ตัวอย่างหมายถึงการประมาณการกระจายตัวที่ดีที่สุดในแง่หนึ่ง


10

ตามกฎ (จำนวนมาก / อ่อนแอ) ของจำนวนมากให้คะแนนตัวอย่างบางส่วนของการกระจายตัวอย่างของพวกมันหมายถึงf ( { x i , i = 1 , ... , N } ) : = 1{xiRn,i=1,,N}แปลงเป็นการกระจายตัวหมายถึงทั้งความน่าจะเป็นและในขณะที่ขนาดตัวอย่างN ไปไม่มีที่สิ้นสุดf({xi,i=1,,N}):=1Ni=1NxiN

เมื่อขนาดตัวอย่างได้รับการแก้ไขฉันสงสัยว่าตัวประมาณ LLN f เป็นตัวประมาณที่ดีที่สุดในบางแง่มุมหรือไม่ ตัวอย่างเช่น,Nf

  1. ความคาดหวังของมันคือค่าเฉลี่ยการกระจายดังนั้นมันจึงเป็นค่าประมาณที่ไม่เอนเอียง ความแปรปรวนของมันคือโดยที่σ2คือความแปรปรวนการแจกแจง แต่มันคือ UMVU?σ2Nσ2
  2. มีฟังก์ชั่นที่f ( { x i , i = 1 , , N } )แก้ปัญหาการย่อขนาด: f ( { x i , i = 1 , , N } ) = argmin u R nl0:Rn×Rn[0,)f({xi,i=1,,N})

    f({xi,i=1,,N})=argminuRni=1Nl0(xi,u)?

    ในคำอื่น ๆที่ดีที่สุดคือ WRT บางฟังก์ชั่นคมชัดลิตร0ในกรอบต่ำสุดคมชัด (CF มาตรา 2.1 "พื้นฐานการวิเคราะห์พฤติกรรมของการประมาณค่า" ใน " สถิติคณิตศาสตร์: ความคิดพื้นฐานและหัวข้อที่เลือกเล่ม 1 " โดย Bickle และ Doksum)fl0

    ตัวอย่างเช่นถ้ากระจายเป็นที่รู้จักกัน / จำกัด จะมาจากครอบครัวของการกระจายเสียนแล้วค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างจะเป็นประมาณ MLE ค่าเฉลี่ยการจัดจำหน่ายและ MLE เป็นกรอบขั้นต่ำความคมชัดและฟังก์ชั่นคมชัดคือลบบันทึก ฟังก์ชั่นโอกาสl0

  3. มีฟังก์ชั่นบางตัวนั้นที่f แก้ปัญหาการย่อขนาด: f = argmin fl:Rn×F[0,)f สำหรับการกระจายตัว Pใด ๆของ x iในบางตระกูล Fของการแจกแจง?

    f=argminfEiid {xi,i=1,,N} each with distribution Pl(f({xi,i=1,,N}),P)?
    PxiF

    กล่าวอีกนัยหนึ่งเป็น wrt ที่ดีที่สุดบางฟังก์ชันที่สูญเสียlและบางครอบครัวFของการแจกแจงในกรอบการตัดสินใจเชิงทฤษฎี (cf Section 1.3 "The Decision Theoretic Framework" ใน " สถิติคณิตศาสตร์: แนวคิดพื้นฐานและหัวข้อที่เลือกเล่ม 1 " โดย Bickle และ Doksum)flF

โปรดทราบว่าข้างต้นเป็นการตีความที่แตกต่างกันสามแบบสำหรับการประเมินที่ "ดีที่สุด" ที่ฉันเคยรู้จัก หากคุณรู้เกี่ยวกับการตีความที่เป็นไปได้อื่น ๆ ที่อาจนำไปใช้กับตัวประมาณ LLN โปรดอย่าลังเลที่จะพูดถึงเช่นกัน


อีกวิธีหนึ่งที่จะอธิบายลักษณะประมาณการ: โปรดอ่านเกี่ยวกับประมาณการที่สอดคล้องกันที่นี่ ค่าเฉลี่ยตัวอย่างมีความสอดคล้องเนื่องจาก LLN
Rohit Banga

1
ค่าเฉลี่ยตัวอย่างมีคุณสมบัติที่ดีและน่าสนใจมากมาย แต่บางครั้งก็ไม่ได้ดีที่สุดเท่าที่จะทำได้ในสถานการณ์เฉพาะ ตัวอย่างหนึ่งคือกรณีที่การสนับสนุนของการแจกแจงขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ พิจารณาจากนั้น1X1,X2,,XnU(0,θ)1ni=1nXiθn+1nX(n)

ขอบคุณ! แต่ความแปรปรวนของมันคำนวณอย่างไร
ทิม

Y=X(n)
f(y)=nyn1θn;y(0,θ)
nn+1YVar(nn+1Y)=1n(n+2)θ21n21n

[0,θ]θ/2θ

คำตอบ:


4

l0(xu)2(xu)(xu)

ตัวประมาณความแตกต่างขั้นต่ำคือภายใต้เงื่อนไขทางเทคนิคบางอย่างทั้งที่สอดคล้องและปกติเชิงเส้นกำกับ สำหรับค่าเฉลี่ยตัวอย่างสิ่งนี้ได้ติดตามจาก LLN และทฤษฎีขีด จำกัด กลางแล้ว ฉันไม่ทราบว่าตัวประมาณความคมชัดต่ำสุดนั้น "ดีที่สุด" ไม่ว่าในทางใด สิ่งที่ดีเกี่ยวกับตัวประมาณค่าความคมชัดต่ำสุดคือตัวประมาณที่มีประสิทธิภาพหลายตัว (เช่นค่ามัธยฐาน, ตัวประมาณฮิว, ควอนไทล์ตัวอย่าง) ตกอยู่ในตระกูลนี้และเราสามารถสรุปได้ว่าพวกมันสอดคล้องกันและปกติ ตราบใดที่เราตรวจสอบเงื่อนไขทางเทคนิคบางอย่าง (แม้ว่าบ่อยครั้งสิ่งนี้จะยากกว่าที่คิดไว้)

ความคิดเชิงบวกอย่างหนึ่งที่คุณไม่ได้กล่าวถึงในคำถามของคุณคือประสิทธิภาพซึ่งโดยทั่วไปแล้วการพูดคุยเกี่ยวกับตัวอย่างขนาดใหญ่ที่คุณต้องการเพื่อประเมินคุณภาพที่แน่นอน ดูhttp://en.wikipedia.org/wiki/Efficiency_(statistics)#Asymptotic_efficiencyเพื่อเปรียบเทียบประสิทธิภาพของค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐาน (ค่าเฉลี่ยมีประสิทธิภาพมากกว่า

สำหรับคำถามที่สามไม่มีข้อ จำกัด ในชุดของฟังก์ชัน f ที่คุณกำลังหาอาร์กิวเมนต์ฉันไม่คิดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะดีที่สุด สำหรับการแจกแจง P ใด ๆ คุณสามารถกำหนดให้ f เป็นค่าคงที่ซึ่งไม่สนใจxi

fPfmaxPFPFPP


ขอบคุณ! มีการอ้างอิงที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวประมาณความเปรียบต่างขั้นต่ำเช่นปกติและแบบอะซิมโตเทติกเช่นเดียวกับตัวอย่างเช่นค่ามัธยฐานตัวประมาณฮิวเวอร์ควอนไทล์ตัวอย่างหรือไม่
ทิม

ส่วนที่ 5.2.2 ของหนังสือ Bickel & Doksum ที่คุณอ้างถึงมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสอดคล้องของตัวประมาณความเปรียบต่างขั้นต่ำ มาตรา 5.4.2 กล่าวถึงความปกติของซีมโทติค แหล่งข้อมูลอื่นที่ฉันแนะนำและที่กล่าวถึงตัวประมาณอื่น ๆ ที่ฉันพูดถึงคือหนังสือสถิติ Asymptoticของ van der Vaart บทที่ 5 อยู่ใน M-estimators ซึ่งเป็นชื่อของเขาสำหรับตัวประมาณความเปรียบต่างขั้นต่ำ
DavidR

Rnl2

ฉันหมายถึงบรรทัดฐานแบบยุคลิดมาตรฐาน - ฉันเปลี่ยนมันเป็นสัญกรณ์เวกเตอร์เพื่อให้ความกระจ่าง
DavidR

l
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.