสุดคือ ; ช่วงรวมเป็น4H H T T W 2 - 2 $W$$HH$$TT$$W$$2$$-2$$4$

...

flip n: ประมาณครึ่งหัวพลิกและครึ่งพลิกหาง ความคาดหวังของการพลิกนี้เป็นศูนย์อีกครั้งดังนั้นความคาดหวังของในทุกการโยนจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ก็ยังคงเป็นศูนย์ หากกองทัพของคุณมีขนาดใหญ่มากบางทหารโชคดีมากที่พลิกและอื่น ๆT นั่นคือมีไม่กี่คนที่มีหัวและอีกสามคนที่มีหาง (แม้ว่านี่จะยากขึ้นและยากขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป) ดังนั้นอย่างน้อยในจินตนาการของเราในช่วงที่รวมเป็น2nH H ⋯ H T T ⋯ T n n 2 $W$$HH \cdots H$$TT \cdots T$$n$$n$$2n$

ดังนั้นนี่คือสิ่งที่คุณสามารถเห็นได้จากการทดสอบความคิดนี้:

• ความคาดหวังของการเดินเป็นศูนย์เนื่องจากแต่ละขั้นตอนในการเดินมีความสมดุล
• ระยะการเดินโดยรวมเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามความยาวของการเดิน

ในการฟื้นฟูสัญชาตญาณเราต้องทิ้งความเบี่ยงเบนมาตรฐานและใช้ในการวัดที่เข้าใจง่ายช่วง

สิ่งนี้มีบางอย่างที่เกี่ยวกับการไม่สุ่ม "บริสุทธิ์" เนื่องจากตำแหน่งใหม่มีความสัมพันธ์กับตำแหน่งก่อนหน้าหรือไม่

ปรากฏว่าโดย "บริสุทธิ์" คุณหมายถึงอิสระ ในการเดินสุ่มเท่านั้นขั้นตอนจะถูกสุ่มและเป็นอิสระจากกัน ในขณะที่คุณตั้งข้อสังเกตว่า "ตำแหน่ง" เป็นแบบสุ่ม แต่มีลักษณะร่วมกันคือไม่ได้เป็นอิสระ

$E[Y_t]=0$$Y_t$$Y_t$

$Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$

$Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$$Y_t$$\mu t$

ลองมาเป็นตัวอย่างที่แตกต่างกันสำหรับคำอธิบายที่เข้าใจง่าย: ปาลูกดอกใส่ปาเป้า เรามีผู้เล่นที่พยายามเล็งเป้าซึ่งเราใช้เป็นพิกัดที่เรียกว่า 0 ผู้เล่นขว้างสองสามครั้งและที่จริงค่าเฉลี่ยของการโยนของเขาคือ 0 แต่เขาไม่เก่งจริงๆดังนั้นความแปรปรวน คือ 20 ซม.

เราขอให้ผู้เล่นขว้างปาลูกดอกตัวใหม่ คุณคาดหวังว่ามันจะตีเป้า

ไม่ถึงแม้ว่าค่าเฉลี่ยจะเป็นเป้าอย่างแน่นอน แต่เมื่อเราสุ่มตัวอย่างการโยน แต่ก็ไม่น่าจะเป็นเป้าได้

$t$

อย่างไรก็ตามถ้าเราใช้ตัวอย่างจำนวนมากเราจะเห็นว่ามันอยู่ตรงกลางประมาณ 0 เช่นเดียวกับผู้เล่นปาเป้าของเราแทบจะไม่เคยชนเป้า (ความแปรปรวนขนาดใหญ่) แต่ถ้าเขาปาเป้ามากเขาจะให้พวกเขาอยู่ตรงกลาง รอบเป้า (หมายถึง)

หากเราขยายตัวอย่างนี้ไปที่การเดินสุ่มเราจะเห็นว่าความแปรปรวนเพิ่มขึ้นตามเวลาแม้ว่าค่าเฉลี่ยจะอยู่ที่ 0 ในกรณีการเดินแบบสุ่มดูเหมือนว่าแปลกที่ค่าเฉลี่ยจะอยู่ที่ 0 ถึงแม้ว่าคุณจะรู้โดยสัญชาตญาณ ว่ามันแทบจะไม่สิ้นสุดที่แหล่งกำเนิดแน่นอน อย่างไรก็ตามสิ่งที่เหมือนกันสำหรับ darter ของเรา: เราสามารถเห็นได้ว่าโผเดียวแทบจะไม่เคยโดนเป้าที่มีความแปรปรวนเพิ่มขึ้น แต่ปาเป้าจะก่อตัวเป็นเมฆที่สวยงามรอบ ๆ เป้า - ค่าเฉลี่ยยังคงเหมือนเดิม: 0

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งที่จะได้สัญชาตญาณว่าความแปรปรวนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามเวลา

$.1\%$$1.2\%$$X$$365X$

$.1\%$$\pm .05\%$$1.2\%$$\pm .6\%$

ถ้าเรานึกถึงความแปรปรวนเป็นช่วงโดยสัญชาตญาณมันทำให้รู้สึกว่าสัญชาตญาณเพิ่มขึ้นในแบบเดียวกับที่ย้อนกลับไปตามกาลเวลานั่นคือเชิงเส้น