นักโทษที่ผิดธรรมดา

ฉันได้รับการออกกำลังกายและฉันก็ไม่สามารถเข้าใจได้

นักโทษที่ผิดธรรมดา

นักโทษสามคนที่ถูกกักตัวเดี่ยว A, B และ C ถูกตัดสินประหารชีวิตในวันเดียวกัน แต่เนื่องจากมีวันหยุดประจำชาติผู้ว่าราชการจังหวัดจึงตัดสินว่าจะได้รับการให้อภัย นักโทษจะได้รับแจ้งเรื่องนี้ แต่บอกว่าพวกเขาจะไม่ทราบว่าจะให้คนใดคนหนึ่งรอดชีวิตจนกว่าจะถึงวันที่กำหนดไว้สำหรับการประหารชีวิต

ผู้ต้องหาคนหนึ่งพูดกับผู้คุม "ฉันรู้แล้วว่าอย่างน้อยหนึ่งนักโทษอีกสองคนจะถูกประหารดังนั้นหากคุณบอกชื่อผู้ถูกประหารชีวิตฉันจะไม่ให้ข้อมูลเกี่ยวกับการประหารชีวิตของฉัน" .

ผู้คุมยอมรับสิ่งนี้และบอกเขาว่า C จะต้องตายอย่างแน่นอน

เหตุผลก่อนหน้านี้“ ก่อนที่ฉันจะรู้ตัว C จะต้องถูกประหารชีวิตฉันมีโอกาส 1 ใน 3 ที่จะได้รับการให้อภัย ตอนนี้ฉันรู้ว่า B หรือตัวฉันเองจะได้รับการอภัยอัตราต่อรองที่ได้รับการปรับปรุงเป็น 1 ใน 2 "

แต่ผู้คุมชี้ว่า“ คุณอาจได้ข้อสรุปที่คล้ายกันถ้าฉันบอกว่า B จะตายและฉันก็ต้องตอบทั้ง B หรือ C ดังนั้นทำไมคุณต้องถาม?”

โอกาสในการได้รับการอภัยโทษคืออะไรและเพราะอะไร สร้างคำอธิบายที่จะทำให้คนอื่นเชื่อว่าคุณพูดถูก

คุณสามารถแก้ไขปัญหานี้โดยทฤษฎีบทของเบย์โดยการวาดเครือข่ายความเชื่อหรือโดยสามัญสำนึก วิธีใดก็ตามที่คุณเลือกควรทำให้คุณเข้าใจแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขอย่างหลอกลวงมากยิ่งขึ้น

นี่คือการวิเคราะห์ของฉัน:

ดูเหมือนว่าปัญหา Monty Hallแต่จะไม่มาก ถ้า A บอกว่าI change my place with Bหลังจากเขาบอกว่า C จะตายเขามีโอกาส 2/3 ที่จะได้รับการช่วยเหลือ ถ้าเขาทำไม่ได้ฉันจะบอกว่าโอกาสของเขาคือ 1/3 ที่จะมีชีวิตเช่นเมื่อคุณไม่เปลี่ยนตัวเลือกของคุณในปัญหา Monty Hall แต่ในเวลาเดียวกันเขาอยู่ในกลุ่มของผู้ชาย 2 คนและคนหนึ่งควรตายดังนั้นจึงเป็นการล่อลวงที่จะบอกว่าโอกาสของเขาคือ 1/2

ดังนั้นความขัดแย้งยังคงอยู่ที่นี่คุณจะเข้าใกล้เรื่องนี้อย่างไร นอกจากนี้ฉันไม่รู้ว่าฉันจะสร้างเครือข่ายความเชื่อเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้อย่างไรฉันจึงสนใจที่จะเห็นสิ่งนั้น

เริ่มแรกมีความเป็นไปได้สามประการด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน:

• A จะได้รับการปลดปล่อย (prob )$1/3$
• B จะถูกปล่อยให้เป็นอิสระ (prob )$1/3$
• C จะถูกปล่อยให้เป็นอิสระ (prob )$1/3$

ด้วยสัญญาของข้อความมีสี่ความเป็นไปได้ที่มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน:

• A จะถูกปล่อยให้เป็นอิสระและ A ถูกบอกว่า B จะถูกประหารชีวิต (prob )$1/6$
• A จะถูกปล่อยให้เป็นอิสระและ A ถูกบอกว่า C จะถูกดำเนินการ (prob )$1/6$
• B จะถูกปลดปล่อยและ A ถูกบอกว่า C จะถูกดำเนินการ (prob )$1/3$
• C จะถูกปล่อยให้เป็นอิสระและ A ถูกบอกว่า B จะถูกประหารชีวิต (prob )$1/3$

เงื่อนไขใน "A บอกจะถูกดำเนินการ C" นี้จะกลายเป็น

• จะถูกปล่อยให้เป็นอิสระและบอกว่าจะดำเนินการ C (prob )$1/3$
• B จะถูกปลดปล่อยและ A ถูกบอกว่า C จะถูกดำเนินการ (prob )$2/3$

ดังนั้นหลังจากที่ข้อความ A ต้องการสลับกับ B (ปัญหา Monty Hall) แต่ไม่สามารถทำได้และยังคงความน่าจะเป็นดั้งเดิมของการถูกดำเนินการ$2/3$

ฉันคิดว่าคุณกำลังคิดมากปัญหา - มันเป็นปัญหา Monty Hall และใช้ตรรกะเดียวกัน

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเห็นด้วยกับ @babelproofreader หรือไม่ว่านี่เป็นปัญหาของ Monty Hall และใช้ตรรกะแบบเดียวกัน ในปัญหา Monty Hall คุณลงไปและเลือกหนึ่งประตู กฎคือ Monty รู้ว่ารางวัลอยู่ที่ไหนจะไม่เปิดประตูที่ซ่อนรางวัลและจะเปิดประตูที่ไม่ถูกเลือกเสมอ (เช่นถ้าคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัลเขาจะไม่เปิดประตูที่คุณมี เลือกแล้วพูดว่า "ขอโทษคุณแพ้!" และส่งคุณกลับไปที่ที่นั่งของคุณ) และเขาจะเสนอทางเลือกให้สลับไปที่ประตูอื่น (ยกเลิกการเปิด) ที่ไม่มีคนเปิด ประตูที่มีรางวัล.) ในสถานการณ์เหล่านี้ถ้าหมายถึงกรณีที่เลือกครั้งแรกของคุณเป็นประตูที่มีรางวัลแล้ว{3} ถ้า$A$$P(A) = \frac{1}{3}$$B$คือเหตุการณ์ที่การเลือกสุดท้ายของคุณคือประตูที่มีรางวัลจากนั้น

• หากกลยุทธ์ของคุณคือการวางไว้เสมอแล้ว (เนื่องจากคุณเลือกถูกต้องในการเริ่มต้นและติดกับมัน) และ (เพราะคุณ ทำให้เลือกผิดในการเริ่มต้นและติดกับมัน) ดังนั้นโดยกฎความน่าจะเป็นทั้งหมด $P(B \mid A) = 1$$P(B \mid A^c) = 0$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
• ถ้ากลยุทธ์ของคุณคือการสลับเสมอแล้ว (ตั้งแต่คุณได้ทำทางเลือกที่เหมาะสมในการเริ่มต้นแล้วเปลี่ยน) และ (เพราะคุณทำผิด ตัวเลือกในการเริ่มต้นและเพื่อให้แน่ใจว่าประตูที่เหลืออยู่ (ไม่ได้เปิดออก) จะได้รับรางวัล) ดังนั้นโดยกฎความน่าจะเป็นทั้งหมด $P(B \mid A) = 0$$P(B \mid A^c) = 1$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

ที่นี่สถานการณ์แตกต่างกัน นอกจากนี้ไม่มีสถานที่การเปลี่ยนแปลงกับในขณะที่ "ถ้าบอกว่าฉันจะเปลี่ยนสถานที่ของฉันกับ B หลังจากที่เขาบอกว่าซีจะตายเขามี 2/3 โอกาสที่จะถูกบันทึกไว้." $B$

เพิ่มความคิดเห็น: ความแตกต่างอีกประการหนึ่งคือ A ไม่มีข้อมูลว่าผู้คุมรู้ว่าใครจะได้รับการให้อภัยหรือผู้คุมกำลังพูดความจริงเมื่อเขาบอกว่า C จะถูกประหารชีวิต ในทางกลับกันผู้คุมถูกต้องสมบูรณ์เมื่อเขาพูดว่าการบอกว่า C จะถูกประหารชีวิตนั้นไม่มีข้อมูลที่เป็นประโยชน์กับ A. การเปรียบเทียบที่ใกล้เคียงที่สุดกับปัญหา Monty Hall คือหลังจากที่ A ได้เลือกประตูแล้ว Monty จะเปิด ยกเลิกการเลือกประตูเพื่อเปิดเผยแพะและบอกกับ A "เปิดประตูแล้วมาดูสิ่งที่คุณได้รับ" นั่นคือไม่มีข้อเสนอของสวิตช์ โอกาสของ A ในการชนะรางวัล (Monty Hall) หรือถูกอภัยโทษ (ปัญหานักโทษ) เหมือนกัน:จาก$1$$3$ ไม่ว่ามอนตี้จะเปิดประตูที่ไม่ได้เลือกเพื่อเปิดเผยแพะหรือไม่หรือผู้คุมบอกว่า A จะดำเนินการ C หรือไม่เหมือนกับที่เฮนรี่คำนวณในรายละเอียด

คำตอบนั้นขึ้นอยู่กับวิธีที่ผู้ต้องขังเลือกว่านักโทษคนใดจะตั้งชื่อเมื่อเขารู้ว่าจะต้องให้อภัย พิจารณากฎสองข้อ:

1) ผู้คุมเลือกระหว่าง B และ C โดยการสุ่มและเพิ่งจะพูดว่า C ในกรณีนี้ โอกาสที่จะได้รับการอภัยคือ 1/3

2) ผู้คุมพูดเสมอ C. จากนั้นโอกาสที่จะได้รับการอภัยคือ 1/2

ทั้งหมดที่เราได้รับการบอกกล่าวคือผู้คุมพูดว่า C ดังนั้นเราจึงไม่ทราบว่ากฎเหล่านี้เขาปฏิบัติตามกฎใด ในความเป็นจริงอาจมีกฎอื่น ๆ - บางทีผู้ต้องขังจะต้องตายและบอกว่า C เท่านั้นถ้าเขากลิ้งที่ 6

ดังที่คนอื่น ๆ ชี้ให้เห็นปัญหาของนักโทษสามคนคือการรื้อฟื้น Monty Hall สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมดูที่หัวข้อ 1.7 ของเอกสารนี้http://faculty.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Problem.pdf

ลองนึกภาพว่าผู้คุมบอกว่า C จะต้องตายอย่างแน่นอน จากนั้นเขาก็บอก B ว่า C จะต้องตายอย่างแน่นอน เป็นที่ชัดเจนในกรณีนี้ว่า A และ B มี 50% ต่อการให้อภัย แต่ความแตกต่างระหว่างสองรุ่นคืออะไร?

สามปัญหานักโทษเป็นความแตกต่างจากมอนตี้ฮอลล์ ความเป็นไปได้ที่จะได้รับการอภัยนั้นจริง ๆ แล้วคือสำหรับอลิซไม่ใช่แต่เฉพาะในกรณีที่ผู้คุมติดตามกลยุทธ์$1/2$$2/3$

เหตุการณ์: - อลิซถูกอภัยโทษ เหมือนกันสำหรับและC - ผู้คุมบอกอลิซชื่อ "บ็อบ" (เป็นคำตอบของ "ใครจะถูกประหารชีวิต") - เขาบอกชื่อ "คาร์ล" เขาไม่สามารถตั้งชื่ออลิซด้วยตนเองได้เนื่องจากกฎเกณฑ์$A$$B$$C$$J$$J^c$

เรากำลังสนใจใน(J) ขณะนี้มีสองสถานการณ์:$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

1. ผู้คุมโยนเหรียญก่อนที่จะบอก B หรือ C:{2}$P(J|A) = \frac{1}{2}$

2. ผู้คุมบอกชื่อบ๊อบเมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้:ยัง และ0$P(J|A) = 1$$P(J|C) = 1$$P(J|B) = 0$

หลังจากได้รับข้อมูลว่านักโทษ C จะตายโอกาสของเขาเปลี่ยนเป็น 1/2 แต่เพียงเพราะโอกาสที่เขาได้รับข้อมูลนั้นมีอยู่แล้ว 2/3 (ความเป็นไปได้ที่นักโทษนักโทษ C จะได้รับการอภัยจะถูกกำจัด )

และ 2/3 * 1/2 คือความน่าจะเป็นแบบดั้งเดิมสำหรับการปลดปล่อย

สิ่งที่น่าเชื่อถือมากขึ้นคือแนวทางตรงข้าม:

สมมติว่าเขาถูกบอกว่านักโทษ C จะได้รับการอภัยโทษ
โอกาสใดที่เขาจะไม่ถูกสังหาร?
ทุกคนจะยอมรับว่าโอกาสของเขาเป็นศูนย์โดยสมมติว่าผู้คุมไม่ได้โกหกและมีการให้อภัยเพียงคนเดียว

คราวนี้เขามีโอกาส 1/1 เพราะโอกาสของข้อมูลนั้นอยู่ที่ 1/3 แล้ว