ตัวอย่างของการแจกแจงแบบ tailed ที่ไม่ใช่หางยาว

จากการอ่านเกี่ยวกับหนักและการกระจายหางยาวผมเข้าใจว่าทุกการกระจายหางยาวจะหนักนกแต่ไม่ทั้งหมดกระจายหนักนกจะหางยาว

ใครก็ได้ช่วยกรุณายกตัวอย่าง:

ฟังก์ชั่นความหนาแน่นแบบต่อเนื่องสมมาตรและไม่มีค่าเฉลี่ยที่เป็นแบบหางยาว
ฟังก์ชั่นความหนาแน่นแบบต่อเนื่องสมมาตรและไม่มีค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นแบบหนัก แต่ไม่ยาว

ดังนั้นฉันสามารถเข้าใจความหมายของคำจำกัดความของพวกเขาได้ดีขึ้นหรือไม่

มันจะดียิ่งขึ้นถ้าทั้งคู่มีความแปรปรวนของหน่วย

distributions heavy-tailed

— toliveira
แหล่งที่มา

คุณพบคำจำกัดความเหล่านั้นจากที่ใด คุณให้ที่นี่ได้ไหม ฉันคิดถึงสิ่งเหล่านี้เป็นคำเหมือน!

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen: บางทีที่นี่: en.wikipedia.org/wiki/…

— Scortchi - Reinstate Monica

@kjetilbhalvorsen SA: ดูลิงค์ E. LA: ฉันกำลังศึกษาคำจำกัดความของ "หนัก -", "อ้วน -" และ "หางยาว" และพบคำอธิบายที่เป็นประโยชน์ได้ที่: (A) [ stats.stackexchange.com/ คำถาม / 10726 / … , (B) [ en.wikipedia.org/wiki/Heavy-tailed_distribution] , (C) [ users.cms.caltech.edu/~adamw/papers/… , (ต่อ)

— toliveira

(ความต่อเนื่อง) (E) math.stackexchange.com/questions/685921/ …ฉันเข้าใจว่า (i) distribuiton ที่มีหางหนาถูกกำหนดไว้ใน A, B, C, D, E, (ii) distribuiton ที่มีหางยาว ดังใน B, C, E (iii) คำจำกัดความของ

— tail

คำจำกัดความทั้งสองอยู่ใกล้ แต่ไม่เหมือนกันทั้งหมด ข้อแตกต่างอยู่ที่ความต้องการอัตราส่วนความอยู่รอดที่จะมีขีด จำกัด

สำหรับส่วนของคำตอบนี้ผมจะไม่สนใจเกณฑ์สำหรับการกระจายที่จะต่อเนื่อง, สมมาตรและความแปรปรวนแน่นอนเพราะสิ่งเหล่านี้เป็นเรื่องง่ายที่จะประสบความสำเร็จเมื่อเราได้พบใด ๆแน่นอน-แปรปรวนกระจายหนักนกที่ไม่ได้หางยาว

การแจกแจงแบบนั้นหนักมากเมื่อสำหรับใด ๆ, $F$ $t\gt 0$

\begin{matrix} (1) & \int_{R} e^{t x} d F (x) = \infty . \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$

การแจกแจงที่มีฟังก์ชั่นการเอาชีวิตรอดเป็นหางยาวเมื่อ $G_F = 1-F$

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to \infty} \frac{G_{F} (x + 1)}{G_{F} (x)} = 1. \end{matrix}

$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$

การแจกแจงแบบหางยาวนั้นหนัก นอกจากนี้เนื่องจากเป็น nonincreasing ขีด จำกัด ของอัตราส่วนไม่เกิน1หากมีอยู่และน้อยกว่าดังนั้นจะลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียล - และนั่นจะทำให้อินทิกรัลมาบรรจบกัน $G$ $(2)$ $1$ $1$ $G$ $(1)$

วิธีเดียวที่จะแสดงการแจกแจงแบบ tailed ที่ไม่ใช่หางยาวนั้นคือการปรับเปลี่ยนการแจกแจงแบบ tailed ยาวเพื่อให้ยังคงค้างอยู่ในขณะที่ถูกละเมิด เป็นเรื่องง่ายที่จะเพิ่มขีด จำกัด : เปลี่ยนในหลาย ๆ ที่ที่ไม่สิ้นสุดไปเป็นอนันต์ แม้ว่าจะต้องใช้เวลากับถึงแม้ว่าจะต้องเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ วิธีหนึ่งคือการแนะนำกระโดดขึ้นบางอย่างในซึ่งจะทำให้กระโดดลงลดอัตราส่วน(x) ด้วยเหตุนี้เรามากำหนดการแปลงที่เปลี่ยนเป็นฟังก์ชันการแจกแจงที่ถูกต้องอีกอันในขณะที่สร้างการกระโดดอย่างฉับพลันที่ค่า $(1)$ $(2)$ $F$ $F$ $G$ $G_F(x+1)/G_F(x)$ $T_u$ $F$ $u$ พูดกระโดดครึ่งทางจากถึง : $F(u)$ $1$

T_{u} [F] (x) = {\begin{cases} F (x) & u < x \\ \frac{1}{2} (1 - F (x)) + F (x) & u \geq x \end{cases}

$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$

สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติพื้นฐานของ :ยังคงเป็นฟังก์ชั่นการกระจาย $F$ $T_u[F]$

ผลกระทบต่อคือการทำให้มันลดลงโดยปัจจัยของที่ยูดังนั้นตั้งแต่เป็นแบบไม่ลดลงแล้วเมื่อใดก็ตามที่ , $G_F$ $1/2$ $u$ $G$ $u-1 \le x \lt u$

\frac{G_{T_{u} [F]} (x + 1)}{G_{T_{u} [F]} (x)} \leq \frac{1}{2} .

$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$

หากเราเลือกลำดับที่เพิ่มขึ้นและของ ,และใช้แต่ละครั้งอย่างต่อเนื่องมันจะกำหนดลำดับของการแจกแจงกับและ $u_i$ $i=1, 2, \ldots$ $T_{u_i}$ $F_i$ $F_0=F$

F_{i + 1} = T_{u_{i}} [F_{i}]

$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$

สำหรับ1 หลังจากที่ขั้นตอนทั้งหมดยังคงเหมือนเดิมสำหรับu_i ดังนั้นลำดับของคือการลดลง, ไม่ จำกัด , ล้อมรอบ, ชี้ตามลำดับของฟังก์ชันการแจกแจงซึ่งหมายถึงขีด จำกัด $i \ge 1$ $i^\text{th}$ $F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$ $x\lt u_i$ $F_i(x)$

F_{\infty} = lim_{i \to \infty} F_{i}

$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$

เป็นฟังก์ชั่นการกระจาย จากการก่อสร้างมันไม่ได้เป็นหางยาวเพราะมีหลายจุดที่อัตราส่วนการเอาชีวิตรอดลดลงเหลือหรือต่ำกว่า แสดงว่าไม่สามารถมีเป็นขีด จำกัด $G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$ $1/2$ $1$

เนื้อเรื่องนี้แสดงให้เห็นถึงฟังก์ชั่นการเอาชีวิตรอดที่ถูกลดทอนลงในลักษณะนี้ที่จุด หมายเหตุแกนตั้งลอการิทึม $G(x) = x^{-1/5}$ $u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

ความหวังคือสามารถเลือกเพื่อให้ยังคงเป็นเรื่องหนัก เรารู้เพราะหนักนกที่มีจำนวนที่ $(u_i)$ $F_\infty$ $F$ $0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

\int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F (x) \geq 2^{i - 1}

$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$

สำหรับทุก1 เหตุผลสำหรับทางด้านขวาคือความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยให้กับค่าสูงสุดถึงได้รับการลดลงอย่างต่อเนื่องในครึ่งครั้ง โพรซีเดอร์นั้นเมื่อถูกแทนที่ด้วยสำหรับใด ๆจะลดลงเป็นแต่ไม่ลดลง $i \ge 1$ $2^{i-1}$ $F$ $u_i$ $i-1$ $dF(x)$ $dF_{j}(x)$ $j\ge i$ $2^{i-1}$ $1$

นี่คือโครงร่างของสำหรับความหนาแน่นสอดคล้องกับฟังก์ชันการเอาตัวรอดก่อนหน้านี้และรุ่น "ตัดลง" พื้นที่ภายใต้ส่วนโค้งนี้มีส่วนทำให้เกิดความคาดหวัง พื้นที่จากถึงคือ ; พื้นที่จากเพื่อเป็นซึ่งเมื่อตัดลง (เพื่อส่วนสีฟ้าล่าง) จะกลายเป็นพื้นที่ ; พื้นที่จากถึงคือซึ่งเมื่อตัดลงจะกลายเป็นพื้นที่และอื่น ๆ ดังนั้นพื้นที่ใต้แต่ละเนื่อง "ขั้นตอนบันได" ไปทางขวาเป็น1 $x f(x)$ $f$ $1$ $u_1$ $1$ $u_1$ $u_2$ $2$ $1$ $u_2$ $u_3$ $4$ $1$ $1$

ให้เราเลือกลำดับเช่นเพื่อกำหนดF_เราสามารถตรวจสอบได้ว่ามันยังคงหนักเทลด์โดยการเลือกสำหรับจำนวนทั้งหมดบางและการประยุกต์ใช้การก่อสร้าง: $(u_i)$ $F_\infty$ $t=1/n$ $n$

\begin{aligned} \int_{R} e^{t x} d F_{\infty} (x) & = \int_{R} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{i} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} 1, \end{aligned}

$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$

ซึ่งยังคงแตกต่าง เนื่องจากมีขนาดเล็กตามอำเภอใจสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่ายังคงเป็นเรื่องหนักแม้ว่าสมบัติระยะยาวของมันจะถูกทำลาย $t$ $F_\infty$

นี่คือโครงเรื่องของอัตราส่วนการเอาตัวรอดสำหรับการแจกแจงแบบลดทอน เช่นเดียวกับอัตราส่วนของดั้งเดิมมันมีแนวโน้มที่จะมีมูลค่าการสะสมสูงที่ - แต่สำหรับช่วงความกว้างของหน่วยที่สิ้นสุดที่อัตราส่วนจะลดลงเหลือเพียงครึ่งหนึ่งของค่าเดิม การลดลงเหล่านี้แม้ว่าจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ และน้อยลงเมื่อเพิ่มขึ้นเกิดขึ้นบ่อยครั้งอย่างไม่ จำกัด ดังนั้นจึงป้องกันไม่ให้อัตราส่วนใกล้เข้ามาถึงขีด จำกัด $G(x+1)/G(x)$ $G$ $1$ $u_i$ $x$ $1$

หากคุณต้องการตัวอย่างหน่วยแปรปรวนแบบศูนย์ต่อเนื่องแบบสมมาตรค่าศูนย์เริ่มต้นด้วยการแจกแจงแบบยาวแบบแปรผันแบบ จำกัด (สำหรับ ) จะทำให้ ; เพื่อจะกระจายนักศึกษาตันองศาอิสระเกินใด ๆ2ช่วงเวลาของไม่สามารถเกินได้ซึ่งมันก็มีความแปรปรวนแน่นอน "Mollify" โดยการบิดด้วยการกระจายที่ราบรื่นเช่น Gaussian: สิ่งนี้จะทำให้มันต่อเนื่อง แต่จะไม่ทำลายหางของมันหนัก (ชัด) หรือขาดหางยาว (ไม่ชัดเจนเท่าที่ควร คุณเปลี่ยน Gaussian เป็นพูดว่าเป็นรุ่นเบต้าที่มีการสนับสนุนที่กะทัดรัด) $F(x) = 1 - x^{-p}$ $x \gt 0$ $p \gt 1$ $2$ $F_\infty$ $F$

สมมาตรผล - ซึ่งฉันจะยังคงเรียก - โดยการกำหนด $F_\infty$

F_{s} (x) = \frac{1}{2} (1 + sgn (x) F_{\infty} (| x |))

$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$

สำหรับทั้งหมด ความแปรปรวนจะยังคง จำกัด ดังนั้นจึงสามารถเป็นมาตรฐานในการกระจายที่ต้องการ $x\in\mathbb{R}$

— whuber
แหล่งที่มา

อธิบายได้อย่างยอดเยี่ยม คุณไม่ได้เสนอตัวอย่างเพียงอย่างเดียว แต่ยังให้เหตุผลด้วย ความชัดเจนของคำอธิบายทำให้ฉันเข้าใจ (เกือบ) ทั้งหมด ฉันจะฝึกในตัวอย่างที่เป็นตัวเลข

— toliveira