วิธีแสดงว่าตัวประมาณมีความสอดคล้องกันอย่างไร

มันเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า MSE = 0 เป็น $n\rightarrow\infty$ ? ฉันยังอ่านบางสิ่งเกี่ยวกับ plim ในบันทึกของฉันด้วย ฉันจะค้นหา plim และใช้เพื่อแสดงว่าตัวประมาณมีความสอดคล้องกันได้อย่างไร

estimation convergence consistency

— ความอดทน
แหล่งที่มา

แก้ไข: แก้ไขข้อผิดพลาดเล็กน้อย

นี่คือวิธีหนึ่งในการทำ:

ประมาณการของ $\theta$ (ขอเรียกว่า $T_n$ ) มีความสอดคล้องถ้ามันลู่ในความน่าจะเป็นθ $\theta$ ใช้สัญลักษณ์ของคุณ

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ θ

การลู่เข้าในความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์หมายถึง

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ $\epsilon>0$

วิธีที่ง่ายที่สุดในการแสดงคอนเวอร์เจนซ์ในความน่าจะเป็น / ความสอดคล้องคือการเรียกใช้อสมการ Chebyshev ซึ่งระบุว่า:

$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ 2}

ดังนั้น,

$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ 2}

และดังนั้นคุณต้องแสดงให้เห็นว่าไปเป็น 0 n $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

แก้ไข 2 : ข้างต้นต้องการให้ตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงอย่าง asymptotically ดังที่ G. Jay Kerns ชี้ให้พิจารณาตัวประมาณ (สำหรับการประมาณค่าเฉลี่ย ) จะลำเอียงทั้ง จำกัดและ asymptotically และเป็น\ อย่างไรก็ตามไม่ได้เป็นประมาณการที่สอดคล้องกันของ\ $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ $\mu$

แก้ไข 3 : ดูคะแนนสำคัญในความคิดเห็นด้านล่าง

@ G.JayKerns ความเอนเอียงไม่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้ พิจารณา2} เป็นตัวประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่คุณสามารถใช้อาร์กิวเมนต์ด้านบนเพื่อแสดงว่ามันสอดคล้องกัน

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

ดูดี (+1); และฉันจะลบความคิดเห็นก่อนหน้าของฉัน

@ G.JayKerns ความคิดเห็นของคุณเป็นส่วนเสริมที่จำเป็น เราต้องทำให้แน่ใจว่าเรารับรู้ถึงข้อสันนิษฐานที่เรากำลังดำเนินการอยู่

@MikeWierzbicki: ฉันคิดว่าเราต้องระวังให้มากโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับสิ่งที่เราหมายถึงโดยไม่ฝักใฝ่ฝ่ายใด มีแนวคิดที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองอย่างที่มักจะได้รับชื่อนี้และเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องแยกแยะพวกเขา หมายเหตุว่ามันไม่เป็นความจริงโดยทั่วไปว่าการประมาณการที่สอดคล้องกันคือ asymptotically เป็นกลางในแง่ที่ว่าแม้ในขณะที่ค่าเฉลี่ยที่มีอยู่สำหรับทุกnหลายคนเรียกการรวมกัน unbiasedness ในขีด จำกัดหรือความเป็นกลางโดยประมาณ ... (ต่อ)

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

— พระคาร์ดินัล

เห็นได้ชัดว่าเพื่อให้ตัวประมาณที่สอดคล้องกันถูกจำกัดความเอนเอียงในจะต้องล้มเหลวเนื่องจากที่T_n

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

— พระคาร์ดินัล