ประมาณ

ฉันตั้งใจอ่านบทความ (ทางเศรษฐศาสตร์) ซึ่งมีการประมาณต่อไปนี้:$\log(E(X))$

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5 \mathrm{var}(\log(X))$ ,

ซึ่งผู้เขียนบอกว่าแน่นอนถ้า X เป็นบันทึกปกติ (ซึ่งฉันรู้)

สิ่งที่ฉันไม่รู้คือวิธีการประมาณนี้ ฉันพยายามคำนวณลำดับที่สองโดยประมาณของ Taylor และสิ่งที่ฉันคิดไว้คือนิพจน์นี้:

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5\frac{\mathrm{var}(X)}{E(X)^2}$

โดยวิธีการเดลต้าแปรปรวนของฟังก์ชั่นของ RV คือประมาณเท่ากับความแปรปรวนครั้ง RV ที่อนุพันธ์ Squared ประเมินค่าเฉลี่ย ด้วยเหตุนี้

$$\mathrm{var}(\log(X)) \approx \frac{1}{ \left[E(X)\right] ^2 } \mathrm{var}(X)$$

และคุณมีมัน แน่นอนว่าที่มาของคุณถูกต้อง