ทำไมเพียร์สันρเป็นเพียงตัวชี้วัดของความสัมพันธ์ที่ละเอียดถี่ถ้วนหากการกระจายข้อต่อเป็นหลายตัวแปรปกติ?

การยืนยันนี้เกิดขึ้นจากการตอบคำถามสูงสุดของคำถามนี้ ฉันคิดว่าคำถาม 'ทำไม' แตกต่างกันพอสมควรที่จะรับประกันเธรดใหม่ Googling "การวัดความสัมพันธ์ครบถ้วนสมบูรณ์" ไม่ได้สร้างความนิยมใด ๆ และฉันไม่แน่ใจว่าวลีนั้นหมายถึงอะไร

อาจเป็นการดีที่สุดที่จะเข้าใจ "การวัดการเชื่อมโยง" ในการแจกแจงหลายตัวแปรเพื่อประกอบด้วยคุณสมบัติทั้งหมดที่ยังคงเหมือนเดิมเมื่อค่าถูกลดขนาดและนำกลับมาใหม่โดยพลการ การทำเช่นนั้นสามารถเปลี่ยนวิธีการและความแปรปรวนเป็นค่าที่อนุญาตทางทฤษฎีใด ๆ (ความแปรปรวนจะต้องเป็นบวก; หมายความว่าสามารถเป็นอะไรก็ได้)

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ ("Pearson's ") จากนั้นทำการตรวจสอบการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปร วิธีหนึ่งในการดูสิ่งนี้คือการดูคำจำกัดความของสูตรใด ๆ เช่นสูตรสำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นหรือฟังก์ชันคุณลักษณะ พวกเขาเกี่ยวข้องกับเพียงหมายถึงความแปรปรวนและ covariances - แต่ covariances และความสัมพันธ์จะสามารถสรุปได้จากคนอื่นเมื่อคุณรู้ว่าความแปรปรวน$\rho$

ครอบครัวปกติหลายตัวแปรไม่ได้เป็นตระกูลเดียวของการแจกแจงที่มีความสุขกับคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่นการแจกแจงพหุตัวแปรใด ๆ(สำหรับองศาอิสระเกิน ) มีเมทริกซ์สหสัมพันธ์ที่กำหนดไว้อย่างดีและถูกกำหนดโดยสมบูรณ์ในสองช่วงแรกเช่นกัน$2$

ตัวแปรสามารถเชื่อมโยงในรูปแบบที่สหสัมพันธ์ของเพียร์สันตาบอดได้อย่างสมบูรณ์

ในหลายตัวแปรปกติความสัมพันธ์ของเพียร์สันคือ "ครบถ้วนสมบูรณ์" ในแง่ที่ว่ามีความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือดัชนีโดย$\rho$. แต่สำหรับการแจกแจงแบบอื่น (แม้แต่ผู้ที่มีระยะขอบปกติ) ก็สามารถมีความสัมพันธ์ได้โดยไม่มีความสัมพันธ์กัน ต่อไปนี้เป็นแผนการสุ่มสองแบบ 3 ชุด (x, y และ x, z) มันเกี่ยวข้องกันมาก (ถ้าคุณบอกคุณค่าของ$x$- แปรปรวนฉันจะบอกคุณอีกสองคนและถ้าคุณบอกฉัน $y$ ฉันสามารถบอกคุณได้ $z$) แต่พวกเขาทั้งหมดไม่เกี่ยวข้องกัน

นี่เป็นอีกตัวอย่างของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง แต่ไม่เกี่ยวข้อง:

(จุดอ้างอิงกำลังทำเกี่ยวกับการแจกแจงแม้ว่าฉันจะอธิบายด้วยข้อมูลที่นี่)

แม้ว่าความแปรปรวนจะสัมพันธ์กันความสัมพันธ์ของเพียร์สันโดยทั่วไปก็ไม่ได้บอกคุณว่าอย่างไร - คุณสามารถรับรูปแบบความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันมากซึ่งมีความสัมพันธ์แบบเพียร์สันได้เหมือนกัน (แต่เมื่อตัวแปรนั้น ความสัมพันธ์ที่คุณสามารถบอกได้อย่างชัดเจนว่าความแตกต่างที่เป็นมาตรฐานนั้นเกี่ยวข้องกันอย่างไร)

ดังนั้นสหสัมพันธ์ของเพียร์สันจึงไม่“ หมดแรง” วิธีที่ตัวแปรต่าง ๆ มีความสัมพันธ์กัน - พวกมันสามารถสัมพันธ์กันได้ แต่ไม่เกี่ยวข้องกันหรือพวกมันสามารถสัมพันธ์กันได้ [ความหลากหลายของวิธีที่ความสัมพันธ์ที่ไม่ถูกจับโดยความสัมพันธ์ทั้งหมดสามารถเกิดขึ้นได้ค่อนข้างใหญ่ - แต่ถ้ามีวิธีใดเกิดขึ้นคุณจะไม่สามารถมีหลายตัวแปรได้ตามปกติ อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าไม่มีสิ่งใดในการสนทนาของฉันแสดงถึงสิ่งนี้ (ที่รู้$\rho$ กำหนดความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้) กำหนดลักษณะของตัวแปรหลายตัวแม้ว่าคำพูดของชื่อดูเหมือนจะแนะนำ []

(วิธีการทั่วไปในการจัดการกับความสัมพันธ์หลายตัวแปรคือผ่านทาง copulas มีคำถามมากมายในไซต์ที่เกี่ยวข้องกับ copulas คุณอาจพบว่าบางคนมีประโยชน์)