ค่าเฉลี่ยของแม่พิมพ์ที่เลือกจากชุดม้วนที่ไม่มีที่สิ้นสุด

13

ถ้าฉันหมุนลูกเต๋าเป็นจำนวนครั้งไม่ จำกัด และเลือกค่าที่สูงกว่าของทั้งสองค่าเฉลี่ยที่คาดหวังของค่าสูงสุดจะสูงกว่า 3.5 หรือไม่?

ดูเหมือนว่ามันจะต้องเป็นเพราะถ้าฉันกลิ้งลูกเต๋าเป็นล้านและเลือกค่าสูงสุดในแต่ละครั้ง ดังนั้นค่าเฉลี่ยที่คาดหวังจะต้องมีค่าเท่ากับ 5.999999999999 ...

อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถเข้าใจได้ว่ามูลค่าที่คาดหวังจะเป็นอย่างไรกับตัวอย่างของฉันโดยใช้เพียง 2 ลูกเต๋า มีคนช่วยให้ฉันไปถึงหมายเลขได้ไหม มันจะเกิน 3.5 หรือไม่ นี่เป็นสิ่งที่สามารถคำนวณได้หรือไม่

dice

— เจสัน
แหล่งที่มา

3

คุณสามารถระบุพื้นที่ตัวอย่างได้หรือไม่? เขียนรายการความเป็นไปได้สำหรับตัวอย่าง 2 ลูกเต๋า

— soakley

6

นอกจากนี้ยังสามารถจำลองการทดลอง วิธีนี้มีประโยชน์เมื่อการแจงนับยาก (เช่นทอยลูกเต๋า 3 ลูก)

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

— Nishanth
แหล่งที่มา

30

ไม่จำเป็นต้องใช้การจำลองสำหรับกรณีนี้การวิเคราะห์ค่อนข้างง่าย ให้เป็นจำนวนของลูกเต๋าและเป็นม้วนสูงสุดที่เกิดขึ้นเมื่อหมุนลูกเต๋า $n$ $X$ $n$

มันตามมาว่า และโดยทั่วไป สำหรับระหว่าง 1 ถึง 6 ดังนั้นเราสามารถรับ

P (X \leq 1) = {(\frac{1}{6})}^{n}

$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$

P (X \leq k) = {(\frac{k}{6})}^{n}

$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$

k

$k$

P (X = k) = P (x \leq k) - P (x \leq k - 1) = {(\frac{k}{6})}^{n} - {(\frac{k - 1}{6})}^{n} .

$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$

ดังนั้นเราสามารถเขียนการแจกแจงความน่าจะเป็นในรูปแบบปิด การทำเช่นนี้สำหรับคุณจะได้รับค่าที่คาดหวัง 4.472222 $n = 2$

— เอริค
แหล่งที่มา

2

โปรดสังเกตว่าในขีด จำกัดเป็นดังนั้นสูตรนี้จึงยืนยันสัญชาติญาณของคุณจากคำถามของคุณ .

P (X = 6) = 1^{n} - (\frac{5}{6})^{n} \to 1

$P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

— Matthew Drury

11

ฉันขอแนะนำเพียงแค่ทำงานผ่านกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ เพื่อดูคำตอบ

ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จากการทอยลูกเต๋าสองครั้งสร้างเมทริกซ์ 6x6:

[\begin{matrix} (1, 1) & (1, 2) & . . . \\ (2, 1) & (2, 2) & . . . \\ (3, 1) & (3, 2) & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$

ค่าที่คาดหวังของผลรวมคือ 7 เป็นกรณีนี้เนื่องจากม้วนเป็นภาพวาดอิสระเหมือนกันดังนั้นจึงอาจรวมกันได้ ความคาดหวังของการหมุนลูกบาศก์สามมิติที่ยุติธรรมคือ 3.5

แต่คุณกำลังถามเกี่ยวกับการทำให้เกิดประโยชน์สูงสุด ตอนนี้ให้เราระบุการเพิ่มสูงสุดจากการทอยลูกเต๋าสองลูก อีกครั้งมันเป็นเมทริกซ์ 6x6:

[\begin{matrix} 1 & 2 & . . . \\ 2 & 2 & . . . \\ 3 & 3 & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$

คำนวณมูลค่าที่คาดว่าจะชอบโดย:4.47

E [x] = Σ (x P (x)) = 1 / 36 (1) + 1 / 36 (2) + . . . + 1 / 36 (6) \approx 4.47

$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$

ขอให้สังเกตว่ากลิ้งลูกเต๋า (ในความหมายน่าจะเป็น) เทียบเท่ากับหนึ่งตายกลิ้งครั้ง ดังนั้นสำหรับกลิ้งลูกเต๋าคุณสามารถดูวิธีการเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์และวิธีการที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงความคาดหวังมากเกินไป $n$ $n$ $n$

— d0rmLife
แหล่งที่มา

2

สมมติว่าชุดค่าผสมแต่ละชุดมีความน่าจะเป็นเท่ากันเราจะต้องเพิ่มค่าของชุดค่าผสมแต่ละชุด 36 ชุดและหารด้วย 36 เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ย:

1 ความเป็นไปได้: 11
3 ความเป็นไปได้: 12, 21, 22
ความเป็นไปได้ 5 อย่าง: 13, 23, 31, 32, 33
ความเป็นไปได้ 7 ประการ: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
ความเป็นไปได้ 9 อย่าง: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
11 ความเป็นไปได้: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4.47222 ..

— Briguy37
แหล่งที่มา

1

Troll Dice Rollerเป็นเครื่องมือสำหรับการค้นหาความน่าจะเป็นลูกเต๋า เขามีเอกสารอธิบายการใช้งาน แต่มันเป็นเรื่องทางวิชาการ

max(2d6) อัตราผลตอบแทน

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642

— QuestionC
แหล่งที่มา