อะไรคือการกระจายของลูกเต๋าหลายเหลี่ยมที่ม้วนตัวทั้งหมดในคราวเดียว

นำของแข็ง 5 Platonic ออกจากชุดลูกเต๋า Dungeons & Dragons เหล่านี้ประกอบด้วยลูกเต๋า 4 ด้าน, 6 ด้าน (ธรรมเนียม), 8-sided, 12-sided และ 20-sided ทั้งหมดเริ่มต้นที่หมายเลข 1 และนับขึ้น 1 ด้วยจำนวนทั้งหมด

รีดพวกเขาทั้งหมดในครั้งเดียวนำผลรวมของพวกเขา (ผลรวมขั้นต่ำคือ 5, สูงสุดคือ 50) ทำหลาย ๆ ครั้ง การกระจายคืออะไร?

เห็นได้ชัดว่าพวกเขามีแนวโน้มไปสู่จุดต่ำสุดเนื่องจากมีตัวเลขที่ต่ำกว่าสูงกว่า แต่จะมีจุดเปลี่ยนที่เด่นในแต่ละเขตของการตายของแต่ละคนหรือไม่?

[แก้ไข: เห็นได้ชัดว่าสิ่งที่ดูเหมือนไม่ชัดเจน ตามที่ผู้วิจารณ์คนหนึ่งกล่าวว่าค่าเฉลี่ยคือ (5 + 50) /2=27.5 ฉันไม่ได้คาดหวังสิ่งนี้ ฉันยังอยากเห็นกราฟ] [แก้ไข 2: มันสมเหตุสมผลมากกว่าที่จะเห็นว่าการกระจายของ n ลูกเต๋าเหมือนกันกับแต่ละลูกเต๋าแยกกันรวมกัน]

ฉันไม่ต้องการทำพีชคณิต แต่คุณสามารถคำนวณ PMF ได้ง่ายพอ (เป็นเพียงการบิดซึ่งง่ายจริงๆในสเปรดชีต)

ฉันคำนวณสิ่งเหล่านี้ในสเปรดชีต *:

i        n(i)   100 p(i)
5         1     0.0022
6         5     0.0109
7        15     0.0326
8        35     0.0760
9        69     0.1497
10      121     0.2626
11      194     0.4210
12      290     0.6293
13      409     0.8876
14      549     1.1914
15      707     1.5343
16      879     1.9076
17     1060     2.3003
18     1244     2.6997
19     1425     3.0924
20     1597     3.4657
21     1755     3.8086
22     1895     4.1124
23     2014     4.3707
24     2110     4.5790
25     2182     4.7352
26     2230     4.8394
27     2254     4.8915
28     2254     4.8915
29     2230     4.8394
30     2182     4.7352
31     2110     4.5790
32     2014     4.3707
33     1895     4.1124
34     1755     3.8086
35     1597     3.4657
36     1425     3.0924
37     1244     2.6997
38     1060     2.3003
39      879     1.9076
40      707     1.5343
41      549     1.1914
42      409     0.8876
43      290     0.6293
44      194     0.4210
45      121     0.2626
46       69     0.1497
47       35     0.0760
48       15     0.0326
49        5     0.0109
50        1     0.0022

นี่คือจำนวนของวิธีการได้รับในแต่ละทั้งหมดฉัน ; P ( ฉัน)ความน่าจะเป็นที่P ( ฉัน) = n ( ฉัน) / 46,080 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากที่สุดเกิดขึ้นน้อยกว่า 5% ของเวลา$n(i)$$i$$p(i)$$p(i) = n(i)/46080$

แกน y คือความน่าจะเป็นที่แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์

* วิธีที่ฉันใช้นั้นคล้ายกับขั้นตอนที่อธิบายไว้ที่นี่แม้ว่ากลไกที่แน่นอนที่เกี่ยวข้องในการตั้งค่าการเปลี่ยนแปลงเนื่องจากรายละเอียดส่วนติดต่อผู้ใช้เปลี่ยนแปลง (โพสต์นั้นมีอายุประมาณ 5 ปี แต่ฉันได้อัปเดตประมาณหนึ่งปีที่ผ่านมา) และฉันใช้แพ็คเกจอื่นในครั้งนี้ (ฉันทำใน Calc ของ LibreOffice ในครั้งนี้) ยังคงเป็นส่วนสำคัญของมัน

ดังนั้นฉันทำรหัสนี้:

d4 <- 1:4  #the faces on a d4
d6 <- 1:6  #the faces on a d6
d8 <- 1:8  #the faces on a d8
d10 <- 1:10 #the faces on a d10 (not used)
d12 <- 1:12 #the faces on a d12
d20 <- 1:20 #the faces on a d20

N <- 2000000  #run it 2 million times
mysum <- numeric(length = N)

for (i in 1:N){
     mysum[i] <- sample(d4,1)+
                 sample(d6,1)+
                 sample(d8,1)+
                 sample(d12,1)+
                 sample(d20,1)
}

#make the plot
hist(mysum,breaks = 1000,freq = FALSE,ylim=c(0,1))
grid()

ผลลัพธ์คือพล็อตนี้

มันค่อนข้างจะดูแบบเกาส์เซียน ฉันคิดว่าเรา (อีกครั้ง) อาจแสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงในทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง

ความช่วยเหลือเล็กน้อยสำหรับสัญชาตญาณของคุณ:

ก่อนอื่นให้พิจารณาว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเพิ่มใบหน้าหนึ่งใบหน้าทั้งหมดของตายหนึ่งเดียวเช่น d4 ดังนั้นแทนที่จะเป็น 1,2,3,4 ใบหน้าในขณะนี้จึงแสดงเป็น 2,3,4,5

เมื่อเปรียบเทียบกับสถานการณ์นี้กับของจริงแล้วจะเห็นได้ว่ายอดรวมทั้งหมดนั้นสูงกว่าที่เคยเป็นมา ซึ่งหมายความว่ารูปร่างของการกระจายไม่มีการเปลี่ยนแปลงมันถูกย้ายไปหนึ่งก้าวไปยังด้านข้าง

ตอนนี้ลบค่าเฉลี่ยของแต่ละตายจากทุกด้านของตายนั้น

สิ่งนี้จะทำให้การทำเครื่องหมายลูกเต๋า

• $-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$
• $-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$
• $-{7\over 2}$$-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$${7\over 2}$

เป็นต้น

ตอนนี้ผลรวมของลูกเต๋าเหล่านี้ควรจะมีรูปร่างเหมือนเดิมโดยเลื่อนลงด้านล่างเท่านั้น มันควรจะชัดเจนว่าผลรวมนี้มีความสมมาตรประมาณศูนย์ ดังนั้นการกระจายตัวแบบดั้งเดิมจึงมีความสมมาตร

> p  <-  q  <-  c(0, rep(1/6,6))
> pq  <-  convolve(p,rev(q),type="open")
> zapsmall(pq)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111
 [7] 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111 0.08333333 0.05555556
[13] 0.02777778

และคุณสามารถตรวจสอบว่าถูกต้อง (ด้วยการคำนวณด้วยมือ) ทีนี้สำหรับคำถามจริงห้าลูกเต๋ามี 4,6,8,12,20 ข้าง ฉันจะทำการคำนวณโดยสมมติว่าโพรบเหมือนกันสำหรับแต่ละลูกเต๋า แล้ว:

> p1  <-  c(0,rep(1/4,4))
> p2 <-  c(0,rep(1/6,6))
> p3 <-  c(0,rep(1/8,8))
> p4  <-  c(0, rep(1/12,12))
> p5  <-  c(0, rep(1/20,20))
> s2  <-  convolve(p1,rev(p2),type="open")
> s3 <-  convolve(s2,rev(p3),type="open")
> s4 <-  convolve(s3,rev(p4),type="open")
> s5 <- convolve(s4, rev(p5), type="open")
> sum(s5)
[1] 1
> zapsmall(s5)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00002170
 [7] 0.00010851 0.00032552 0.00075955 0.00149740 0.00262587 0.00421007
[13] 0.00629340 0.00887587 0.01191406 0.01534288 0.01907552 0.02300347
[19] 0.02699653 0.03092448 0.03465712 0.03808594 0.04112413 0.04370660
[25] 0.04578993 0.04735243 0.04839410 0.04891493 0.04891493 0.04839410
[31] 0.04735243 0.04578993 0.04370660 0.04112413 0.03808594 0.03465712
[37] 0.03092448 0.02699653 0.02300347 0.01907552 0.01534288 0.01191406
[43] 0.00887587 0.00629340 0.00421007 0.00262587 0.00149740 0.00075955
[49] 0.00032552 0.00010851 0.00002170
> plot(0:50,zapsmall(s5))

เนื้อเรื่องแสดงอยู่ด้านล่าง:

ตอนนี้คุณสามารถเปรียบเทียบโซลูชันที่แน่นอนนี้กับแบบจำลอง

ทฤษฎีขีด จำกัด กลางตอบคำถามของคุณ แม้ว่ารายละเอียดและข้อพิสูจน์ (และบทความ Wikipedia) นั้นค่อนข้างน่าสนใจ แต่สาระสำคัญของมันง่าย ตาม Wikipedia มันระบุว่า

ผลรวมของตัวแปรสุ่มจำนวนอิสระและแบบกระจายที่มีความแปรปรวนแบบ จำกัด จะมีแนวโน้มที่จะเป็นการแจกแจงแบบปกติเมื่อจำนวนตัวแปรเพิ่มขึ้น

ร่างหลักฐานสำหรับกรณีของคุณ:

เมื่อคุณพูดว่า“ ทอยลูกเต๋าทั้งหมดในครั้งเดียว” แต่ละทอยลูกเต๋าทั้งหมดจะเป็นตัวแปรสุ่ม

ลูกเต๋าของคุณมีตัวเลข จำกัด พิมพ์บนพวกเขา ผลรวมของค่าของพวกเขาจึงมีความแปรปรวนแน่นอน

ทุกครั้งที่คุณหมุนลูกเต๋าทั้งหมดการแจกแจงความน่าจะเป็นของผลลัพธ์จะเหมือนกัน (ลูกเต๋าไม่เปลี่ยนระหว่างม้วน)

หากคุณทอยลูกเต๋าอย่างยุติธรรมทุกครั้งที่คุณทอยลูกเต๋าผลลัพธ์จะเป็นอิสระ (ม้วนก่อนหน้าไม่มีผลต่อม้วนในอนาคต)

อิสระ? ตรวจสอบ กระจายเหมือนกันหรือไม่ ตรวจสอบ ความแปรปรวน จำกัด ? ตรวจสอบ ดังนั้นผลรวมมีแนวโน้มไปสู่การแจกแจงแบบปกติ

มันคงไม่สำคัญว่าการกระจายของลูกเต๋าหนึ่งลูกจะหมุนไปทางล่างสุดหรือไม่ ฉันจะไม่เป็นไรถ้ามีการกระจาย cusps ข้อสรุปทั้งหมดทำให้มันเรียบและทำให้มันเป็นเกาส์แบบสมมาตร คุณไม่จำเป็นต้องทำพีชคณิตหรือแบบจำลองใด ๆ เพื่อแสดงมัน! นั่นเป็นข้อมูลเชิงลึกที่น่าประหลาดใจของ CLT