วิธีการคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของช่างกลิ้งลูกเต๋าที่ซับซ้อนนี้ได้อย่างไร

คำถามนี้ถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในเกมสวมบทบาท อย่างไรก็ตามคำถามและคำตอบนั้นไม่ครอบคลุมความซับซ้อนของกลไกลูกเต๋า โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันไม่ได้ครอบคลุม botches (ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หนึ่งอย่าง) เลย

ผู้เล่นมีลูกเต๋ารวมอยู่บนพื้นฐานของกลไกในเกมที่ไม่เกี่ยวข้องกับคำถามนี้ ลูกเต๋ากลุ่มคือจำนวนลูกเต๋าที่ผู้เล่นอาจหมุน มีกฎเกี่ยวกับจำนวนลูกเต๋าที่ผู้เล่นจะหมุน แต่นั่นไม่เกี่ยวข้องกับคำถามนี้ อาจเป็นจำนวนลูกเต๋าใด ๆ จาก 1 (หนึ่งตาย) ถึงประมาณ 15 ฉันกำลังเรียกPนี้

ลูกเต๋ามี 10 ด้านที่มีป้ายกำกับ 1 ถึง 10 รวมอยู่ (เรียกว่า 'd10' ในคำศัพท์โดเมนของเรา)

เมื่อทอยลูกเต๋ามีหมายเลขเป้าหมายหรือหมายเลขความยาก วิธีสร้างหมายเลขนี้อยู่นอกขอบเขตของคำถามนี้ แต่หมายเลขสามารถอยู่ระหว่าง 3 ถึง 9 กฎรอบนี้มีการอธิบายด้านล่าง ฉันโทรนี้T

เมื่อทอยลูกเต๋าทั้งหมดแล้วจะมีกฎบางอย่างในการพิจารณาผลลัพธ์:

• การตายใด ๆ ที่มีค่าเท่ากับหรือมากกว่า T จะถือว่าเป็นความสำเร็จ
• การตายใด ๆ ที่เท่ากับ 1 ลบจากความสำเร็จ

ดังนั้น...

• หากหลังจากการลบ (ถ้ามี) ไม่มีตายที่เหลือมากกว่าหรือเท่ากับ T จากนั้นผลที่ได้คือความล้มเหลว
• หากหลังจากการลบ (ถ้ามี) จะมีการตายอย่างน้อยหนึ่งครั้งที่มากกว่าหรือเท่ากับ T ดังนั้นผลลัพธ์จะประสบความสำเร็จ
• หากไม่มีการรีดตายมากกว่าหรือเท่ากับ T และอย่างน้อยหนึ่งการตายคือ 1 นั่นก็คือบอต

สำหรับเป้าหมาย P pool และ T ที่กำหนดคุณจะคำนวณความน่าจะเป็นของความสำเร็จความล้มเหลวหรือบ็อตช์ในระบบนี้ได้อย่างไร

ฉันจะต้องจัดการกับมันในระยะเวลาที่อนุญาต ฉันคาดหวังว่าจะมีคนให้แนวทางที่สมบูรณ์ (และอาจง่ายกว่า) ก่อนที่ฉันจะจบ

อันดับแรกให้ดูที่ botches

ฉันจะไม่สนใจบางส่วนของสัญกรณ์ของคุณและโทรไปยังหมายเลขของลูกเต๋าn$n$

หากไม่มีการรีดตายมากกว่าหรือเท่ากับ T และอย่างน้อยหนึ่งการตายคือ 1 นั่นก็คือบอต

ก่อนอื่นให้พิจารณา$P(\text{no dice }\geq T) = (\frac{T-1}{10})^n$

พิจารณา$P(\text{no } 1| \text{no dice }\geq T) = (\frac{T-2}{T-1})^n$

ดังนั้น$P(\text{botch}) = [1- (\frac{T-2}{T-1})^n]\cdot (\frac{T-1}{10})^n$

$\hspace{2cm} = \frac{(T-1)^n-(T-2)^n}{10^n}$

(สมมติว่าฉันไม่ได้ทำผิดพลาด)

ประการที่สองการแจกแจงจำนวนของความสำเร็จของแต่ละคนหลังจากการลบสามารถจัดการได้โดยวิธีการที่โพสต์นี้ อย่างไรก็ตามคุณดูเหมือนจะตามหลัง (เช่นการหมุนโดยรวมสำเร็จ) ซึ่งฉันคิดว่าอาจจะคล้อยตามวิธีการที่ค่อนข้างง่ายกว่า (แม้ว่าพวกเขาอาจเกี่ยวข้องกับการทำงานมากขึ้นใน จบ) ฉันจะดูการแก้ไขต่อไป$P(\text{at least one success in total})$