เราควรสอน kurtosis ในหลักสูตรสถิติประยุกต์หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นได้อย่างไร

แนวโน้มที่เป็นศูนย์กลางการแพร่กระจายและความเบ้สามารถกำหนดได้ค่อนข้างดีอย่างน้อยบนพื้นฐานที่เข้าใจง่าย มาตรการทางคณิตศาสตร์มาตรฐานของสิ่งเหล่านี้ยังสอดคล้องกับแนวคิดที่ใช้งานง่ายของเรา แต่ดูเหมือนว่าจะแตกต่าง Kurtosis มันสับสนมากและมันก็ไม่เข้ากันกับสัญชาตญาณเกี่ยวกับรูปร่างการกระจาย

คำอธิบายทั่วไปของ kurtosis ในการตั้งค่าที่ใช้อาจเป็นสารสกัดจากสถิติประยุกต์สำหรับธุรกิจและการจัดการโดยใช้ Microsoft Excel :$^{[1]}$

Kurtosis หมายถึงการกระจายของจุดสูงสุดหรือในทางกลับกันว่ามันกระจายตัวอย่างไร หากมีค่าของข้อมูลในก้อยมากกว่าที่คุณคาดหวังจากการแจกแจงแบบปกติ Kurtosis จะเป็นค่าบวก ในทางกลับกันหากมีค่าข้อมูลในก้อยน้อยกว่าที่คุณคาดหวังจากการแจกแจงแบบปกติ kurtosis จะเป็นค่าลบ Excel ไม่สามารถคำนวณสถิตินี้เว้นแต่ว่าคุณมีค่าข้อมูลอย่างน้อยสี่ค่า

นอกเหนือจากความสับสนระหว่าง "kurtosis" และ "เกิน kurtosis" (เช่นเดียวกับในหนังสือเล่มนี้มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะใช้คำเดิมเพื่อหมายถึงสิ่งที่ผู้เขียนคนอื่นเรียกหลัง) การตีความในแง่ของ "แหลม" หรือ "เรียบ" ถูกยุ่งเหยิงโดยสวิตช์ของความสนใจกับจำนวนข้อมูลในส่วนท้าย พิจารณาทั้ง "ยอด" และ "ก้อย" เป็นสิ่งจำเป็น - Kaplansky$^{[2]}$บ่นในปี 1945 ว่าตำราหลายเล่มในเวลาที่ระบุไว้อย่างไม่ถูกต้อง kurtosis จะทำอย่างไรกับยอดสูงของการกระจายเมื่อเทียบกับที่ของการกระจายปกติโดยไม่ต้องพิจารณาหาง แต่เห็นได้ชัดว่าต้องพิจารณารูปร่างทั้งที่จุดสูงสุดและในหางทำให้สัญชาตญาณยากที่จะเข้าใจจุดที่ยกมาเหนือข้ามไปโดยแยกออกจากยอดแหลมจนถึงหางของหางราวกับว่าแนวคิดเหล่านี้เหมือนกัน

ยิ่งไปกว่านั้นคำอธิบาย "จุดสูงสุดและก้อย" แบบคลาสสิกของ kurtosis ใช้งานได้ดีสำหรับการกระจายแบบสมมาตรและแบบ unimodal (จริง ๆ แล้วตัวอย่างที่แสดงในข้อความนั้นเป็นแบบสมมาตรทั้งหมด) ยัง "ถูกต้อง" วิธีการทั่วไปที่จะตีความโด่งไม่ว่าจะเป็นในแง่ของ "ยอด", "หาง" หรือ "ไหล่" ได้รับการโต้แย้งมานานหลายทศวรรษ $^{[2][3][4][5][6]}$

มีวิธีการสอน kurtosis ที่ใช้งานง่ายในสภาพแวดล้อมที่ใช้ซึ่งจะไม่กระทบหรือแย้งกันเมื่อมีวิธีการที่เข้มงวดกว่านี้ kurtosis เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์หรือไม่ในบริบทของหลักสูตรการวิเคราะห์ข้อมูลแบบประยุกต์เหล่านี้ซึ่งแตกต่างจากในชั้นเรียนสถิติทางคณิตศาสตร์หรือไม่? หาก "ความแหลม" ของการแจกแจงเป็นแนวคิดที่มีประโยชน์อย่างสังหรณ์ใจเราควรสอนโดยใช้ช่วงเวลา L- ช่วงเวลาแทนไหม?$^{[7]}$

$[1]$ Herkenhoff, L. และ Fogli, J. (2013) สถิติประยุกต์สำหรับธุรกิจและการจัดการใช้โปรแกรม Microsoft Excel New York, NY: Springer

$[2]$ Kaplansky, I. (1945) "ข้อผิดพลาดทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการทำลมพิษ" วารสารของสมาคมอเมริกันสถิติ , 40 (230): 259

$[3]$ดาร์ลิงตันริชาร์ดบี (1970) Kurtosis Is 'Peakedness' จริงๆหรือ? " นักสถิติชาวอเมริกัน 24 (2): 19–22

$[4]$ทุ่งเจเจอา (2529) "ความหมายของ kurtosis: ดาร์ลิงตันตรวจสอบ" นักสถิติชาวอเมริกัน 40 (4): 283–284

Balanda, Kevin P. และ MacGillivray, HL (1988) "Kurtosis: บทวิจารณ์ที่สำคัญ" นักสถิติชาวอเมริกัน 42(2): 111–119$[5]$

DeCarlo, LT (1997) "เกี่ยวกับความหมายและการใช้งานของเคิร์ต" วิธีการทางจิตวิทยา,2(3), 292 ชิคาโก$[6]$

Hosking, JRM (1992) "ช่วงเวลาหรือช่วงเวลา L? ตัวอย่างการเปรียบเทียบการวัดรูปร่างการกระจายสองแบบ" สถิติชาวอเมริกัน46(3): 186–189$[7]$

Kurtosis นั้นง่ายมาก ๆ ... และมีประโยชน์ มันเป็นเพียงการวัดค่าผิดปกติหรือก้อย มันไม่เกี่ยวอะไรกับจุดสูงสุดใด ๆ - คำจำกัดความนั้นต้องถูกยกเลิก

นี่คือชุดข้อมูล:
0, 3, 4, 1, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 2, 0, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 999

โปรดสังเกตว่า '999' เป็นสิ่งที่เกินความจริง

$z^4$

0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00,0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 360.98

$z^4$

$z^4$

ควรเห็นได้ชัดจากการคำนวณนี้ว่าข้อมูลใกล้กับ "จุดสูงสุด" (ข้อมูลที่ไม่ใช่ค่าผิดปกติ) ไม่มีส่วนช่วยในสถิติ kurtosis

Kurtosis มีประโยชน์ในการวัดค่าผิดปกติ ค่าผิดปกติมีความสำคัญต่อนักเรียนระดับประถมศึกษาดังนั้นจึงควรมีการสอนความรู้เบื้องต้น แต่ความโด่งไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับยอดเขาไม่ว่าจะเป็นแหลมแบน bimodal หรือไม่มีที่สิ้นสุด คุณสามารถมีทั้งหมดข้างต้นด้วย kurtosis ขนาดเล็กและทั้งหมดข้างต้นที่มี kurtosis ขนาดใหญ่ ดังนั้นจึงไม่ควรถูกนำเสนอว่ามีส่วนเกี่ยวข้องกับจุดสูงสุดเพราะนั่นจะเป็นการสอนข้อมูลที่ไม่ถูกต้อง นอกจากนี้ยังทำให้วัสดุที่ไม่จำเป็นทำให้เกิดความสับสนและดูเหมือนว่ามีประโยชน์น้อยกว่า

สรุป:

1. kurtosis มีประโยชน์ในการวัดหาง (outliers)
2. Kurtosis ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับจุดสูงสุด
3. kurtosis เป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติและควรได้รับการสอน แต่เป็นเพียงการวัดค่าผิดปกติ อย่าพูดถึงจุดสูงสุดเมื่อทำการสอน kurtosis

บทความนี้จะอธิบายอย่างชัดเจนว่าเหตุใดคำจำกัดความ "ความแหลม" จึงเป็นทางการ

Westfall, PH (2014) " โด่งเป็น Peakedness 1905 - 2014 RIP " อเมริกันสถิติ , 68 (3), 191-195

ในขณะที่คำถามค่อนข้างคลุมเครือ แต่ก็น่าสนใจ Kurtosis สอนในระดับใด ฉันจำได้ว่ามันถูกกล่าวถึงในหลักสูตร (ระดับปริญญาโท) ในแบบจำลองเชิงเส้น (เมื่อนานมาแล้วตามหนังสือเล่มแรกของ Seber) มันไม่ได้เป็นหัวข้อที่สำคัญ แต่มันเข้ามาในหัวข้อเช่นการศึกษา (ขาด) ความทนทานของการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็น (F-test) ของความเท่าเทียมกันของความแปรปรวนที่ (จากหน่วยความจำ) ระดับที่ถูกต้อง asymptotically ขึ้นอยู่กับการ การแจกแจงแบบปกติซึ่งมากเกินกว่าจะเดาได้! เราเห็นกระดาษ (แต่ฉันไม่เคยอ่านรายละเอียดเลย) http://www.jstor.org/stable/4615828?seq=1#page_scan_tab_contents โดย Oja ซึ่งพยายามค้นหาว่าเบ้ kurtosis และมาตรการแบบใด

ทำไมฉันถึงพบว่าสิ่งนี้น่าสนใจ? เพราะฉันได้สอนภาษาละตินอเมริกาซึ่งดูเหมือนว่ามีการสอนเรื่องความเบ้ & ความโด่งดังหลายเรื่องที่สำคัญและพยายามบอกนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา (หลายคนมาจากเศรษฐกิจ) ว่าการทำแบบนี้เป็นการวัดที่ไม่ดี เพราะการสุ่มตัวอย่างความแปรปรวนของพลังที่สี่นั้นใหญ่มาก) ยาก ฉันพยายามให้พวกเขาใช้ QQplots แทน ดังนั้นสำหรับผู้แสดงความคิดเห็นบางคนใช่สิ่งนี้ได้ถูกสอนมาแล้วบางที่อาจจะมาก!

โดยวิธีการนี้ไม่เพียง แต่ความคิดเห็นของฉัน โพสต์บล็อกต่อไปนี้https://www.spcforexcel.com/knowledge/basic-statistics/are-skewness-and-kurtosis-useful-statistics มีการอ้างอิงนี้ (มีการอ้างอิงจากดร. วีลเลอร์):

ในระยะสั้นความเบ้และความโด่งเป็นจริงไม่มีค่า Shewhart ทำข้อสังเกตนี้ในหนังสือเล่มแรกของเขา สถิติสำหรับความเบ้และความโด่งก็ไม่ได้ให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ใด ๆ นอกเหนือจากที่ได้รับจากการวัดที่ตั้งและการกระจายตัว

เราควรสอนเทคนิคที่ดีกว่าเพื่อศึกษารูปแบบการแจกแจง! เช่น QQplots (หรือแผนการกระจายสัมพัทธ์) และถ้าใครบางคนยังต้องการมาตรการเชิงตัวเลขการวัดตามช่วงเวลา L จะดีกว่า ฉันจะอ้างอิงหนึ่งข้อความจากกระดาษ JR Statist Soc B (1990) 52, No 1, pp 105--124 โดย JRM Hosking: "ช่วงเวลา L: การวิเคราะห์และการประมาณการกระจายโดยใช้ชุดค่าผสมเชิงเส้นของสถิติการสั่งซื้อ" หน้า 109:

$\lambda_1$$\lambda_2$$\mu(F)$$\frac12 \sigma_1(F)$$\tau_3$$\tau_4$

(ในขณะนี้ฉันอ้างถึงกระดาษสำหรับคำจำกัดความของมาตรการเหล่านี้พวกเขาทั้งหมดขึ้นอยู่กับช่วงเวลา L) สิ่งที่น่าสนใจก็คือการวัดแบบดั้งเดิมของ kurtosis ขึ้นอยู่กับช่วงเวลาที่สี่ไม่ใช่ตัวชี้วัดของ kurtosis ในแง่ของ Oja! (ฉันจะแก้ไขในการอ้างอิงสำหรับการอ้างสิทธิ์นั้นเมื่อฉันสามารถหาได้)

ฉันความเห็นของฉันสัมประสิทธิ์ความเบ้เป็นประโยชน์ในการกระตุ้นเงื่อนไข: เบ้บวกและเบ้ในทางลบ แต่นั่นคือที่ที่มันหยุดถ้าเป้าหมายของคุณคือการประเมินความเป็นมาตรฐาน มาตรการแบบดั้งเดิมของความเบ้และความโด่งมักมักจะล้มเหลวในการตรวจจับการเบี่ยงเบนประเภทต่าง ๆ ออกไปจากภาวะปกติ ฉันมักจะแนะนำให้นักเรียนของฉันใช้เทคนิคกราฟิกเพื่อประเมินว่ามันสมเหตุสมผลในการประเมินความเป็นมาตรฐานเช่น qq-plot หรือ plot ความน่าจะเป็นปกติ นอกจากนี้ยังมีฮิสโตแกรมตัวอย่างที่มีขนาดเพียงพอ Boxplots ยังมีประโยชน์ในการระบุค่าผิดปกติหรือแม้แต่ก้อยที่หนัก

นี่คือสิ่งที่สอดคล้องกับคำแนะนำกองเรือรบของปี 1999 ของ APA:

" สมมติฐาน คุณควรใช้ความพยายามเพื่อให้มั่นใจว่าสมมติฐานพื้นฐานที่จำเป็นสำหรับการวิเคราะห์มีความสมเหตุสมผลเมื่อได้รับข้อมูล ตรวจสอบสิ่งตกค้างอย่างระมัดระวัง อย่าใช้การทดสอบแบบกระจายและดัชนีทางสถิติของรูปร่าง (เช่นความเบ้, ความโด่ง) เพื่อใช้แทนการตรวจสอบสิ่งที่เหลืออยู่ของคุณแบบกราฟิก การใช้การทดสอบทางสถิติเพื่อวินิจฉัยปัญหาในการปรับแบบจำลองมีข้อบกพร่องหลายประการ ขั้นแรกการทดสอบนัยสำคัญในการวินิจฉัยขึ้นอยู่กับสถิติสรุป (เช่นการทดสอบสำหรับความสม่ำเสมอของความแปรปรวน) มักจะไม่สามารถใช้การได้ การทดสอบแบบจำลองทางสถิติของเรามักจะแข็งแกร่งกว่าการทดสอบสมมติฐานทางสถิติของเรา ประการที่สองสถิติเช่นความเบ้และความโด่งมักจะล้มเหลวในการตรวจสอบความผิดปกติของการกระจายในส่วนที่เหลือ ประการที่สามการทดสอบทางสถิติขึ้นอยู่กับขนาดตัวอย่างและเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น การทดสอบมักจะปฏิเสธสมมติฐานที่ไร้เดียงสา โดยทั่วไปแล้วจะไม่มีสิ่งทดแทนการวิเคราะห์เชิงกราฟของสมมติฐาน"

การอ้างอิง: Wilkinson, L. , & Task Force ในการอนุมานทางสถิติ (1999) วิธีการทางสถิติในวารสารจิตวิทยา: แนวทางและคำอธิบาย นักจิตวิทยาอเมริกัน, 54, 594-604

คำถามเกี่ยวกับความถูกต้องของการประมาณอาจเกิดขึ้นทั้งนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการใช้หลักสูตร ความแม่นยำของการประมาณค่าความแปรปรวนขึ้นอยู่กับ kurtosis อย่างมาก สาเหตุที่เกิดขึ้นก็คือเมื่อมีความเข้มข้นสูงการกระจายจึงอนุญาตให้มีข้อมูลที่หาได้ยาก ดังนั้นกระบวนการสร้างข้อมูลจะสร้างค่าที่สูงที่สุดในตัวอย่างบางส่วนและไม่ให้ค่าที่สูงที่สุดในตัวอย่างอื่น ๆ ในกรณีก่อนหน้านี้คุณจะได้รับการประมาณผลต่างที่มีขนาดใหญ่มากและในกรณีหลังคือการประมาณผลต่างเล็ก ๆ

หากการตีความ "ความแหลม" ที่ล้าสมัยและไม่ถูกต้องถูกกำจัดไปแล้วและให้ความสำคัญกับผู้ที่กระทำผิด (กล่าวคือหาได้ยากมากนักสังเกตการณ์) แทนมันจะง่ายกว่าที่จะสอนความรู้เบื้องต้นในหลักสูตรเบื้องต้น แต่ผู้คนต่างบิดตัวเองเป็นปมพยายามที่จะพิสูจน์ว่า "ความแหลม" เพราะมันเป็นวิธีที่ไม่ถูกต้องในตำราของพวกเขา แอปพลิเคชันเหล่านี้ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับค่าผิดปกติและค่าผิดปกติของหลักสูตรมีความสำคัญในหลักสูตรสถิติประยุกต์

ตรงไปตรงมาฉันไม่เข้าใจว่าทำไมผู้คนต้องการที่จะซับซ้อนสิ่งที่ง่าย ทำไมไม่แสดงเพียงคำจำกัดความ (ถูกขโมยจากWikipedia ):

คุณสามารถแทนที่โอเปอเรเตอร์การคาดการณ์ด้วยตัวประมาณตาม $\frac 1 n \sum_{i=1}^n$, แน่นอน. ช่วยหารือเกี่ยวกับหน่วยวัด$\mu,\sigma^2,\mu_4$และแสดงเหตุผลที่ช่วงเวลาที่สี่ควรถูกปรับขนาดด้วยความแปรปรวนเพื่อให้การวัดแบบไม่มีมิติเป็นค่าพารามิเตอร์คือรูปร่าง ดังนั้นตอนนี้เรามีที่ตั้ง$\mu$ขนาด $\sigma^2$และพารามิเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้เพื่ออธิบายรูปร่างเช่นความเบ้และความโด่ง ฉันมักจะเริ่มต้นด้วยสมการเสมอ ง่ายต่อการเข้าใจคำอธิบายเป็นภาษาอังกฤษล้วนทำให้ทุกอย่างสับสนมากขึ้น การใช้คำฟุ่มเฟื่อย$\ne$ ความชัดเจน