จะทดสอบสถิติได้อย่างไรว่าเครือข่าย (กราฟ) ของฉันเป็นเครือข่าย "โลกใบเล็ก" หรือไม่?

เครือข่ายขนาดเล็กของโลกคือประเภทของกราฟทางคณิตศาสตร์ในการที่โหนดส่วนใหญ่จะไม่เพื่อนบ้านของอีกคนหนึ่ง แต่โหนดส่วนใหญ่สามารถเข้าถึงได้จากทุกอื่น ๆ โดยจำนวนเล็ก ๆ ของฮอปส์หรือขั้นตอน โดยเฉพาะเครือข่ายโลกขนาดเล็กถูกกำหนดให้เป็นเครือข่ายที่ระยะทางปกติ L ระหว่างสองโหนดสุ่มเลือก (จำนวนขั้นตอนที่จำเป็น) เติบโตตามสัดส่วนลอการิทึมของจำนวนโหนด N ในเครือข่ายนั่นคือ

$$L \approx \log(N)$$

ความสัมพันธ์ระหว่าง L และ N นี้เป็น "กฎนิ้วหัวแม่มือ" ฉันกำลังมองหากราฟระดับโลกขนาดเล็กที่เป็นมืออาชีพมากขึ้นสำหรับการวิจัย ฉันจะทดสอบได้อย่างไรว่ากราฟของฉันเป็นกราฟขนาดเล็กหรือไม่

การทดลองในโลกใบเล็กประกอบด้วยการทดลองหลายอย่างที่ดำเนินการโดย Stanley Milgram และนักวิจัยอื่น ๆ ที่ตรวจสอบความยาวเส้นทางโดยเฉลี่ยสำหรับเครือข่ายสังคมออนไลน์ของผู้คนในสหรัฐอเมริกา การวิจัยครั้งนี้มีความก้าวล้ำในการแนะนำว่าสังคมมนุษย์เป็นเครือข่ายขนาดเล็กระดับโลกที่มีความยาวเส้นทางสั้น การทดลองมักเกี่ยวข้องกับวลี "การแยกหกองศา" แม้ว่า Milgram จะไม่ใช้คำนี้ด้วยตนเอง

ขอบคุณล่วงหน้า.

TL; DR:

คุณทำไม่ได้

โดยทั่วไปแล้วจะทำอะไร

“ สถานะของศิลปะ” ปัจจุบันในการพิจารณาว่าเครือข่ายเป็นโลกขนาดเล็กใช้วิธีการต่อไปนี้หรือไม่:

1. คำนวณค่าเฉลี่ยความยาวพา ธ ที่สั้นที่สุด และค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่ม ของเครือข่ายของคุณ$L$$C$

2. สร้างวงดนตรีที่เหมาะสมของเครือข่าย null รูปแบบเช่นแอร์ดิช-Rényiกราฟสุ่มหรือMaslov-Sneppen กราฟแบบสุ่ม

3. คำนวณค่าเฉลี่ยของความยาวพา ธ เฉลี่ยที่สั้นที่สุดบนเครือข่ายแบบจำลองโมฆะชุดนี้ คำนวณล็อกC $L_\text{r}$$C_\text{r}$

4. คำนวณปกติเส้นทางที่สั้นที่สุด{r} และ{r}$λ := L/L_\text{r}$$γ := C/C_\text{r}$

5. หากและตามเกณฑ์ที่กำหนด (เช่นและ ) ให้เรียกเครือข่ายเครือข่ายโลกเล็ก ๆ$λ$$γ$$λ≈1$$γ>1$

แนวคิดเบื้องหลังนี้คือ:

• เครือข่ายขนาดเล็กในโลกควรมีโครงสร้างเชิงพื้นที่ซึ่งสะท้อนจากค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มที่สูง ในทางตรงกันข้ามเครือข่ายแบบสุ่มไม่มีโครงสร้างดังกล่าวและค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มต่ำ

• เครือข่ายขนาดเล็กในโลกมีประสิทธิภาพในการสื่อสารและคล้ายคลึงกันดังนั้นจึงมีความยาวเส้นทางที่สั้นที่สุดเทียบได้กับเครือข่ายแบบสุ่ม ในทางตรงกันข้ามเครือข่ายอวกาศล้วนมีความยาวเส้นทางที่สั้นที่สุด

ปัญหาอยู่ตรงไหน

• นี่ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับความหมายของเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ปรับขนาดด้วยขนาดเครือข่าย ในความเป็นจริงสำหรับเครือข่ายจริงคำจำกัดความทั้งหมดที่คุณอ้างไม่สามารถนำมาใช้ได้เนื่องจากไม่มีสิ่งเช่นเครือข่ายเดียวกันที่มีจำนวนโหนดที่แตกต่างกัน

• สมมติว่าเราใช้คำจำกัดความอื่น ๆ ของโลกเล็ก ๆ ที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของและโดยตรงเช่น:$λ$$γ$

  เครือข่ายขนาดเล็กโลกเป็นเครือข่ายเชิงพื้นที่ที่มีการเชื่อมต่อระยะยาวที่เพิ่มขึ้น

  จากนั้นเรายังคงไม่สามารถบอกนัยได้ว่าคำจำกัดความดังกล่าวนั้นเพียงแค่ใช้และ (หรือในความเป็นจริงแล้วมาตรการเครือข่ายอื่น ๆ ) การตีความของการศึกษาจำนวนมากสันนิษฐานว่าเครือข่ายทั้งหมดเป็นแบบจำลองของWatts – Strogatzสำหรับความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นใหม่ซึ่งไม่เป็นธรรมเลย: เรารู้รูปแบบเครือข่ายอื่น ๆ ที่มีการรับรู้แตกต่างจากแบบจำลอง Watts – Strogatz$λ$$γ$

• วิธีการข้างต้นไม่สามารถแก้ไขข้อผิดพลาดในการวัดได้ ข้อผิดพลาดเล็กน้อยเมื่อสร้างเครือข่ายจากการวัดที่เพียงพอที่จะทำเช่นโครงตาข่ายดูเหมือนเครือข่ายโลกขนาดเล็กดูเช่นBialonski et al., Chaos (2010)และPapo et al., Front ครวญเพลง Neurosci (2016) ในความเป็นจริงฉันไม่ได้ตระหนักถึงการศึกษาเดียวที่อ้างว่าเครือข่ายเชิงประจักษ์บางอย่างไม่ได้เป็นเครือข่ายขนาดเล็กในโลก

Sidenote: คุณจะได้อะไร

ฉันไม่ได้ตระหนักถึงความเข้าใจที่เป็นประโยชน์ใด ๆ ที่สามารถหาได้จากเครือข่ายบางแห่งในโลกใบเล็ก การอ้างว่าเครือข่ายบางประเภทได้รับการอธิบายอย่างดีจากแบบจำลองเครือข่ายบางอย่าง (เช่นแบบจำลอง Watts – Strogatz) อาจมีประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลองการศึกษา

^{ข้อจำกัดความรับผิดชอบฉบับเต็ม: หนึ่งในเอกสารข้างต้นมาจากการศึกษาโดยตรงของฉัน}

Small-Worldness ดัชนีสามารถคำนวณได้ใน "R" โดยใช้ฟังก์ชั่นsmallworldnessในแพคเกจqgraph

สิ่งนี้มีพื้นฐานมาจาก: Humphries, MD, & Gurney, K. (2008) เครือข่าย " เล็กโลก-Ness": วิธีการเชิงปริมาณในการกำหนดความเท่าเทียมกันของเครือข่ายที่ยอมรับ PLoS One, 3 (4), e0002051

จากกระดาษ:

"ขณะนี้เครือข่ายได้รับการพิจารณาว่าเป็น 'โลกใบเล็ก' ถ้า S> 1 - คำยืนยันที่อาจถูกทดสอบทางสถิติ"