เดินสุ่มด้วยโมเมนตัม

พิจารณาการเดินสุ่มจำนวนเต็มเริ่มต้นที่ 0 โดยมีเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

ขั้นตอนแรกคือบวกหรือลบ 1 ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน
ทุกขั้นตอนในอนาคตคือ: 60% มีแนวโน้มที่จะเป็นไปในทิศทางเดียวกันกับขั้นตอนก่อนหน้า 40% มีแนวโน้มที่จะเป็นไปในทิศทางตรงกันข้าม

การกระจายแบบนี้ให้ผลเช่นไร?

ฉันรู้ว่าการเดินสุ่มแบบไม่โมเมนตัมให้การแจกแจงแบบปกติ โมเมนตัมเปลี่ยนความแปรปรวนหรือเปลี่ยนธรรมชาติของการกระจายตัวทั้งหมดหรือไม่?

ฉันกำลังมองหาคำตอบทั่วไปดังนั้นโดย 60% และ 40% ข้างต้นฉันหมายถึงpและ1-pจริงๆ

stochastic-processes randomness random-walk

— barrycarter
แหล่งที่มา

ที่จริง @Dilip คุณต้องมีห่วงโซ่มาร์คอฟกับรัฐจัดทำดัชนีโดยคู่สั่งซื้อ

(i, i + 1)

$(i,i+1)$ และ

(i, i - 1)

$(i,i-1)$ ,

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$ Z

ช่วงการเปลี่ยนภาพคือ

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$ และ

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$ ที่มีความน่าจะเป็น

p

$p$ และ

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$ และ

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$ มีความน่าจะเป็น

1 - p

$1-p$ พี

— whuber

โปรดทราบว่าขนาดขั้นตอนในรูปแบบห่วงโซ่มาร์คอฟใน

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$ และคุณเกิดขึ้น (?!) เพื่อเริ่มต้นที่การกระจายแบบคงที่

— พระคาร์ดินัล

คุณต้องการ จำกัด การกระจาย (ส่วนขยาย) สำหรับ

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$ โดยที่

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$ เป็นขั้นตอนของการเดินหรือไม่

— พระคาร์ดินัล

อีกวิธีหนึ่งอาจจะดูผลรวมของตัวแปรสุ่มทางเรขาคณิตแล้วใช้ทฤษฎี martingale ปัญหาคือคุณจะต้องกำหนดเวลาหยุดบางชนิดซึ่งอาจยุ่งยาก

— shabbychef

คำตอบ:

เพื่อข้ามไปสู่ข้อสรุปในทันที "โมเมนตัม" จะไม่เปลี่ยนความจริงที่ว่าการแจกแจงแบบปกติเป็นการประมาณแบบเชิงเส้นกำกับของการแจกแจงของการเดินแบบสุ่ม แต่ความแปรปรวนเปลี่ยนจากเป็น )สิ่งนี้สามารถได้มาจากการพิจารณาเบื้องต้นในกรณีพิเศษนี้ ไม่ยากที่จะสรุปข้อโต้แย้งด้านล่างให้กับ CLT สำหรับขอบเขตพื้นที่ จำกัด มาร์คอฟพูด แต่ปัญหาที่ใหญ่ที่สุดคือการคำนวณความแปรปรวน สำหรับปัญหาเฉพาะนั้นสามารถ $4np(1-p)$ $np/(1-p)$ ถูกคำนวณและหวังว่าข้อโต้แย้งด้านล่างสามารถโน้มน้าวให้ผู้อ่านว่ามันเป็นความแปรปรวนที่ถูกต้อง

การใช้ข้อมูลเชิงลึกที่ Cardinal ให้ไว้ในคอมเม้นต์การเดินแบบสุ่มจะได้รับเป็น โดยที่และเป็นโซ่มาร์คอฟด้วยเมทริกซ์น่าจะเปลี่ยน สำหรับข้อควรพิจารณาแบบไม่แสดงเมื่อการแจกแจงเริ่มต้นของไม่มีบทบาทดังนั้นให้แก้ไข

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

เพื่อประโยชน์ของการโต้แย้งต่อไปและถือว่ายังที่

เทคนิคที่ลื่นไหลคือการสลายโซ่มาร์คอฟออกเป็นวงจรอิสระ ให้

แสดงเป็นครั้งแรกหลังจากเวลา 1 ว่าเชนมาร์คอฟจะกลับไปเป็น 1 นั่นคือถ้า

แล้ว

และถ้า

และ

แล้ว

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$ . โดยทั่วไปให้

หมายถึง

'วันเวลากลับไป 1 และให้

หมายถึงเวลาระหว่างผลตอบแทน (มี

) ด้วยคำจำกัดความเหล่านี้เรามี

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

ด้วยแล้ว $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
ตั้งแต่เตะค่าสำหรับและก็ถือได้ว่า $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
ครั้งระหว่างทางกลับสำหรับห่วงโซ่มาร์คอฟจะ IID (อย่างเป็นทางการเนื่องจากการที่แข็งแกร่งมาร์คอฟทรัพย์สิน) และในกรณีนี้ที่มีค่าเฉลี่ยและแปรปรวน $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ พีมันแสดงให้เห็นวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนด้านล่าง $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
CLT สามัญสำหรับตัวแปร iid ให้ผลว่า $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
สิ่งสุดท้ายที่ควรทราบซึ่งต้องอาศัยความเชื่อเล็กน้อยเพราะฉันทิ้งรายละเอียดไว้นั่นคือซึ่งให้ผลที่ $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

การคำนวณช่วงเวลาของหนึ่งอาจทราบว่าและ , 2จากนั้นเทคนิคที่คล้ายกับเทคนิคที่ใช้เมื่อคำนวณช่วงเวลาสำหรับการแจกแจงเชิงเรขาคณิต หรือถ้าเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีโอกาสประสบความสำเร็จและ $\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ ดังนั้นมีการแจกแจงแบบเดียวกับและง่ายต่อการคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนสำหรับการแทนหลังนี้ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
แหล่งที่มา

+1 ดี ฉันจะเขียนการกระจาย assymptotic เพียง

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$

$\rho$ $\rho = 2p - 1$

ข้อผิดพลาดมาตรฐานที่แท้จริงของ \bar{x} \approx \sqrt{\frac{พี}{1 - พี}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

n

$n$

s

$s$

n

$n$

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$

$p$

— shabbychef
แหล่งที่มา

p = 0

$p=0$

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$

1 - 2 p

$1 - 2p$